1、1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x12x，y13y后，曲线 C：x2y236 变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标解：设圆 x2y236 上任一点为 P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为 P(x，y)，则x2x，y3y，所以 4x29y236，即x29 y24 1.所以曲线 C 在伸缩变换后得椭圆x29y241，其焦点坐标为(5，0)2(2015高考江苏卷)已知圆 C 的极坐标方程为 22 2sin(4)40，求圆 C 的半径解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为 22 222 sin 22 cos 40，
2、化简，得 22sin 2cos 40.则圆 C 的直角坐标方程为 x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆 C 的半径为 6.3(2016扬州质检)求经过极点 O(0，0)，A6，2，B6 2，94三点的圆的极坐标方程解：将点的极坐标化为直角坐标，点 O，A，B 的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)，故OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3，3)，半径为 3 2，圆的直角坐标方程为(x3)2(y3)218，即 x2y26x6y0，将 xcos，ysin 代入上述方程，得 26(cos sin)0，即 6 2cos4.4圆 O1 和圆 O2 的极坐标方
3、程分别为 4cos，4sin.(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O1，O2 交点的直线的直角坐标方程解：(1)xcos，ysin，由 4cos 得 24cos，所以 x2y24x，即 x2y24x0 为O1 的直角坐标方程 同理，x2y24y0 为O2 的直角坐标方程(2)由x2y24x0，x2y24y0，解得x10，y10或x22，y22.即O1，O2 交于点(0，0)和(2，2)，过交点的直线的直角坐标方程为 yx.5(2014高考天津卷改编)在以 O 为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线 sin a 相交于 A，B 两点若AOB 是等边三角形，求
4、a 的值解：由 4sin，可得 x2y24y，即 x2(y2)24.由 sin a，可得 ya.设圆的圆心为 O，ya 与 x2(y2)24 的两交点 A，B 与 O 构成等边三角形，如图所示 由对称性知OOB30，ODa.在 RtDOB 中，易求 DB 33 a，所以 B 点的坐标为33 a，a.又因为 B 在 x2y24y0 上，所以33 a2a24a0，即43a24a0，解得 a0(舍去)或 a3.6在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 cos3 1，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴，y 轴的交点(1)写出曲线 C 的直角坐
5、标方程，并求点 M，N 的极坐标；(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程解：(1)由 cos3 1，得 12cos 32 sin 1，从而曲线 C 的直角坐标方程为12x 32 y1，即 x 3y2.0 时，2，所以 M(2，0)2 时，2 33，所以 N2 33，2.(2)由(1)得点 M 的直角坐标为(2，0)，点 N 的直角坐标为0，2 33.所以点 P 的直角坐标为1，33，则点 P 的极坐标为2 33，6，所以直线 OP 的极坐标方程为 6，(，)1(2016唐山统一考试)已知圆 C：x2y24，直线 l：xy2.以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长
6、度建立极坐标系(1)将圆 C 和直线 l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|OP|OR|2，当点 P 在 l 上移动时，求点 Q 轨迹的极坐标方程解：(1)将 xcos，ysin 代入圆 C 和直线 l 的直角坐标方程得其极坐标方程为 C：2，l：(cos sin)2.(2)设 P，Q，R 的极坐标分别为(1，)，(，)，(2，)，则由|OQ|OP|OR|2，得 122.又 22，12cos sin，所以2cos sin 4，故点 Q 轨迹的极坐标方程为 2(cos sin)(0)2(2016云南省师大附中适应性
7、考试)在直角坐标系 xOy 中，半圆 C 的参数方程为x1cos，ysin(为参数，0)以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的极坐标方程是(sin 3cos)5 3，射线 OM：3 与半圆 C 的交点为 O，P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长解：(1)半圆 C 的普通方程为(x1)2y21(0y1)，又 xcos，ysin，所以半圆 C 的极坐标方程是 2cos，0，2.(2)设(1，1)为点 P 的极坐标，则有12cos 1，13，解得11，13，设(2，2)为点 Q 的极坐标，则有2（sin 2 3cos 2）5 3，
8、23，解得25，23，由于 12，所以|PQ|12|4，所以线段 PQ 的长为 4.3(2016东北三校模拟)已知点 P 的直角坐标是(x，y)以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系设点 P 的极坐标是(，)，点 Q 的极坐标是(，0)，其中 0 是常数设点 Q 的直角坐标是(m，n)(1)用 x，y，0 表示 m，n；(2)若 m，n 满足 mn1，且 04，求点 P 的直角坐标(x，y)满足的方程解：(1)由题意知xcos，ysin，且mcos（0），nsin（0），所以mcos cos 0sin sin 0，nsin cos 0cos sin 0，所以m
9、xcos 0ysin 0，nxsin 0ycos 0.(2)由(1)可知m 22 x 22 y，n 22 x 22 y，又 mn1，所以22 x 22 y 22 x 22 y 1.整理得x22y221.所以x22y221 即为所求方程4(2016哈尔滨模拟)在平面直角坐标系中，曲线 C1 的参数方程为x2cos，ysin(为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线 3 与曲线 C2 交于点 D2，3.(1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点 A(1，0)，B2，02，若 A、B 都在
10、曲线 C1 上，求 121122的值解：(1)因为 C1 的参数方程为x2cos，ysin，所以 C1 的普通方程为x24y21.由题意知曲线 C2 的极坐标方程为 2acos(a 为半径)，将 D2，3 代入，得 22a12，所以 a2，所以圆 C2 的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为 2，所以 C2 的直角坐标方程为(x2)2y24.(2)曲线 C1 的极坐标方程为2cos242sin21，即 244sin2cos2.所以 2144sin20cos20，2244sin202 cos202 4sin204cos20.所以 121 1224sin20cos2044cos20sin20454.