1、2.2.3 独立重复试验与二项分布目标定位重点难点1.理解n次独立重复试验及二项分布模型2理解二项分布模型并能解决一些简单的实际问题.重点：理解n次独立重复试验及二项分布模型难点：利用二项分布模型解决实际问题.1n次独立重复试验在_条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验相同2二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件 A 恰 好 发 生 k 次 的 概 率 为 _，k 0,1,2，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X_，并称p为_p(Xk)Cknpk(1p)nkB(n，p)成功概率1独立重复试验应满足的条件是：
2、每次试验之间是相互独立的；每次试验只有发生与不发生两种结果；每次试验中发生的机会是均等的；各次试验发生的事件是互斥的其中正确的是()ABCD【答案】C2已知 XB6，13，则 P(X2)等于()A 316 B 4243C 13243D 80243【答案】D3从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为_【答案】0.048 64某人射击 1 次击中目标的概率为23，经过 3 次射击，此人至多有两次击中目标的概率为_【答案】1927【例1】判断下列试验是不是独立重复试验(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击
3、中(3)口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球，依次不放回地从中抽取5个球，恰好抽出4个白球【解题探究】由独立重复试验的定义去分析相应的实例独立重复试验的判断【解析】(1)试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验(3)每次抽取，试验的结果有三种不同颜色且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验8独立重复试验必须满足两个特征：每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立1小明同小华一起玩掷骰子游戏，游戏规则如下：小明先掷，小华后掷，如此间隔投掷，问：(1)小明共投掷n次，是否可看
4、作n次独立重复试验？小华共投掷m次，是否可看作m次独立重复试验？(2)在游戏的全过程中共投掷了mn次，则这mn次是否可看作mn次独立重复试验?【解析】(1)由独立重复试验的条件，小明、小华各自投掷骰子时可看作在相同条件下且每次间互不影响，故小明、小华分别投掷的n次和m次可看作n次独立重复试验和m次独立重复试验(2)就全过程考查，不是在相同条件下进行的试验，故不能看作mn次独立重复试验【例2】某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确且其中第3次预报准确的概率【解题探究
5、】利用独立重复试验的概率公式求解即可独立重复试验的概率【解析】(1)“5 次预报中恰有 2 次准确”的概率为P1C254521453101625 11250.05.(2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率为P21C054501455C1545145410.000 320.006 40.99.(3)“5 次预报中恰有 2 次准确且其中第 3 次预报准确”的概率为 P3C14451453450.02.8解决此类问题，首先要确定随机变量，再判断是否满足独立重复试验，若满足，可直接利用相互独立事件的概率公式求解对于所求事件，如果较为复杂，可利用对立事件去求2若某人每次射击击中目标的概率均为35，
6、此人连续射击三次，求至少有两次击中目标的概率【解析】至少有两次击中目标包含仅有两次击中，其概率为 C23352135，或三次都击中，其概率为 C33353.所以至少有两次击中目标的概率为 C23352135 C33353 81125.二项分布问题【例 3】某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数 A a1 a2 a3 a4 a5，其中 A 的各位数中，a11，ak(k2,3,4,5)出现 0 的概率为13，出现 1 的概率为23.记 a1a2a3a4a5，当程序运行一次时，(1)求 3 的概率；(2)求 的分布列【解题探究】(1)利用独立重复试验的概率求解(2)服从二项分布【解析】(
7、1)已知 a11，要使 3，只需后四位中出现 2个 1 和 2 个 0.P(3)C24232132 827.(2)令 a2a3a4a5，0,1,2,3,4.易知 B4，23，1，的可能取值为 1,2,3,4,5.P(1)P(0)C04230134 181.P(2)P(1)C14231133 881.P(3)P(2)C24232132 827.P(4)P(3)C342331313281.P(5)P(4)C442341301681.的分布列为12345P181881827328116818判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，
8、即试验是独立重复地进行了n次.当随机变量X服从二项分布时，应弄清XB(n，p)中的试验次数n与成功概率p.对于公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式.3某智能玩具的外形是正方体，其每一个面(编号分别为)上都配置有 5 颗颜色各异的闪光小星星，假设每颗闪光小星星正常发光的概率均为12，若一个面上至少有 3 颗闪光小星星正常发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要 10 元，用 表示更换费用(1)求号面需要更换的概率；(2)求 的分布列【解析】(1)由题意知号面需要更换的概率为 C05125C15125
9、C2512512.(2)设需要更换的面的个数为，则 B6，12.P(0)C0626 164，P(1)C1626 332，P(2)C26261564，P(3)C3626 516，P(4)C46261564，P(5)C5626 332，P(6)C6626 164.的分布列为0102030405060P16433215645161564332164【示例】某娱乐节目为每位选手准备了5道试题，每道题设有“Yes”与“No”两个选项，其中只有一个是正确的选手每答对一题，获得一个商标假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题(1)求甲获得2个商标的概率；(2)求乙只获得3个商标且是连续获得3个商标的概率思维不周致
10、误错解 1：(1)甲获得 2 个商标的概率为C2555；(2)乙获得 3 个商标且连续获得 3 个商标的概率为C3555.错解 2：(1)甲获得 1 个商标的概率为12，甲获得 2 个商标的概率为14.(2)乙获得 3 个商标，可以是 1,2,3 次获得商标或 2,3,4 次获得商标或 3,4,5 次获得商标，故概率为 312121238.错因分析：对于错解1，(1)(2)两问都是由于题意不清致误对于错解2，主要原因是思维不周密，前三次获得商标，则4,5次必须不获得商标，步骤需要完善正解：由题意，甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，即他们每道题答对的概率均为12，则回答 5 道题相当于做了 5 次
11、独立重复试验，每次试验成功的概率为12.(1)甲获得 2 个商标的概率为 C25122123 516.(2)乙连续获得 3 个商标，相当于“1,2,3 次对，4,5 次错”，或“2,3,4 次对，1,5 次错”，或“3,4,5 次对，1,2 次错”概率为123122123122123122 332.警示：在求某事件的概率时，要善于从具体问题中抽象出独立重复试验的模型，并明确n是多少，事件A是什么，其发生的概率是多少等问题1独立重复试验(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生要么不发生)，并且在任何一次试验中，事件发生的
12、概率均相等(2)一般地，如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率：P(Xk)Cknpk(1p)nk.独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单要弄清 n，p，k 的意义2二项分布满足条件：(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的；(2)各次试验中的事件是相互独立的；(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数1.(2019 年武汉期末)某学生参加一次选拔考试,有 5 道题,每题 10分.已知他解每道题的正确率都是35,则该生
13、得到 30 分的概率是()A.(35)3(25)2B.C53(35)3C.C53(35)3(25)2D.C53(35)2(25)3【答案】C【解析】得到 30 分即有 3 道题解答正确，每道题的正确率都是35，于是解答 5 道题可看作 5 次独立重复试验，故所求概率为 C53(35)3(25)2.故选 C.2.(2019 年牡丹江月考)小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为23，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是()A.481B.881C.427D.827【答案】D【解析】四次投篮是四次独立重复试验，故恰好两次投中的概率是 C42(23)2(1-23)2=827.故选 D.3在比赛中
14、，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是()A 40243 B 80243C 110243D 20243【答案】B【解析】运动员甲胜乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是 C352331232 80243，故选 B.4.已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为 0.001，如果公路上每天有 1 000 辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为 ；恰好发生一起车祸的概率为 .(已知 0.99910000.367 70,0.9999990.368 06，精确到 0.000 1)【答案】0.632 3 0.368 1【解析】设发生车祸的车辆数为 X，则 XB(1 000,0.001).记事件 A 为“公路上发生车祸”，则 P(A)1P(X0)10.9991 00010.367 700.632 3.恰好发生一次车祸的概率为 P(X1)C11 0000.0010.9999990.368 060.368 1.
