1、第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离dr0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解做一做1直线3x4y10与圆(x2
2、)2(y3)29的位置关系为()A相交B相切C相离 D不确定答案：A2圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A外离 B相交C外切 D内切答案：B1辨明两个易误点(1)对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形(2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形2圆的切线问题(1)过圆x2y2r2(r0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2；(2)过圆x2y2DxEyF0(D2E24F0)外一点M(x0，y0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T的切线长公式为|MT|(其中C为圆C的圆心，r为其半径)3求圆的弦长的常用
3、方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则()2r2d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|.注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题做一做3圆Q：x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20解析：选D.因点P在圆上，且圆心Q的坐标为(2，0)，kPQ，切线斜率k，切线方程为y(x1)，即xy20.4(2014高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_解析：圆心为(2，1)，半径r2.圆心到直线的距离d
4、，所以弦长为22.答案：_直线与圆的位置关系_(1)(2013高考陕西卷)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外， 则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切B相交C相离 D不确定(2)(2013高考湖北卷)已知圆O：x2y25，直线l：xcos ysin 1.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k_.扫一扫进入91导学网()直线与圆的位置关系解析(1)因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，从而圆心O到直线axby1的距离d1，所以直线与圆相交(2)圆心(0，0)到直线l的距离为1，又圆O的半径为，故圆上有4个点符合条件答案(1)B(2)4规律方法判断直线与圆的位置
5、关系常见的方法：(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程随后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题1.(2015山东聊城模拟)圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点的个数为()A1 B2C3 D4解析：选C.因为圆心到直线的距离为2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个_圆与圆的位置关系_已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230，m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切；(2)圆C
6、1与圆C2内含解对于圆C1与圆C2的方程，经配方后得C1：(xm)2(y2)29；C2：(x1)2(ym)24.(1)如果C1与C2外切，则有32.(m1)2(2m)225.m23m100，解得m5或m2.当m5或m2时，圆C1与圆C2外切(2)如果圆C1与圆C2内含，则有32.(m1)2(2m)21，m23m20，解得2m1，当2m0)，由题意得a2b0，且a2()2b2，解得a2，b1.所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.答案(x2)2(y1)24考题溯源本题源于人教A版必修2 P132 A组第6题“求圆心在直线3xy0上，与x轴相切，且被直线xy0截得的弦长为2的圆的方程”1.(2
7、014高考福建卷)直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，则“k1”是“OAB的面积为”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件解析：选A.将直线l的方程化为一般式得kxy10，所以圆O：x2y21的圆心到该直线的距离d.又弦长为2，所以SOAB，解得k1.因此可知“k1”是“OAB的面积为”的充分而不必要条件，故选A.2(2015山西太原五中调研)在ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若2ccos(C)asin(A)bcos(B)，则圆M：x2y24被直线l：axbyc0所截得的弦长为_解析：由2ccos(C)asin(A)
8、bcos(B)，化简得2csin Casin Absin B，由正弦定理，可得2c2a2b2；圆M：x2y24的圆心为(0，0)，半径为r2，圆心M到直线l：axbyc0的距离为d，所以圆M被直线l所截得的弦长为22.答案：1在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线xy40相切，则圆O的方程为()Ax2y24Bx2y23Cx2y22 Dx2y21解析：选A.依题意，圆O的半径r等于原点O到直线xy40的距离，即r2，得圆O的方程为x2y24.2若a2b22c2(c0)，则直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为()A. B1C. D.解析：选D.因为圆心(0，0)到直线axbyc0的
9、距离d，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 ，所以弦长为.3(2014高考湖南卷)若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A21 B19C9 D11解析：选C.圆C2的标准方程为(x3)2(y4)225m.又圆C1：x2y21，|C1C2|5.又两圆外切，51，解得m9.4(2015湖南岳阳模拟)若直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则k，b的值分别为()A.，4 B，4C.，4 D，4解析：选A.因为直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，所以直线ykx与直线2xyb0垂直，且直线2xyb0过圆心，所以解得k
10、，b4.5过点P(4，1)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A3xy40 B3xy40C4xy40 D4xy40解析：选B.如图所示，A点的坐标为(1，1)，ABPC，kPC，kAB3，直线AB的方程为y13(x1)，即3xy40.6已知圆O：x2y25和点A(1，2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_解析：因为点A(1，2)在圆x2y25上，故过点A的圆的切线方程为x2y5，令x0，得y.令y0，得x5，故S5.答案：7(2015辽宁阜新模拟)过点(1，)的直线l将圆(x2)2y24分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线
11、l的斜率k_解析：(12)2()234，点(1，)在圆(x2)2y24的内部，当劣弧所对的圆心角最小时，即直线l交圆的弦长最短，此时圆心(2，0)与点(1，)的连线垂直于直线l.，所求直线l的斜率k.答案：8(2015山东济南模拟)设O为坐标原点，C为圆(x2)2y23的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足0，则_解析：0，OMCM，OM是圆的切线设OM的方程为ykx，由，得k，即.答案：或9已知圆C：x2y28y120，直线l：axy2a0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|2时，求直线l的方程解：将圆C的方程x2y28y120配方得标准方程
12、为x2(y4)24，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有2.解得a.(2)过圆心C作CDAB(图略)，则根据题意和圆的性质，得解得a7或a1.故所求直线方程为7xy140或xy20.10已知圆C：x2(y1)25，直线l：mxy1m0.(1)求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|，求直线l的倾斜角解：(1)证明：将已知直线l化为y1m(x1)故直线l恒过定点P(1，1)因为1，故点P(1，1)在已知圆C内，从而直线l与圆C总有两个不同的交点(2)圆半径r，圆心C到直线l的距离为d ，由点到直线的距离公式得，解得
13、m，故直线的斜率为，从而直线l的倾斜角为或. 1(2014高考江西卷)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为()A. B.C(62) D.解析：选A.AOB90，点O在圆C上设直线2xy40与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2xy40的距离，点C在以O为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上，当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|，圆C的最小半径为，圆C面积的最小值为.2圆心在直线xy40上，且经过两圆x2y26x40和x2y26y280的交点的圆的方程为()Ax2y2x7y320
14、 Bx2y2x7y160Cx2y24x4y90 Dx2y24x4y80解析：选A.设经过两圆的交点的圆的方程为x2y26x4(x2y26y28)0，即x2y2xy0，其圆心坐标为(，)，又圆心在直线xy40上，所以40，解得7，故所求圆的方程为x2y2x7y320.3(2015江苏南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y24x0.若直线yk(x1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是_解析：圆C的方程可化为(x2)2y24.先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点P到圆心的距离为2”再将“直线上存在点P到圆心的距离为2”转化为“圆心到直线的距离小于
15、等于2”即2，2k2.答案：2，24(2014高考湖南卷)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，则|的最大值是_解析：设D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆又(1，0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)间距离的最大值圆心C(3，0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.答案：15已知圆x2y22ax2ay2a24a0(0a4)的圆心为C，直线l：yxm.(1)若m4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；(2)若直线l是圆心C下方的切线，当a
16、在(0，4上变化时，求m的取值范围解：(1)x2y22ax2ay2a24a0，(xa)2(ya)24a，圆心为C(a，a)，半径为r2，设直线l被圆C所截得的弦长为2t，当m4时，直线l：xy40，圆心C到直线l的距离为d|a2|，则t2(2)22(a2)22a212a82(a3)210，又0a4，当a3时，直线l被圆C所截得弦长的值最大，其最大值为2.(2)圆心C到直线l的距离为d，直线l是圆C的切线，dr，即2，m2a2，又直线l在圆心C的下方，m2a2(1)21，a(0，4，m的取值范围是1，846(选做题)(2015广东揭阳模拟)已知曲线C的方程为：ax2ay22a2x4y0(a0，a
17、为常数)(1)判断曲线C的形状；(2)设曲线C分别与x轴，y轴交于点A，B(A，B不同于原点O)，试判断AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；(3)设直线l：y2x4与曲线C交于不同的两点M，N，且|OM|ON|，求曲线C的方程解：(1)将曲线C的方程化为x2y22axy0(xa)2(y)2a2，可知曲线C是以点(a，)为圆心，以 为半径的圆(2)AOB的面积S为定值证明如下：在曲线C的方程中令y0，得ax(x2a)0，得点A(2a，0)，在曲线C方程中令x0，得y(ay4)0，得点B(0，)，S|OA|OB|2a|4(定值)(3)圆C过坐标原点，且|OM|ON|，OCMN，a2，当a2时，圆心坐标为(2，1)，圆的半径为，圆心到直线l：y2x4的距离d，直线l与圆C相离，不合题意舍去，a2时符合题意这时曲线C的方程为x2y24x2y0.
