1、圆一、选择题1.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒,水平放置在桌面上.水杯的底面如图3-11-1所示,已知水杯内径(图中小圆的直径)是8 cm,水的最大深度是2 cm,则杯底有水部分的面积是() 图3-11-1A.cm2B.cm2C.cm2D.cm2答案A如图所示,设水面与小圆的两个交点为点A和点B,连接OA、OB,过点O作OCAB,与小圆交于点C,与AB交于点D.小圆的直径是8 cm,OA=OB=OC=4 cm,OD=4-2=2 cm.AD=2 cm.AB=2AD=4 cm.在RtAOD中,cosAOD=,AOD=60,同理,BOD=60,AOB=120,所求面积为S扇形AOB
2、-SAOB=-42=cm2.2.如图3-11-2,AB是O的直径,点C、D在O上,ODAC,下列结论错误的是()图3-11-2A.BOD=BACB.BOD=CODC.BAD=CADD.C=D答案DA项,ODAC,BOD=BAC,正确;B项,易证AD平分BAC,BAD=CAD,BOD=COD,正确;C项,由B项知BAD=CAD,正确;D项,不能证得,错误.3.将量角器按如图3-11-3所示的方式放置在三角形纸板上,使点C在半圆上.若点A、B的读数分别为30、86,则ACB的大小为()图3-11-3A.15B.28C.29D.34答案B的度数=86-30=56,所以ACB=28.4.如图3-11-
3、4,O是ABC的内心,过点O作EFAB,与AC、BC分别交于E、F,则()图3-11-4A.EFAE+BFB.EFAE+BFC.EF=AE+BFD.EF=AB答案C连接OA,OB.O是ABC的内心,AO、BO分别是CAB、ABC的平分线.EAO=OAB,ABO=FBO.EFAB,AOE=OAB,BOF=ABO.EAO=AOE,FBO=BOF,AE=OE,OF=BF,EF=AE+BF.故选C.5.如图3-11-5,点A、B、C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OFOC交圆O于点F,则BAF等于()图3-11-5A.12.5B.15C.20D.22.5答案B连接OB,四边形ABCO是平
4、行四边形,OC=OA,四边形ABCO是菱形,OC=BC=OB,BCO是等边三角形,COB=60,又OFCO,1=30,BAF=1=15.故选B.6.如图3-11-6,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16 cm2,则该半圆的半径为()图3-11-6A.(4+)cmB.9 cmC.4 cmD.6 cm答案C如图,连接OD,OM,设CD=x cm,则OC= cm.根据勾股定理得,OC2+CD2=OD2,ON2+MN2=OM2,因为OD=OM,CN=MN=4 cm,+x2=+42,解得x=8(负值舍去),OD=4 cm,故选C.二、填空题7.如图3-11-7,一圆与平面直角坐标系中的x
5、轴相切于点A(8,0),与y轴交于点B(0,4)、C(0,16),则该圆的直径为.图3-11-7答案20解析设圆心为点D,连接DA,作DEBC于E,则四边形DAOE为矩形.由B、C两点坐标可得E点的纵坐标为10,所以圆的半径为10,直径为20.8.如图3-11-8,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D、C、E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是.图3-11-8答案14解析根据切线长定理,得AD=AE,BC=BE,所以梯形的周长是52+4=14.9.已知:如图3-11-9,正六边形内接于O,O的半径为10,则图中阴
6、影部分的面积为.图3-11-9答案100-150解析如图,O的面积为R2=100,正六边形的边长a=R=10,边心距h=5,故正六边形的面积为6105=150.故S阴影=S圆-S正六边形=100-150.10.)如图3-11-10,AB是半圆的直径,点O为圆心,OA=5,弦AC=8,ODAC,垂足为E,交O于D,连接BE.设BEC=,则sin 的值为.图3-11-10答案解析如图,连接BC,AB是半圆的直径,ACB=90,在RtABC中,AC=8,AB=10,BC=6,ODAC,AE=CE=AC=4,在RtBCE中,BE=2,sin =.三、解答题11.如图3-11-11,在O中,直径AB与弦
7、CD相交于点P,CAB=40,APD=65.(1)求B的大小;(2)已知AD=6,求圆心O到BD的距离.图3-11-11解析(1)APD=C+CAB,C=65-40=25,B=C=25.(2)如图,过点O作OEBD于E,则DE=BE.又AO=BO,OE=AD=6=3,圆心O到BD的距离为3.12.如图3-11-12,ABC是直角三角形,ACB=90.(1)尺规作图:作C,使它与AB相切于点D,与AC相交于点E.保留作图痕迹,不写作法,请标明字母;(2)在你按(1)中要求所作的图中,若BC=3,A=30,求的长.图3-11-12解析(1)如图.(2)C切AB于点D,CDAB,ADC=90,又AC
8、B=90,A=30,B=ACD=60.在RtBCD中,BC=3,CD=BCsin B=3sin 60=,的长为=.13.如图3-11-13,O是ABC的内心,BO的延长线和ABC的外接圆相交于点D,连接DC、DA、OA、OC,四边形OADC为平行四边形.(1)求证:BOCCDA;(2)若AB=2,求阴影部分的面积.图3-11-13解析(1)证明:O为ABC的内心,2=3,5=6,1=2,1=3,(3分)四边形OADC为平行四边形,ADCO,4=5,4=6,BOCCDA(AAS).(6分)(2)由(1)得BC=AC,3=4=6,ABC=ACB,AB=AC,ABC为等边三角形,
9、(8分)ABC的内心O也是外心,OA=OB=OC.设E为BD与AC的交点,则BE垂直平分AC.在RtOCE中,CE=AC=AB=1,OCE=30,OE=,OA=OB=OC=,AOB=120,S阴影=S扇形AOB-SAOB=-2=.(11分)14.如图3-11-14,以ABC的边BC上一点O为圆心的圆经过A、C两点且与BC边交于点E.点D为下半圆弧的中点,连接AD交线段EO于点F,若AB=BF.(1)求证:AB是O的切线;(2)若CF=4,DF=,求O的半径r及sin B.图3-11-14解析(1)证明:连接AO、DO.D为下半圆弧的中点,EOD=90,AB=BF,OA=OD,BAF=BFA=OFD,OAD=ADO,BAF+OAD=OFD+ADO=90,即BAO=90,AB是O的切线.(2)在RtOFD中,OF=CF-OC=4-r,OD=r,DF=,OF2+OD2=DF2,(4-r)2+r2=()2,r1=3,r2=1(舍去),半径r=3,OA=3,OF=CF-OC=4-3=1,BO=BF+FO=AB+1.在RtABO中,AB2+AO2=BO2,AB2+32=(AB+1)2,AB=4,BO=5,sin B=.11
