1、4简单计数问题授课提示：对应学生用书第17页自主梳理解答排列组合问题首先要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题，还是排列与组合的综合问题，其次要抓住问题的本质特征1对于比较复杂的组合问题，常常不是简单地用一个组合公式就可以得到结果的，而需要分_，恰当地运用_、_、_，才能得到正确的计算式子，特别是对有一定限制条件的问题，列式时更要谨慎小心2较为复杂的排列组合应用题，往往通过_或_转化为简单的排列组合应用题，_是经常应用的选取程序双基自测1从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽样方法数为()A224B112C56D2825个人站成一排，若甲、乙
2、两人之间恰有2人，则不同的站法种数为()A18 B20 C24 D483将4本不同的书摆在书架上，其中A，B两本书必须相邻的摆法有_种4甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有_种自主梳理1各种情况两个基本计数原理排列数公式组合数公式2.分类分步先组合后排列双基自测1B根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以取2个女生1个男生的方法有CC112种，故选B.2C将甲乙和中间站的人视为一个元素，与剩余1人进行全排列，故不同站法有2AA24(种)312先将A、B看成整体与另外两本书进行排列，再将A、B进行排列，共有AA12种摆法430用间接法求得
3、，CCC30(种)授课提示：对应学生用书第17页探究一“先选后排法”的应用例1(1)将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i1,2，6)，若a11，a33，a55，a1a3a5，则不同的排列方法种数为()A18B30C36 D48(2)设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A60 B90C120 D130解析：(1)由于a1，a3，a5的大小顺序已定，且a11，a33，a55，所以a1可取2,3,4，若a12或3，则a3可取4,5，当a34时，a56，当a35
4、时，a56；若a14，则a35，a56.而其他的三个数字可以任意排列，因而共有(221)A30种排列方法(2)易知|x1|x2|x3|x4|x5|1或2或3，下面分三种情况讨论其一：|x1|x2|x3|x4|x5|1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或1，其余等于0，于是有CC10种情况；其二：|x1|x2|x3|x4|x5|2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或都等于1或一个等于1、另一个等于1，其余等于0，于是有2CCC40种情况；其三：|x1|x2|x3|x4|x5|3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于1
5、或两个等于1、另一个等于1或两个等于1、另一个等于1，其余等于0，于是有2CCCCC80种情况由于104080130，故答案为D.答案：(1)B(2)D对于复杂的排列问题，先选出符合要求的元素，再考虑元素的顺序，实质是运用排列的定义，把事件分为两个步骤完成，这种方法常称之为“先选后排法”1(1)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有()A(C)2A个BAA个C(C)2104个 DA104个(2)设集合A1,2,3,4,5,6,7，映射f：AA满足f(1)f(2)f(3)f(4)，则这样的映射f的个数为()AAA BCC77 DC73解析：(1)英
6、文字母可以相同，故有(C)2种选法，而数字有09共10个，不允许重复，故有A种排法，由分步乘法计数原理，满足要求的牌照号码共有(C)2A个，故选A.(2)先从集合A中任取4个不同的元素作为一个组合，并按从小到大的顺序赋为1,2,3,4在映射f下的象，有C种方法，再依次为5,6,7确定象，有73种方法，故满足题意的映射f的个数为C73.答案：(1)A(2)D探究二分组分配问题例2有6本不同的书，按照以下需求处理，各有几种分法？(1)平均分给甲、乙、丙三人；(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)一人得1本，一人得2本，一人得3本；(4)平均分成三堆(组)；(5)一堆1本，一堆2本，一堆3本解析
7、(1)每人得2本，可考虑甲先在6本书中任取2本，取法有C种，再由乙在余下的书中取2本，取法有C种，最后由丙取余下的2本书，有C种取法，由分步乘法计数原理可知共有CCC90种分法(2)选取方法同(1)，所以共有CCC60种分法(3)在(2)中甲得1本，乙得2本，丙得3本的基础上，考虑到甲、乙、丙三人的平等地位，让甲、乙、丙三人全排列调换位置，所以共有CCCA360种分法(4)由于三堆的位置并无差别，可用(1)的分法数除以A，所以共有15种分法(5)共有CCC60种分法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均
8、匀，最后必须除以n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配2(1)有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有_种(2)在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为_解析：(1)先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共有种分法再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲
9、任务，而一个人的两组既可以承担乙任务又可以承担丙任务，所以共有A2 520种不同的选法(2)当两所2人一所1人时，有种，其中甲乙或丙丁在同一医院有A4A种；当一所3人两所1人时，有CCA种，故满足条件的分配方法总数为A4ACCA84.答案：(1)2 520(2)84探究三排列组合的综合应用例3从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)在(1)中的七位数中，三个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中的七位数中，任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？解析(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取
10、3个，可有C种情况；第二步，在5个奇数中取4个，可有C种情况；第三步，把3个偶数，4个奇数进行排列，可有A种情况所以符合题意的七位数有CCA100 800(个)(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA14 400(个)(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有：CCAAA5 760(个).(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4奇数排好，再把3个偶数分别插入5个空当中，共有CCAA28 800(个)解决排列、组合问题的一般策略(1)特殊元素优先安排的策略；(2)正难则反，等价转化的策略；(3)相邻问题，捆绑处理的策略；(4)不相邻问题，插空处理的策略；(5)定序问题
11、，除法处理的策略；(6)“小集团”排列问题，先整体后局部的策略；(7)平均分组问题，除法处理的策略；(8)构造模型的策略36个人进2间屋子，求满足下列条件的分配方法各有多少种？(1)每屋内至少进1人；(2)每屋都进3人解析：(1)解法一按第1间屋子内进入的数目可分5类：进1人，2人，3人，4人，5人因此，要把这5类分配进屋的方法数加起来，对于每一类而言，如“第1间屋进4人，第2间进2人”这类分配方式，又可看成先派4人进入第1间屋，再派余下的2人进入第2间屋这样得到CC种进屋方法，于是总共方法为CCCCCCCCCC62(种)解法二从6人进2间屋子的各种分配方法数中减去不合题意的分配方法数来计算不
12、合题意的分配方法只有2种，即6人全进第1间或全进第2间即间接法解得：26262(种)(2)解法一先派3人进第1间屋，再让其余3人进第2间屋，得分配方法为：CC20(种)解法二先把6人平均分成两组，方法有：(种)，然后再分配到房间，共有A20(种)因重复计算或遗漏计算致误典例4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，则恰好有一个空盒子的放法有_种(用数字作答)解析由题设，必有一个盒子内放入2个球，从4个球中取出2个球，有C种取法，此时把它看作一个球，与另2个球共3个球放入4个盒子中，有A种放法，所以满足题意的放法为CA144(种)答案144错因与防范1.解答本题常见的错解与错因错解一：
13、从4个球中任取3个球，有C种取法，从4个盒子中任取3个盒子，有C种取法，将3个球放入到取出的3个盒子中，有A种取法，剩下的1个球放入到3个盒子中的一个，有3种放法所以满足题意的放法有CCA3288(种)此时犯了重复计数的错误错解二：将3个球放入4个盒子中，有A种放法，再把余下的1个球放到3个盒子中的一个，有3种放法，所以满足题意的放法有A372(种)此时犯了遗漏计数的错误2防范措施：认真审题，明确条件与所求，“先选后排”先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列，这样可有效地避免重复和遗漏用黄、蓝、白三种颜色粉刷6间办公室，一种颜色粉刷3间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间，则粉刷这6间办公室，不同的安排方法有()A.BCCCCCCCA DAAA解析：先固定一种粉刷方法，如黄色粉刷3间，蓝色粉刷2间，白色粉刷1间，则有CCC种，三种颜色互换有A种方法，由分步乘法计数原理知，不同的方案有CCCA种故选C.答案：C
