1、专题检测（二十四） 临界知识问题一、选择题1对22数表定义平方运算，规则是：2，则2的值是()A.B.C. D.解析：选A2.2点P(3,1)在椭圆1(ab0)的左准线上，过点P且方向为a(2，5)的光线，经直线y2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选A作出示意图，如图所示由题意，kPA.lPA：5x2y130，则交点A的坐标为，据光的反射知识知kAFkPA.lAF：5x2y50.直线AF与x轴交点即左焦点F(1,0)，即c1.又左准线xa23，a.e.故选A.3记实数x1，x2，xn中的最大数为maxx1，x2，xn，最小数为minx1，x2，xn已知
2、ABC的三边长为a，b，c(abc)，定义它的倾斜度为lmaxmin，则“l1”是“ABC为等边三角形”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A若ABC为等边三角形时，即abc，则max1min，则l1；若ABC为等腰三角形，如a2，b2，c3时，则max，min，此时l1仍成立，但ABC不为等边三角形，故“l1”是“ABC为等边三角形”的必要不充分条件4对于定义域为R的函数f(x)，若f(x)在区间(，0)和区间(0，)上均有零点，则称函数f(x)为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是()Af(x)x2bx1(bR)Bf(x)2
3、|x1|Cf(x)2xx2Df(x)xsin x解析：选D对于A，因为f(x)x2bx1(bR)的零点即为方程x2bx10的根，所以b240，且方程x2bx10有一正根一负根，故函数f(x)x2bx1(bR)是“含界点函数”；对于B，令f(x)2|x1|0，得x3或x1，故f(x)2|x1|在区间(，0)和区间(0，)上均有零点，即f(x)为“含界点函数”；对于C，作出yx2和y2x的图象(图略)，可知f(x)2xx2在区间(，0)和区间(0，)上均有零点，故f(x)2xx2是“含界点函数”；对于D，因为f(x)xsin x在R上是增函数，且f(0)0，故f(x)xsin x不是“含界点函数”
4、5设无穷数列an，如果存在常数A，对于任意给定的正数(无论多小)，总存在正整数N，使得nN时，恒有|anA|1，所以对于任意给定的正数(无论多小)，不存在正整数N，使得nN时，恒有|an2|，即2不是数列的极限对于，由|an2|1log2，即对于任意给定的正数(无论多小)，总存在正整数N，使得nN时，恒有|an2|1，所以对于任意给定的正数(无论多小)，不存在正整数N，使得nN时，恒有|an2|100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是()A440 B330C220 D110解析：选A设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，
5、前n组的项数和为.由题意可知，N100，令100，得n14，nN*，即N出现在第13组之后易得第n组的所有项的和为2n1，前n组的所有项的和为n2n1n2.设满足条件的N在第k1(kN*，k13)组，且第N项为第k1组的第t(tN*)个数，若要使前N项和为2的整数幂，则第k1组的前t项的和2t1应与2k互为相反数，即2t1k2，2tk3，tlog2(k3)，当t4，k13时，N4955时，N440，故选A.二、填空题7已知F1，F2为椭圆1(ab0)的两个焦点，M是椭圆上与F1，F2不共线的任意一点，I是MF1F2的内心，延长MI交F1F2于点N，则_.解析：因为I是MF1F2的内心，所以MN
6、是F1MF2的角平分线，所以.所以，所以，所以.又因为IF2为NF2M的角平分线，所以.答案：8设集合A和Bx|log2(x2x)2，其中符号x表示不大于x的最大整数，则AB_.解析：因为8x2 017，x的值可取3，2，1，0,1,2,3.当x3，则x21，无解；当x2，则x22，解得x；当x1，则x23，无解；当x0，则x24，无解当x1，则x25，无解；当x2，则x26，解得x；当x3，则x27，无解综上AB，答案：，9对于函数f(x)，若存在区间Am，n，使得y|yf(x)，xAA，则称函数f(x)为“可等域函数”，区间A为函数f(x)的一个“可等域区间”给出下列4个函数：f(x)si
7、n；f(x)2x21；f(x)|12x|；f(x)log2(2x2)其中的“可等域函数”为_(填序号)解析：根据题意，中，1,0与0,1及1,1都是f(x)的“可等域区间”，满足；中，f(x)2x21在1，1的值域为1,1，满足；中，f(x)|12x|与yx的交点为(0,0)，(1,1)，其“可等域区间”为0,1，满足；中，f(x)log2(2x2)与yx无交点，不满足故“可等域函数”为.答案：三、解答题10若函数ysin x在(0，)上是上凸函数，那么在ABC中，求sin Asin Bsin C的最大值解：因为ysin x在(0，)上是上凸函数，则(sin Asin Bsin C)sinsi
8、n 60，即sin Asin Bsin C，当且仅当sin Asin Bsin C时，即ABC时，取等号11.如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE2，ACAA14，E60，点B在线段ED上(1)当点B在何处时，平面A1BC平面A1ABB1；(2)点B在线段ED上运动的过程中，求三棱柱ABCA1B1C1表面积的最小值解：(1)由于三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，则AA1平面ABC，因为BC平面ABC，所以AA1BC.而AA1ABA，只需BC平面A1ABB1，即ABBC，就有“平面A1BC平面A1ABB1”在平行四边形ACDE中，因为AE2，
9、ACAA14，E60.过B作BHAC于H，则BH.若ABBC，有BH2AHCH.由AC4，得AH1或3.两种情况下，B为ED的中点或与点D重合(2)三棱柱ABCA1B1C1表面积等于侧面积与两个底面积之和显然三棱柱ABCA1B1C1其底面积和平面A1ACC1的面积为定值，只需保证侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和最小即可过点B作BHAC于H，则BH.令AHx，则侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和等于4(ABBC)4其中可以表示动点(x,0)到定点(0，)和(4，)的距离之和，当且仅当x2时取得最小值所以三棱柱的表面积的最小值为242424816.12已知不等式log2n，其中n为大于2的整数，log2n表示不超过log2n的最大整数设数列an的各项为正，且满足a1b(b0)，an，n2，nN*.(1)证明anN时，对任意b0，都有an.解：(1)证明：法一：因为当n2时，0log2n因为a1b，所以log2n.所以an.法二：设f(n)，首先利用数学归纳法证不等式an，n3，nN*.当n3时，由a3知不等式成立假设当nk(k3，nN*)时，不等式成立，即ak，则ak1，即当nk1时，不等式也成立由知，an，n3，nN*.又由已知不等式得an，n3，nN*.(2)有极限，且an0.(3)因为，令10n2101 024，故取N1 024，可使当nN时，都有an.
