1、第61课时电磁感应中的动力学问题(题型研究课)命题者说电磁感应动力学问题是历年高考的一个热点，这类题型的特点一般是单棒或双棒在磁场中切割磁感线，产生感应电动势和感应电流。感应电流受安培力而影响导体棒的运动，构成了电磁感应的综合问题，它将电磁感应中的力和运动综合到一起，其难点是感应电流安培力的分析，且安培力常常是变力。这类问题能很好地提高学生的综合分析能力。一、运动切割类动力学问题考法1单杆模型例1(2016全国甲卷)水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上。t0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动。t0时刻，金属杆进入磁感应
2、强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为。重力加速度大小为g。求(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；(2)电阻的阻值。解析(1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得maFmg设金属杆到达磁场左边界时的速度为v，由运动学公式有vat0当金属杆以速度v在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律，杆中的电动势为EBlv联立式可得EBlt0。(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I，根据欧姆定律I式中R为电阻的阻值。金属杆所受的安培力为F安BlI因金属杆
3、做匀速运动，由牛顿运动定律得FmgF安0联立式得R。答案(1)Blt0(2)单杆模型的分析方法(1)电路分析：导体棒相当于电源，感应电动势EBLv，电流I。(2)受力分析：导体棒中的感应电流在磁场中受安培力F安BIL，I，F安。(3)动力学分析：安培力是变力，导体棒在导轨上做变加速运动，临界条件是安培力和其他力达到平衡，这时导体棒开始匀速运动。考法2双杆模型例2(1)如图1所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计，导轨间的距离为l，两根质量均为m、电阻均为R的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持
4、垂直。在t0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小恒为F的力作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动，试分析金属杆甲、乙的收尾运动情况。(2)如图2所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，导轨上横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度。若两导体棒在运动中始终不接触，试定性分析两棒的收尾运动情况。思路点拨(1)金属杆甲运动产生感应电动势回路中有感应电流乙受安培力的作用做加速运动可求出某时刻回路中的总感应电动势由牛顿第二定律列式判断。(2)导体棒ab运动，
5、回路中有感应电流分析两导体棒的受力情况分析导体棒的运动情况即可得出结论。解析(1)设某时刻甲和乙的速度大小分别为v1和v2，加速度大小分别为a1和a2，受到的安培力大小均为F1，则感应电动势为EBl(v1v2)感应电流为I对甲和乙分别由牛顿第二定律得FF1ma1，F1ma2当v1v2定值(非零)，即系统以恒定的加速度运动时a1a2解得a1a2可见甲、乙两金属杆最终水平向右做加速度相同的匀加速运动，速度一直增大。(2)ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，回路中产生感应电流。ab棒受到与运动方向相反的安培力作用做减速运动，cd棒则在安培力作用下做加速运动，在ab棒的
6、速度大于cd棒的速度时，回路中总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速。两棒达到相同速度后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v水平向右做匀速运动。答案见解析两类双杆模型对比类型模型运动图像运动过程分析方法不受外力杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动；稳定时，两杆以相等的速度匀速运动将两杆视为整体，不受外力，最后a0受到恒力开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动将两杆视为整体，只受外力F，最后a考法3含电容器问题例3(2013全国卷)如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处
7、于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。解析(1)设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为EBLv平行板电容器两极板之间的电势差为UE设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有C联立式得QCBLv(2)设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t，通过金属棒的电流为i。金属棒受到的磁场的作用力方向
8、沿导轨向上，大小为F1BLi设在时间间隔(t，tt)内流经金属棒的电荷量为Q，按定义有iQ也是平行板电容器两极板在时间间隔(t，tt)内增加的电荷量。由式得QCBLv式中，v为金属棒的速度变化量。按定义有a金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为F2FN式中，FN是金属棒对于导轨的正压力的大小，有FNmgcos 金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有mgsin F1F2ma联立至式得ag由式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速直线运动。t时刻金属棒的速度大小为vgt答案(1)QCBLv(2)vgt这类题目易出现的错误是忽视电容器充电电流，漏掉导体棒所受的安培力，
9、影响加速度的计算和导体棒运动情况的判断。集训冲关1.如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒cd垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。(1)如图1所示，若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间t内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。(2)如图2所示，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻。闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度vm，求此时电源
10、的输出功率。(3)如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1。求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。解析：(1)导体棒切割磁感线，EBLv导体棒做匀速运动，FF安又F安BIL，其中I在任意一段时间t内，拉力F所做的功WFvtF安vtt电路获得的电能EqEEItt可见，在任意一段时间t内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。(2)导体棒达到最大速度vm时，棒中没有电流，电源的路端电压UBLvm电源与电阻所在回路的电流I电源的输出功率PUI。(3)感应电动势
11、与电容器两极板间的电势差相等BLvU由电容器的Ut图像可知Ut导体棒的速度随时间变化的关系为vt可知导体棒做匀加速直线运动，其加速度a由C和I，得I由牛顿第二定律有FBILma可得F。答案：(1)见解析(2)(3)2.(2017上海松江区期末)如图所示，两根粗细均匀的金属杆AB和CD的长度均为L，电阻均为R，质量分别为3m和m，用两根等长的、质量和电阻均不计的、不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，悬跨在绝缘的、水平光滑的圆棒两侧，AB和CD处于水平。在金属杆AB的下方有高度为H的水平匀强磁场，磁感强度的大小为B，方向与回路平面垂直，此时CD处于磁场中。现从静止开始释放金属杆AB，经过一段时间
12、(AB、CD始终水平)，在AB即将进入磁场的上边界时，其加速度为零，此时金属杆CD还处于磁场中，在此过程中金属杆AB上产生的焦耳热为Q。重力加速度为g，试求：(1)金属杆AB即将进入磁场上边界时的速度v1；(2)在此过程中金属杆CD移动的距离h和通过导线截面的电量q；(3)设金属杆AB在磁场中运动的速度为v2，通过计算说明v2大小的可能范围。解析：(1)AB杆达到磁场边界时，加速度为零，系统处于平衡状态，对AB杆：3mg2T对CD杆：2TmgBIL又FBIL，解得：v1。(2)AB、CD棒组成的系统在此过程中，根据能的转化与守恒有：(3mm)gh2Q4mv12hqIt(3)AB杆与CD杆都在磁
13、场中运动，直到达到匀速，此时系统处于平衡状态，对AB杆：3mg2TBIL对CD杆：2TmgBIL又FBIL，解得v2所以v2答案：(1)v1(2)hq(3)v2二、变化磁场类动力学问题典例电磁弹射是我国最新研究的重大科技项目，原理可用下述模型说明。如图甲所示，虚线MN右侧存在一个竖直向上的匀强磁场，一边长为L的正方形单匝金属线框abcd放在光滑水平面上，电阻为R，质量为m，ab边在磁场外侧紧靠 MN虚线边界。t0时起磁感应强度B随时间t的变化规律是BB0kt(k为大于零的常数)，空气阻力忽略不计。(1)求t0时刻，线框中感应电流的功率P；(2)若线框cd边穿出磁场时速率为v，求线框穿出磁场过程
14、中，安培力对线框所做的功W及通过导线截面的电荷量q；(3)若用相同的金属线绕制相同大小的n匝线框，如图乙所示，在线框上加一质量为M的负载物，证明：载物线框匝数越多，t0时线框加速度越大。解析(1)t0时刻线框中的感应电动势E0L2功率P解得P。(2)由动能定理有WEk解得Wmv2穿出过程线框中的平均电动势线框中的电流通过的电量qt解得q。(3)n匝线框中t0时刻产生的感应电动势En线框的总电阻R总nR线框中的电流It0时刻线框受到的安培力FnB0IL设线框的加速度为a，根据牛顿第二定律有F(nmM)a解得a，可知n越大，a越大。答案(1)(2)mv2(3)见解析磁场变化类电磁感应问题的解题方法
15、(1)用法拉第电磁感应定律计算感应电动势，用楞次定律判断方向。(2)用闭合电路欧姆定律计算回路中电流。(3)分析计算感应电流所受安培力，研究导体受力情况和运动情况。(4)根据牛顿第二定律或平衡条件列出方程。集训冲关如图所示，粗糙斜面的倾角37，半径r0.5 m的圆形区域内存在着垂直于斜面向下的匀强磁场。一个匝数n10匝的刚性正方形线框abcd，通过松弛的柔软导线与一个额定功率P1.25 W的小灯泡A相连，圆形磁场的一条直径恰好过线框bc边。已知线框质量m2 kg，总电阻R01.25 ，边长L2r，与斜面间的动摩擦因数0.5。从t0时起，磁场的磁感应强度按B2t(T)的规律变化。开始时线框静止在
16、斜面上，在线框运动前，灯泡始终正常发光。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8。求：(1)小灯泡正常发光时的电阻R；(2)线框保持不动的时间内，小灯泡产生的热量Q。解析：(1)由法拉第电磁感应定律有En得Enr2100.52 V2.5 V小灯泡正常发光，有PI2R由闭合电路欧姆定律有EI(R0R)则有P2R，代入数据解得R1.25 。(2)对线框受力分析如图设线框恰好要运动时，磁场的磁感应强度大小为B由力的平衡条件有mgsin F安FfF安mgcos F安nBI2r联立解得线框刚要运动时，磁场的磁感应强度大小B0.4 T由B2t，得线框在斜面上
17、可保持静止的时间t s s小灯泡产生的热量QPt1.25 J3.1 J。答案：(1)1.25 (2)3.1 J一、选择题1.如图所示，有两根和水平方向成角的光滑平行金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m的金属杆(电阻忽略不计)从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则()A.如果B增大，vm将变大B.如果增大，vm将变大C.如果R变小，vm将变大D.如果m变小，vm将变大解析：选B金属杆从轨道上由静止滑下，经足够长时间后，速度达最大值vm，此后金属杆做匀速运动。杆受重力、轨道的支持力和安培力如
18、图所示。安培力FLB，对金属杆列平衡方程式：mgsin ，则vm。由此式可知，B增大，vm减小；增大，vm增大；R变小，vm变小；m变小，vm变小。因此A、C、D错误，B正确。2.如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L，直导线MN垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B。电容器的电容为C，除电阻R外，导轨和导线的电阻均不计。现给导线MN一初速度，使导线MN向右运动，当电路稳定后，MN以速度v向右做匀速运动时()A.电容器两端的电压为零B.电阻两端的电压为BLvC.电容器所带电荷量为CBLvD.为保持MN匀速运动，需对其施加的拉力大小为解析：选C当导
19、线MN匀速向右运动时，导线MN产生的感应电动势恒定，稳定后，电容器既不充电也不放电，无电流产生，故电阻两端没有电压，电容器两极板间的电压为UEBLv，所带电荷量QCUCBLv，故A、B错误，C正确；MN匀速运动时，因无电流而不受安培力，故拉力为零，D错误。3.(多选)(2017中山二模)如图所示，在水平桌面上放置两条相距为l的平行光滑导轨ab与cd，阻值为R的电阻与导轨的a、c端相连。质量为m、电阻也为R的导体棒垂直于导轨放置并可沿导轨自由滑动。整个装置放于匀强磁场中，磁场的方向竖直向上，磁感应强度的大小为B。导体棒的中点系一不可伸长的轻绳，绳绕过固定在桌边的光滑轻滑轮后，与一个质量也为m的物
20、块相连，绳处于拉直状态。现若从静止开始释放物块，用h表示物块下落的高度(物块不会触地)，g表示重力加速度，其他电阻不计，则()A.电阻R中的感应电流方向由c到aB.物块下落的最大加速度为gC.若h足够大，物块下落的最大速度为D.通过电阻R的电荷量为解析：选AC由右手定则可知，电阻R中的感应电流方向由c到a，A正确；物块刚下落时加速度最大，由牛顿第二定律有2mammg，最大加速度：am，B错误；对导体棒与物块组成的整体，当所受的安培力与物块的重力平衡时，达到最大速度，即mg，所以vm，C正确；通过电阻R的电荷量q，D错误。4.(多选)如图所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直
21、导轨平面向下，金属棒ab、cd与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒ab、cd的质量之比为21。用一沿导轨方向的恒力F水平向右拉金属棒cd，经过足够长时间以后()A.金属棒ab、cd都做匀速运动B.金属棒ab上的电流方向是由b向aC.金属棒cd所受安培力的大小等于D.两金属棒间距离保持不变解析：选BC对两金属棒ab、cd进行受力和运动分析可知，两金属棒最终将做加速度相同的匀加速直线运动，且金属棒ab速度小于金属棒cd速度，所以两金属棒间距离是变大的，由楞次定律判断金属棒ab上的电流方向是由b到a，A、D错误，B正确；以两金属棒整体为研究对象有：F3ma，隔离金属棒cd分析：FF安m
22、a，可求得金属棒cd所受安培力的大小F安F，C正确。二、计算题5.如图所示，L10.5 m，L20.8 m，回路总电阻为R0.2 ，M0.04 kg，导轨光滑，开始时磁场B01 T。现使磁感应强度以0.2 T/s的变化率均匀地增大。试求：当t为多少时，M刚好离开地面？(g取10 m/s2)解析：回路中原磁场方向向下，且磁感应强度增加，由楞次定律可以判知，感应电流的磁场方向向上，根据安培定则可以判知，ab中的感应电流的方向是ab，由左手定则可知，ab所受安培力的方向水平向左，从而向上拉起重物。设ab中电流为I时M刚好离开地面，此时有FBIL1MgIEL1L2BB0t联立以上各式，代入数据解得t5
23、 s。答案：5 s6.如图所示，在水平平行放置的两根光滑长直导电轨道MN与PQ上，放着一根直导线ab，ab与导轨垂直，它在导轨间的长度为20 cm，这部分的电阻r0.02 。导轨部分处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B0.20 T，电阻R0.08 ，其他电阻不计，ab的质量为0.02 kg。(1)打开开关S，ab在水平恒力F0.01 N的作用下，由静止沿轨道滑动，求经过多长时间速度才能达到10 m/s？(2)当ab的速度达到10 m/s时，闭合开关S，为了保持ab仍能以10 m/s的速度匀速运动，水平拉力应变为多少？解析：(1)由牛顿第二定律Fma，得a m/s20.5 m/s2t s2
24、0 s。(2)导线ab保持以10 m/s的速度运动，受到的安培力F安BIL0.16 N安培力与拉力F是一对平衡力，故F0.16 N。答案：(1)20 s(2)0.16 N7.平行水平长直导轨间的距离为L，左端接一耐高压的电容器C。轻质导体杆cd与导轨接触良好，如图所示，在水平力作用下以加速度a从静止到匀加速运动，匀强磁场B竖直向下，不计摩擦与电阻，求：(1)所加水平外力F与时间t的关系；(2)在时间t内有多少能量转化为电场能？解析：(1)对于导体棒cd，由于做匀加速运动，则有：v1at，由EBLv可知：EBLat对于电容器，由C可知：QCUCBLat，对于闭合回路，由I可知：ICBLa对于导体
25、棒，由F安BIL可知：F安B2L2Ca由牛顿第二定律可知：FF安ma，F(mB2L2C)a，因此对于外力F来说，是一个恒定的外力，不随时间变化。(2)对于导体棒cd，克服安培力做多少功，就应有多少能量转化为电能，则有：W安F安xxat2由式得：W安，所以在t秒内转化为电场能的能量为：E。答案：(1)F(mB2L2C)a，为恒力，不随时间t变化(2)8.(2017北京东城期末)如图所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角37的绝缘斜面上，顶部接有一阻值R3 的定值电阻，下端开口，轨道间距L1 m。整个装置处于磁感应强度B2 T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。质量m1 kg的金属棒ab
26、置于导轨上，ab在导轨之间的电阻r1 ，电路中其余电阻不计。金属棒ab由静止释放后沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好。不计空气阻力影响。已知金属棒ab与导轨间动摩擦因数0.5，sin 370.6，cos 370.8，取g10 m/s2。(1)求金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度vm；(2)求金属棒ab沿导轨向下运动过程中，电阻R上的最大电功率PR；(3)若从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，电阻R上产生的焦耳热总共为1.5 J，求流过电阻R的总电荷量q。解析：(1)金属棒由静止释放后，沿斜面做变加速运动，加速度不断减小，当加速度为零时有最大速度vm由牛顿第二定律有mgsin mgcos F安0F安BILIEBLvm由以上各式代入数据解得vm2.0 m/s。(2)金属棒以最大速度vm匀速运动时，电阻R上的电功率最大，此时PRI2R，解得：PR3 W。(3)设金属棒从开始运动至达到最大速度过程中，沿导轨下滑距离为x由能量守恒定律：mgxsin mgxcos QRQrmvm2根据焦耳定律，解得x2.0 m根据qt，BLx，解得q1.0 C。答案：(1)2.0 m/s(2)3 W(3)1.0 C
