1、2.2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用 第二章 一元二次函数、方程和不等式 学 习 任 务核 心 素 养1熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)2会用基本不等式求解实际应用题(难点)1通过基本不等式求最值，提升数学运算素养2借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.情境导学探新知 NO.1某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量 a 和 b，然后就把两次称得的重量的算术平均数ab2 作为项链的重量来计算顾客对这个重量的真实性提出了质疑，那么这样计算的重量相对于原来的真实
2、质量到底是大了还是小了呢？知识点 用基本不等式求最值已知 x，y 都是正数，(1)若 xyS(和为定值)，则当 xy 时，积 xy 取得最_值_.(2)若 xyP(积为定值)，则当 xy 时，和 xy 取得最_值_.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大大小S242 Px1x的最小值是 2 吗？提示 不一定如当 x0 时，x1x0，yx4x2x4x4.当且仅当 x4x时等号成立1.若 x0，则 yx4x的最小值为_14 0 x1，01x1，x(1x)x1x2214，当且仅当 x1x，即 x12时等号成立 2.已知 0 x1，则函数 yx(1x)的最大值为_合作探究释疑难 NO.2类型1
3、利用基本不等式求最值 类型2 利用基本不等式求条件最值 类型3 利用基本不等式解决实际问题 类型 1 利用基本不等式求最值【例 1】(对接教材 P45 例题)(1)已知 x54，求 y4x214x5的最大值；(2)已知 0 x12，求 y12x(12x)的最大值解(1)x0，y4x214x554x154x 3231，当且仅当 54x154x，即 x1 时，上式等号成立，故当 x1 时，ymax1.(2)0 x0，y142x(12x)142x12x221414 116.当且仅当 2x12x0 x0，求 yx25x4x的最小值；(2)已知 0 x0)的最小值为 9.(2)法一：0 x0.yx(13
4、x)133x(13x)133x13x22 112.当且仅当 3x13x，即 x16时，等号成立当 x16时，yx(13x)取得最大值 112.法二：0 x0.yx(13x)3x13x 3x13x22 112，当且仅当 x13x，即 x16时，等号成立当 x16时，yx(13x)取得最大值 112.类型 2 利用基本不等式求条件最值【例 2】已知 x0，y0，且满足8x1y1.求 x2y 的最小值解 x0，y0，8x1y1，x2y8x1y(x2y)10 xy16yx102xy16yx 18，当且仅当8x1y1，xy16yx，即x12，y3时，等号成立，故当 x12，y3 时，(x2y)min18
5、.若把“8x1y1”改为“x2y1”，其他条件不变，求8x1y的最小值解 x0，y0，8x1y(x2y)8x1y816yx xy21016yx xy102 1618.当且仅当16yx xy时取等号，结合 x2y1，得 x23，y16，当 x23，y16时，8x1y取到最小值 18.常数代换法求最值常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商跟进训练2已知 a0，b0，a2b1，求1a1b的最小值解 法一：1a1b1a1b 11a1b(a2b)12ba ab232ba
6、ab322ba ab32 2，当且仅当2ba ab，a2b1，即a 21，b1 22时等号成立1a1b的最小值为 32 2.法二：1a1ba2baa2bb12ba ab232ba ab32 2，当且仅当2ba ab，a2b1，即a 21，b1 22时，等号成立，1a1b的最小值为 32 2.类型 3 利用基本不等式解决实际问题【例 3】(对接教材 P46 例题)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成现有 36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？引入每间虎笼的长和宽的参数 x，y，建立等式 2x3y18.由此思
7、考每间虎笼面积 xy 最值的求法解 设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知，4x6y36，即 2x3y18.设每间虎笼面积为 S，则 Sxy.法一：由于 2x3y2 2x3y2 6xy，所以 2 6xy18，得 xy272，即 Smax272，当且仅当 2x3y 时，等号成立由2x3y18，2x3y，解得x4.5，y3.故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大法二：由 2x3y18，得 x932y.x0，0y6，Sxyy932y 32y(6y)0y0.S326yy22272.当且仅当 6yy，即 y3 时，等号成立，此时 x4.5.故每间虎笼长为 4.5 m，宽
8、为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大应用基本不等式解决实际问题的思路与方法(1)理解题意，设出变量(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题(3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值(4)根据实际背景写出答案跟进训练3.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 m2 的三级污水处理池(平面图如图所示)如果池四周围墙建造单价为 400 元/m，中间两道隔墙建造单价为 248 元/m，池底建造单价为 80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价解 设隔墙的长度为 x(x0)m，总造价为 y 元，则隔墙造价为2x248
9、496x 元，池底造价为 2008016 000 元，四周围墙造价为2x2200 x 400800 x200 x 元因此，总造价为 y496x800 x200 x 16 0001 296x160 000 x16 00021 296x160 000 x16 00028 80016 00044 800.当 1 296x160 000 x，即 x1009 时，等号成立这时，污水池的长为 18 m.故当污水池的长为 18 m，宽为1009 m 时，总造价最低，最低为44 800 元当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 B a0，b0，ab2 ab2，当且仅当 ab1 时取等号，故 ab 的最小值
10、为 2.1已知 ab1，a0，b0，则 ab 的最小值为()A1 B2 C4 D81 2 3 4 5 A 由基本不等式得，abab221.当且仅当ab2，ab，即 ab1 时，等号成立ab 的最大值为 1.2若实数 a，b 满足 ab2，则 ab 的最大值为()A1B2 2C2D41 2 3 4 5 3已知 a0，b0，ab2，则 y1a4b的最小值是()A72B4 C92D5C ab2，ab2 1.1 2 3 4 5 1a4b1a4b ab2522ab b2a 5222ab b2a92，当且仅当2ab b2a，ab2，即a23，b43时，等号成立故 y1a4b的最小值为92.1 2 3 4
11、5 2 2 x2x2x2x2 2，当且仅当 x 2时，等号成立4若 x0，则 x2x的最小值是_5 1 2 3 4 5 8 由题意可知，平均利润yxx25x 18x25x 182x25x 188.当且仅当 x25x，即 x5 时，年平均利润最大，为 8 万元5某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位：年)的关系为 yx218x25(xN*)，则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元回顾本节知识，自我完成以下问题：1利用基本不等式 abab2 求最值时，必须满足哪三个条件？提示 一正、二定、三相等2应用基本不等式求最值的依据是什么？提示 ab2 ab和 abab22，即“和定积最大，积定和最小”3利用基本不等式求最值的常用方法有哪些？提示 直接法、配凑法、常数代换法等点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
