1、专题检测(二十) 选修4-5 不等式选讲1(2017沈阳质检)已知函数f(x)|xa|x(a0)(1)若a3,解关于x的不等式f(x)0;(2)若对于任意的实数x,不等式f(x)f(xa)a2恒成立,求实数a的取值范围解:(1)当a3时,f(x)|x3|x,即|x3|x0,原不等式等价于xx3x,解得2x6,故不等式的解集为x|2x6(2)f(x)f(xa)|xa|x|,原不等式等价于|xa|x|a2,由三角绝对值不等式的性质,得|xa|x|(xa)x|a|,原不等式等价于|a|0,a1.故实数a的取值范围为(1,)2(2017全国卷)已知函数f(x)x2ax4,g(x)|x1|x1|.(1)
2、当a1时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1,求a的取值范围解:(1)当a1时,不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时,式化为x23x40,无解;当1x1时,式化为x2x20,从而1x1;当x1时,式化为x2x40,从而1x.所以f(x)g(x)的解集为.(2)当x1,1时,g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含1,1,等价于当x1,1时,f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一,所以f(1)2且f(1)2,得1a1.所以a的取值范围为1,13(2017石家庄质检)设函数f(x)|x1|2x1|的最
3、大值为m.(1)作出函数f(x)的图象;(2)若a22c23b2m,求ab2bc的最大值解:(1)f(x)画出图象如图所示(2)由(1)知m.ma22c23b2(a2b2)2(c2b2)2ab4bc,ab2bc,ab2bc的最大值为,当且仅当abc时,等号成立4(2017宝鸡质检)已知函数f(x)|2xa|2x3|,g(x)|x1|2.(1)解不等式|g(x)|5;(2)若对任意x1R,都存在x2R,使得f(x1)g(x2)成立,求实数a的取值范围解:(1)由|x1|2|5,得5|x1|25,7|x1|3,得不等式的解集为x|2x0,b0,函数f(x)|xa|2xb|的最小值为1.(1)证明:
4、2ab2;(2)若a2btab恒成立,求实数t的最大值解:(1)证明:因为a0,a2b26,0g(a)g(b)4(当且仅当a2b23时取等号)即g(a)g(b)m.7(2017太原模拟)已知函数f(x)|xa|(a0)(1)若不等式f(x)f(xm)1恒成立,求实数m的最大值;(2)当a时,函数g(x)f(x)|2x1|有零点,求实数a的取值范围解:(1)f(x)|xa|,f(xm)|xma|,f(x)f(xm)|xa|xma|xaxma|m|,|m|1,即1m1,实数m的最大值为1.(2)当a时,g(x)f(x)|2x1|xa|2x1|g(x)在上单调递减,在上单调递增又函数g(x)有零点,g(x)minga0,或解得a0,实数a的取值范围是.8(2017成都二诊)已知函数f(x)4|x|x3|.(1)求不等式f 0的解集;(2)若p,q,r为正实数,且4,求3p2qr的最小值解:(1)由f 40,得4.当x时,xx4,解得2x时,xx4,解得x2.综上,f 0的解集为2,2(2)令a1,a2,a3.由柯西不等式,得(aaa)29,即(3p2qr)9.4,3p2qr,当且仅当,即p,q,r时,取等号3p2qr的最小值为.