1、3.2 函数的基本性质 3.2.2 奇偶性 第1课时 奇偶性的概念 第三章 函数的概念与性质 学 习 任 务核 心 素 养1.理解奇函数、偶函数的定义(重点)2了解奇函数、偶函数图象的特征(重点)3掌握判断函数奇偶性的方法(难点)1.借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养2借助判断函数奇、偶性的方法，培养逻辑推理素养.情境导学探新知 NO.1填写下表，观察指定函数的自变量 x 互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征x321123f(x)x2g(x)1x知识点 函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件设函数 f(x)的定义域为 I，如果xI，都有xI结论f(x)f(x)
2、f(x)f(x)图象特点关于_对称关于_对称y轴原点具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示 定义域关于原点对称1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数 f(x)x2，x0，)是偶函数()(2)对于函数 yf(x)，若存在 x，使 f(x)f(x)，则函数 yf(x)一定是奇函数()(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数()(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数()答案(1)(2)(3)(4)C 奇函数的定义域关于原点对称，a10，即 a1.2.函数 yf(x)，x1，a(a1)是奇函数，则 a 等于()A1 B0C1D无法确定合作探究释疑难 NO.2类
3、型1 函数奇偶性的判断 类型2 奇偶函数的图象问题 类型3 利用函数的奇偶性求值 类型 1 函数奇偶性的判断【例 1】(对接教材 P84 例题)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)1x2 x21；(3)f(x)2x22xx1；(4)f(x)x1，x0.解(1)函数的定义域为 R，因为xR，都有xR.(2)由1x20，x210得 x21，即 x1.且 f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，因此函数 f(x)是奇函数因此函数的定义域为1,1，因为x1,1，都有x 1,1，且 f(1)f(1)f(1)0，所以 f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数 f(x)的定义域是(，1
4、)(1，)，因为x(，1)(1，)，x(，1)(1，)不成立，所以 f(x)既不是奇函数也不是偶函数(4)函数 f(x)的定义域为x|x0，因为xx|x0，都有xx|x0f(x)x1，x0，即 f(x)x1，x0，x1，x0.于是有 f(x)f(x)所以 f(x)为奇函数判断函数奇偶性的 2 种方法(1)定义法：(2)图象法：跟进训练1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x61；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x)1x2x；(4)f(x)x2，x0，x3，x0.解(1)函数 f(x)x61 的定义域为 R，因为xR，都有xR，且 f(x)(x)61x61f(x)，所以函数 f(x)x61
5、 为偶函数(2)f(x)的定义域是 R.因为xR，都有xR，且 f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，所以 f(x)是偶函数(3)f(x)的定义域为1,0)(0,1，因为x1,0)(0,1，都有x1,0)(0,1，且f(x)1x2x 1x2xf(x)，所以函数 f(x)1x2x为奇函数(4)f(x)的定义域为 R，当 x0，f(x)(x)3x3，而 f(x)x2，所以当 x0时不满足 f(x)f(x)，也不满足 f(x)f(x)故此函数是非奇非偶函数类型 2 奇偶函数的图象问题【例 2】已知奇函数 f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图所示(1)画出在区间5,0上的图象；(
6、2)写出使 f(x)0 的 x 的取值集合解(1)因为函数 f(x)是奇函数，所以 yf(x)在5,5上的图象关于原点对称由 yf(x)在0,5上的图象，可知它在5,0上的图象，如图所示(2)由图象知，使 f(x)0 的 x 的取值集合为(2，0)(2,5)(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题解(1)如图所示：(2)由(1)可知，使 f(x)0 的 x 的取值集合为(5，2)(2,5)巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 y 轴对称(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题跟进训练2已知函
7、数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f(x)x22x.现已画出函数f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示(1)请补出完整函数 yf(x)的图象；(2)根据图象写出函数 yf(x)的增区间；(3)根据图象写出使 f(x)0 的 x 的取值集合解(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(1,0)，(1，)(3)据图可知，使 f(x)0 的 x 的取值集合为(2,0)(0,2)类型 3 利用函数的奇偶性求值【例 3】(1)若函数 f(x)ax2bx3ab 是偶函数，定义域为a1,2a，则 a_，b_；(2)已知 f(x)x7ax5bx3cx2，若 f(3)3，则
8、 f(3)_.(1)从偶函数的图象特征思考如何求解参数 a，b 的值？(2)函数 g(x)x7ax5bx3cx 是奇函数还是偶函数，能否借助g(x)的奇偶性对该问题作出解答？(1)13 0(2)7 (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a12a，解得 a13.(2)令 g(x)x7ax5bx3cx，则 g(x)是奇函数，所以 f(3)g(3)2g(3)2，又 f(3)3，所以 g(3)5.又 f(3)g(3)2，所以 f(3)527.又函数 f(x)13x2bxb1 为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得 b0.利用奇偶性求值的常见类型(1)求参数值：若解析式含参数，则根据 f(x)f(
9、x)或 f(x)f(x)列式，比较系数利用特定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为 0 求参数(2)求函数值：利用 f(x)f(x)或 f(x)f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值跟进训练3若 f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数 a_.4 法一：f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，两式恒相等，则 a40，即 a4.法二：f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为 0，即 a40，则 a4.法三：由函数 f(x)0 得 x1a，x24，由于 f(
10、x)是偶函数，4a0，a4.当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 A 由题意可知12ab0，ab1，故选 A.1已知一个奇函数的定义域为1,2，a，b，则 ab 等于()A1 B1 C0 D21 2 3 4 5 B 选项 C、D 中函数的定义域不关于原点对称，选项 A 中的函数是奇函数，故选 B.2下列函数是偶函数的是()AyxBy2x23Cy 1xDyx2，x0,11 2 3 4 5 B B 选项的图象关于 y 轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性3下列图象表示的函数具有奇偶性的是()A B C D1 2 3 4 5 3 由题意可知 f(2)f(2)3.4若 f(x)为 R 上的偶
11、函数，且 f(2)3，则 f(2)_.5 1 2 3 4 0 f(x)为奇函数，f(x)f(x)0，2ax20 对任意 xR 恒成立，所以 a0.5已知函数 f(x)ax22x 是奇函数，则实数 a_.回顾本节知识，自我完成以下问题：1函数奇偶性的定义域、图象和解析式各有什么特点？提示(1)定义域特点：关于原点对称；(2)图象特点：偶函数关于 y 轴对称；奇函数关于原点对称；(3)解析式特点：偶函数满足 f(x)f(x)或 f(x)f(x)0，奇函数满足 f(x)f(x)或 f(x)f(x)0.2判断函数奇偶性的常用方法有哪些？提示 定义法和图象法点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
