1、高考资源网（ ），您身边的高考专家2.3.1 抛物线及其标准方程一、教学目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想二、教学重点 抛物线的定义及标准方程三、教学难点 抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学过程（一）复习旧知在初中，我们学习过了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线例如：（1
2、），（2）的图象（展示两个函数图象）： （二）讲授新课 1.课题引入 在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容.（板书：课题2.4.1 抛物线及其标准方程） 2.抛物线的定义信息技术应用（课堂中展示画图过程） 先看一个实验： 如图：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M。拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）
3、可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有|MH|=|MF|,即点M与定点F和定直线的距离相等。（也可以用几何画板度量|MH|，|MF|的值） （定义引入）： 我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.（板书）思考？若F在上呢？（学生思考、讨论、画图） 此时退化为过F点且与直线 垂直的一条直线.3.抛物线的标准方程 从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点满足到焦点F的距离与到准线的距离相等。那么动点的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系.问题 设焦点F到准线的距离为，你认为
4、应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程. （引导学生分组讨论，回答，并不断补充常见的几种建系方法，叫学生应用投影仪展示计算结果）123注意：1.标准方程必须出来，此表格在黑板上板书。2.若出现比较复杂建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先排除计算3.强调P的意义。4.教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程.（选择标准方程）师：观察4（3）个建系方案及其对应的方程，你认为哪种建系方案使方程
5、更简单？ （学生选择，说明1.对称轴 2.焦点 3.方程无常数项，顶点在原点）推导过程：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F（,0）,l的方程为x=.设动点M（x,y），由抛物线定义得：化简得y2=2px(p0)师：我们把方程叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是，准线方程是。师：在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：（学生分前两排，中间两排，后面两排三组分别计算三种情况，一
6、起填充表格）图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p0)（,0）x=y2=2px(p0)（,0）x=x2=2py(p0)（0,）y=x2=2py(p0)（0,）y=(三)例题讲解例1（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程, （2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程.解：（1）抛物线方程为y2=6xp=3，则焦点坐标是（，0），准线方程是x=.（2）焦点在y轴的负半轴上，且=2，p=4则所求抛物线的标准方程是：x2=8y. 变式训练1：(1) 已知抛物线的准线方程是x=，求它的标准方程.(2) 已知抛物线的标准方程是2y2+5x=0,求它的焦点坐标和准线方程.解(1)焦点是F
7、（0，3），抛物线开口向上，且=3，则p=6所求抛物线方程是x2=12y(2)抛物线方程是2y2+5x=0，即y2=x，p=高考学习网XK则焦点坐标是F(,0)，准线方程是x=例2 点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.解：如右图所示，设点M的坐标为（x,y)由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线.=4，p=8因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y2=16x.变式训练2：在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小.解：如下图所示，设抛物线的点P到准线的距离为|PQ|由抛物线定义可知：|PF|=|PQ|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小.A(3,2)，可设P（x0,2)代入y2=2x得x0=2故点P的坐标为（2，2）.(四)小结1、抛物线的定义；2、抛物线的四种标准方程；3、注意抛物线的标准方程中的字母P的几何意义.(五)课后练习欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。