1、2.3.2 离散型随机变量的方差目标定位重点难点1.理解离散型随机变量的方差的含义2利用离散型随机变量的方差解决实际问题.重点：离散型随机变量的方差的含义难点：利用离散型随机变量的方差解决实际问题.1离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则(xiE(X)2 描述了 xi(i1,2，n)相对于均值 E(X)的_，而 D(X)_ 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的_，我们称 D(X)为随机变量 X 的方差，其算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差偏离程度i1n(xiE(X)2pi平均偏离程度2离散型随机变量的性
2、质若YaXb(a，b为常数)，则E(aXb)_，D(aXb)_，当a0时，D(b)_，即常数的方差等于0.3两点分布与二项分布的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)_.(2)若XB(n，p)，则D(X)npq(q1p)aE(X)ba2D(X)0p(1p)1下面说法中正确的是()A离散型随机变量的期望E()反映了取值的概率的平均值B离散型随机变量的方差D()反映了取值的平均水平C离散型随机变量的期望E()反映了取值的波动水平D离散型随机变量的方差D()反映了取值的波动水平【答案】D2已知 的分布列为1234P14131614则 D()的值为()A2912 B121144C.179144D171
3、2【答案】C3(2017 年厦门校级联考)设随机变量 XB(8，p)，若 D(X)1.28，则 p()A0.2 B0.8C0.2 或 0.8 D0.16【答案】C4已知随机变量，D(10)1009，则的标准差为_【答案】13【例1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求的分布列、期望和方差；(2)若ab，E()1，D()11，试求a，b 的值【解题探究】(1)先写出的分布列，再求期望和方差(2)利用期望和方差的性质，列方程求解离散型随机变量的方差【解析】(1)的分布列为01234P121201103201
4、5E()0121 1202 1103 3204151.5，D()(01.5)212(11.5)2 120(21.5)2 110(31.5)2 320(41.5)2152.75.(2)由 D()a2D()，得 a22.7511，得 a2.又 E()aE()b，当 a2 时，由 121.5b，得 b2；当 a2 时，由 121.5b，得 b4.a2，b2 或a2，b4.8要求期望，需先求出分布列，要求出分布列，需先求随机变量取每个值的概率，而求概率离不开常见事件概率的计算方法熟练掌握期望和方差的性质，可以避免复杂的计算1已知 X 的分布列为X101P121316求：(1)E(X)，D(X)；(2)
5、设 Y2X3，求 E(Y)，D(Y)【解析】(1)E(X)11201311613，D(X)11321201321311321659.(2)E(Y)2E(X)373，D(Y)4D(X)209.二项分布与两点分布的方差【例 2】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了 n 株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为 p，设 为成活沙柳的株数，数学期望 E()为 3，标准差 D为 62.(1)求 n 和 p 的值，并写出 的分布列；(2)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种求需要补种沙柳的概率【解题探究】由条件分析 服从二次分布【解析】由题意，知
6、 服从二项分布 B(n，p)，P(k)Ckn pk(1p)nk，k0,1，n.(1)由 E()np3，D()np(1p)32，得 1p12.从而 n6，p12.的分布列为0123456P164664156420641564664164(2)记“需要补种沙柳”为事件 A，则 P(A)P(3)得 P(A)161520642132或 P(A)1P(3)11561642132.所以需要补种沙柳的概率为2132.8判定某一离散型随机变量是否服从两点分布或二项分布是直接利用公式求期望和方差的先决条件2一次数学测验由25道选择题构成，每答对一题得4分，不作答或答错不得分，某学生答对任一题的概率为0.6，求此
7、学生在这一次测验中的成绩的均值与方差【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为，所得的分数为，则 4.由题意，知 B(25,0.6)则E()250.615，D()250.60.46，E()E(4)4E()60，D()D(4)42D()96.所以该学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别是60 和 96.【例3】(2017年北京)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“”表示服药者，“”表示未服药者概率、分布列、均值、方差的综合应用(1)从服药的50名患者中随机选出一人
8、，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E()；(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小(只需写出结论)【解题探究】(1)根据所给图数出 y60 的人数，再除以 50就是概率；(2)由图可知 A，C 两人的指标 x1.7，根据超几何分布写出分布列，并求数学期望；(3)方差表示数据的离散程度，波动越大，方差越大【解析】(1)由图知在服药的 50 名患者中，指标 y 的值小于 60 的有 15 人，从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 y 的值
9、小于 60 的概率为15500.3.(2)由图知 A，B，C，D 四人中，指标 x 的值大于 1.7 的有A 和 C 共 2 人 的所有可能取值为 0,1,2.P(0)C22C2416，P(1)C12C12C24 23，P(2)C22C2416.的分布列为012P162316 的数学期望 E()0161232161.(3)在这 100 名患者中，服药者指标 y 数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差8离散型随机变量期望与方差的应用问题，一般先分析题意，明确题目欲求的是期望还是方差在此基础上将题目考查的数量指标用随机变量表示，把实际问题转化为随机变量的期望与方差3.甲、乙两名射手在一次射击中
10、得分为两个相互独立的随机变量，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于 6 环，且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为 0.5,3a，a,0.1，乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.【解析】(1)由题意得 0.53aa0.11，解得 a0.1.因为乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2，所以乙射中 7 环的概率为 1(0.30.30.2)0.2.所以 的分布列为(2)由(1)得 E()100.590.380.170.19.2；E()100.390.380.270.
11、28.7；D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96；D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.由于 E()E()，D()D()，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.【示例】某农科院对两个优良品种甲、乙在相同的条件下，进行对比实验，100公顷的产量列表如下：甲品种忽略对方差的比较每公顷产量/吨9.49.59.810.2公顷数11324215乙品种试判断这两个品种哪一个较好？每公顷产量/吨9.29.51011公顷数35203510错解：设甲品种每公顷产量
12、为 X，则 X 的概率分布为X9.49.59.810.2P0.110.320.420.15由上表，可得 E(X)甲9.40.119.50.329.80.4210.20.159.72.同理可以计算出E(X)乙9.20.359.50.2100.35110.19.72.由 E(X)甲E(X)乙可知甲、乙两个品种的质量相同错因分析：对于如何评价两个品种的质量的标准只是停在用均值来比较的层面上，误以为均值相同即质量相同，忽视了还可以利用方差对产量的稳定性进行考察正解：由错解，知E(X)甲E(X)乙9.72，D(X)甲(9.49.72)20.11(9.59.72)20.32(9.89.72)20.42(1
13、0.29.72)20.150.064，D(X)乙 (9.2 9.72)20.35 (9.5 9.72)20.2 (10 9.72)20.35(119.72)20.10.295 6.D(X)甲D(X)乙所以甲品种质量更好一点警示：对于两个对象的优劣的比较，首先要比较它们的均值，当均值一致时，还必须利用方差，对其稳定性进行分析比较1求方差的步骤：(1)求的分布列；(2)求的期望E()；(3)利用方差定义求D()2随机变量的方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度因而，在比较两种产品的优劣、两人技术水平的高低时，如果均值相同，就需用方差来决定产品或技术的稳定情况3方差的性质：D(ab)a
14、2D()4若服从两点分布，则D()p(1p)5若B(n，p)，则D()np(1p)1已知随机变量满足D2，则D(23)()A8B5C4D2【答案】A2一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为，则D等于()A0.2B0.8C0.196D0.804【答案】C3.(2019 年佛山期末)已知离散型随机变量 X 的分布列如下，则D(X)=()X024P141214A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】E(X)=014+212+414=2，则 D(X)=14(0-2)2+12(2-2)2+14(4-2)2=2.故选 B.4.（多空题）(2019 年杭州期末)已知随机变量 XB(n,p)，则E(X)=2,D(X)=32，则 n=_，p=_【答案】8 14【解析】由二项分布可得 E(X)=np=2,D(X)=np(1-p)=32，解得n=8,p=14.
