1、微专题2 二次函数的最值问题 第三章 函数的概念与性质 与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其可以较全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养本专题主要训练几种常见的二次函数最值的求解方法类型 1 不含参数的二次函数最值问题【例 1】已知函数 f(x)3x212x5，当自变量 x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值(1)R；(2)0,3；(3)1,1解 f(x)3x212x53(x2)27，作出函数 yf(x)的图象，如图所示(1)当 xR 时，f(x)3(x2)277，当 x2 时，等号成立故当 xR 时，函数 f(x)的最小值为7，无最大值(2)由图可知，在0,3上，
2、函数 f(x)在 x0 处取得最大值，最大值为 5；在 x2 处取得最小值，最小值为7.(3)由图可知，函数 f(x)在1,1上单调递减，在 x1 处取得最大值，最大值为 20；在 x1 处取得最小值，最小值为4.类型 2 含参数的二次函数最值问题【例 2】求函数 f(x)x22ax1(a 为常数)在0,2上的最值解 f(x)(xa)21a2，对称轴为直线 xa.(1)当 a0 时，由图可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.图 图(2)当 0a2 时，由图可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.综上，f(x)min1，a2，f(x)max34a，a
3、1，1，a1.【例 3】求函数 f(x)x22x2 在区间t，t1上的最小值 g(t)解 f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，对称轴为直线 x1.当 t11，即 t1 时，函数图象如图所示，函数 f(x)在区间t，t1上单调递增，所以最小值为 f(t)t22t2.综上可得，g(t)t21，t1.类型 3 与二次函数有关的恒成立、能成立问题【例 4】已知二次函数 g(x)mx22mxn1(m0)在区间0,3上有最大值 4，最小值 0.(1)求函数 g(x)的解析式；(2)设 f(x)gx2xx，若 f(x)kx0 在 x18，8 时恒成立，求实数k 的取值范围解(1)g(x)m(x
4、1)2m1n，函数 g(x)图象的对称轴方程为 x1.又m0，依题意得g10，g34，即m1n0，3m1n4，解得m1，n0.g(x)x22x1.(2)f(x)gx2xx，f(x)x1x4.f(x)kx0 在 x18，8 时恒成立，即 x1x4kx0 在 x18，8 时恒成立，k1x24x1 在 x18，8 时恒成立只需 k1x24x1 max，x18，8.令 t1x，由 x18，8，得 t1x18，8.设 h(t)t24t1(t2)23，则函数 h(t)图象的对称轴方程为 t2，当 t8 时，函数 h(t)取得最大值 33，kh(t)maxh(8)33，实数 k 的取值范围为33，)点击右图进入 微 专 题 强 化 练 谢谢观看 THANK YOU!
