1、1椭圆11椭圆及其标准方程授课提示：对应学生用书第31页一、椭圆的定义我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距二、椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)焦点坐标(c,0)(0，c)a、b、c的关系a2b2c2疑难提示求椭圆标准方程时应注意的问题(1)确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，即在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定a2、b2的具体数值，
2、常用待定系数法(2)当椭圆的焦点位置不明确(无法确定)求其标准方程时，可设方程为1(m0，n0且mn)，从而避免讨论和繁杂的计算；也可设为Ax2By21(A0，B0且AB)，这种形式在解题中较为方便练一练1已知在平面直角坐标系中，点A(3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|PB|2a(a0)，给出下列说法：当a2时，点P的轨迹不存在；当a4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3；当a4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6；当a3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆其中正确的说法是_(填序号)解析：当a2时，2a4|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|6，错误；正确；当a3时，点P的轨迹为线
3、段AB，错误答案：2若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_解析：由10kk50，得5k|F1F2|2.点M的轨迹是椭圆，且椭圆的焦点为F1(0,1)和F2(0，1)2c2，c1,2a4，a2.点M的轨迹方程为1.到两定点的距离之和是常数且必须大于两定点的距离的轨迹是椭圆特别注意焦点的位置及a，b，c的关系 1.已知椭圆C上任意一点P(x，y)都满足关系式4，则椭圆C的标准方程为()A.1B.1C.1 D.y21解析：由题设可知椭圆C的焦点在x轴上，且2a4，c1，故a2，b23，所以椭圆C的标准方程为1.答案：B2求焦点在坐标轴上，且过点A(2,0)和B的椭圆的标准方程解析：解
4、法一若焦点在x轴上，设椭圆方程为1(ab0)，依题意，有解得a24，b21.若焦点在y轴上，设椭圆方程为1(ab0)，同理这与ab矛盾故所求椭圆方程为y21.解法二设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)将A，B坐标代入得解得故所求椭圆方程为y21.探究二椭圆定义的应用典例2如图所示，已知椭圆的方程为1，若点P在第二象限，且PF1F2120，求PF1F2的面积解析由已知a2，b，所以c1，|F1F2|2c2，在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由椭圆定义，得|PF1|PF2|
5、4，即|PF2|4|PF1|.代入解得|PF1|，SPF1F2|PF1|F1F2|sin 1202，即PF1F2的面积是.椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识在求焦点三角形的面积时，若已知F1PF2，可利用Sabsin C，把|PF1|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量 3点P在椭圆 y21上，且PF1PF2，求SPF1F2.解析：点P在椭圆上，|
6、PF1|PF2|4，即|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|16，又PF1PF2，|PF1|2|PF2|2|F1F2|212，|PF1|PF2|2，SPF1F2|PF1|PF2|1.4.如图所示，已知经过椭圆1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点(1)求AF1B的周长(2)如果直线AB不垂直于x轴，AF1B的周长有变化吗？为什么？解析：(1)由题意知，A，B在椭圆1上，故有|AF2|AF1|2a10，|BF1|BF2|2a10，|AF2|BF2|AB，AF1B的周长|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1
7、|BF2|)2a2a4a4520.AF1B的周长为20.(2)如果直线AB不垂直于x轴，AF1B的周长仍为20不变，因为|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a与直线AB是否与x轴垂直无关，所以AF1B的周长没有变化探究三椭圆的标准方程及其应用5写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a5，c2；(2)经过P1(，1)，P2(，)两点；(3)以椭圆9x25y245的焦点为焦点，且经过点M(2，)解析：(1)由b2a2c2，得b225421.椭圆的标准方程为1或1.(2)解法一当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知，得
8、，即所求椭圆的标准方程是1.当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知，得，与ab0矛盾，此种情况不存在综上，所求椭圆的标准方程是1.解法二由已知，设椭圆的方程是Ax2By21(A0，B0，AB)，故，即所求椭圆的标准方程是1.(3)解法一方程9x25y245可化为1，则焦点是F1(0,2)，F2(0，2)设所求椭圆的标准方程为1(ab0)，点M在椭圆上，2a|MF1|MF2| (2)(2)4，a2，即a212，b2a2c21248，所求椭圆的标准方程为1.解法二由题意，知焦点F1(0,2)，F2(0，2)，设所求椭圆的方程为1(0)，将x2，y代入，得1，解得8或2(舍去)，所
9、求椭圆的标准方程为1.6.如图，已知定点A(2,0)，动点B是圆F：(x2)2y264上一点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程解析：连接PA(图略)，圆F：(x2)2y264的圆心为F(2,0)，半径R8.线段AB的垂直平分线交BF于点P，|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|BF|R8|AF|4.由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆依题意，有2a8，c2，b212，动点P的轨迹方程为1.7求以椭圆9x25y245的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆标准方程解析：由9x25y245，得1，其焦点为F1(0,2)，F2(0，2)设所求椭圆方程为1(ab0)，点M(2，)在椭
10、圆上，1.又a2b24，由得a2b24，代入得b46b2160，可解得b28或b22(舍去)，所以a212.故所求椭圆方程为1.求解椭圆问题的四种常见错误典例(1)设F1(4,0)，F2(4,0)为定点，动点M满足|MF1|MF2|8，则动点M的轨迹是()A椭圆B直线C圆 D线段(2)若方程1表示椭圆，则实数k的取值范围是_(3)已知椭圆的标准方程为1(m0)，并且焦距为6，则实数m为_解析(1)因为|MF1|MF2|8|F1F2|，所以动点M的轨迹是线段F1F2.(2)由题意可知所以k(5,6)(6,7)(3)因为2c6，所以c3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a225，b2m2，由a2b2c2，得25m29，所以m216，又m0，故m4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2m2，b225，a2b2c2，得m225934，又m0，故m.综上，实数m的值为4或.答案(1)D(2)(5,6)(6,7)(3)4或错因与防范在求解椭圆问题时，要注意以下四种常见错误：(1)忽略椭圆定义中的条件2a|F1F2|；(2)忽略椭圆标准方程的隐含条件(a0，b0，ab)；(3)主观认为焦点在x轴上而忽略讨论焦点在y轴上的情况；(4)忽略对方程加限制条件
