1、课时跟踪检测（十六）A 组124 提速练 一、选择题 1(2017惠州调研)双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率 e 132，则它的渐近线方程为()Ay32x By23x Cy94x Dy49x 解析：选 A 由双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率 e 132，可得c2a2134，b2a21134，可得ba32，故双曲线的渐近线方程为 y32x.2(2017全国卷)已知 F 是双曲线 C：x2y231 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1,3)，则APF 的面积为()A.13 B.12 C.23 D.32 解析：选 D 由
2、题可知，双曲线的右焦点为 F(2,0)，当 x2 时，代入双曲线 C 的方程，得4y231，解得 y3，不妨取点 P(2,3)，因为点 A(1,3)，所以 APx 轴，又 PFx 轴，所以APPF，所以 SAPF12|PF|AP|123132.3已知方程 x2m2ny23m2n1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是()A(1,3)B(1，3)C(0,3)D(0，3)解析：选 A 由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n0,3m2n0，又由该双曲线两焦点间的距离为 4，得 m2n3m2n4，即 m21，所以1nb0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段A1A
3、2为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为()A.63 B.33 C.23 D.13 解析：选 A 以线段 A1A2为直径的圆的方程为 x2y2a2，由原点到直线 bxay2ab0 的距离 d2abb2a2a，得 a23b2，所以 C 的离心率 e 1b2a2 63.5(2017全国卷)过抛物线 C：y24x 的焦点 F，且斜率为 3的直线交 C 于点 M(M 在 x轴的上方)，l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MNl，则 M 到直线 NF 的距离为()A.5 B2 2 C2 3 D3 3 解析：选 C 由题意，得 F(1,0)，则直线 FM 的方程是 y 3(x1
4、)由 y 3x，y24x，得 x13或 x3.由 M 在 x 轴的上方，得 M(3,2 3)，由 MNl，得|MN|MF|314.又NMF 等于直线 FM 的倾斜角，即NMF60，因此MNF 是边长为 4 的等边三角形，所以点 M 到直线 NF 的距离为 4 32 2 3.6(2017广州模拟)已知 F1，F2分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，若椭圆 C上存在点 P 使F1PF2为钝角，则椭圆 C 的离心率的取值范围是()A.22，1 B.12，1 C.0，22 D.0，12 解析：选 A 法一：设 P(x0，y0)，由题意知|x0|a，因为F1PF2为钝角，所以 PF
5、1 PF2 0有解，即(cx0，y0)(cx0，y0)x20y20，即 c2(x20y20)min，又 y20b2b2a2x20，0 x20b2，又 b2a2c2，所以 e2c2a212，解得 e 22，又 0e1，故椭圆 C 的离心率的取值范围是22，1.法二：椭圆上存在点 P 使F1PF2 为钝角以原点 O 为圆心，以 c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点bc.如图，由 bc，得 a2c2c2，即 a2 22，又 0eb0)的左、右焦点分别为 F1，F2，其中F2也是抛物线 C2：y24x 的焦点，点 M 为 C1与 C2在第一象限内的交点，且|MF2|53，则椭圆的长轴长为()A2 B4
6、C6 D8 解析：选 B 依题意知 F2(1,0)，设 M(x1，y1)由抛物线的定义得|MF2|1x153，即 x123.将 x123代入抛物线方程得 y12 63，故 M23，2 63，又 M 在椭圆 C1上，故232a2 2 632b21，结合 a2b21，得 a24，则 a2，故椭圆的长轴长为 4.8(2017福州模拟)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线为 l.若射线 y2(x1)(x1)与 C，l 分别交于 P，Q 两点，则|PQ|PF|()A.2 B2 C.5 D5 解析：选 C 由题意，知抛物线 C：y24x 的焦点 F(1,0)，设准线 l：x1 与 x 轴的交点为
7、F1.过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 P1(图略)，由 x1，yx，x1，得点 Q 的坐标为(1，4)，所以|FQ|2 5.又|PF|PP1|，所以|PQ|PF|PQ|PP1|QF|FF1|2 52 5，故选 C.9(2017沈阳模拟)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M与双曲线 C 的焦点不重合，点 M 关于 F1，F2的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN|BN|12，则 a()A3 B4 C5 D6 解析：选 A 如图，设 MN 的中点为 P.F1为 MA 的中点，F2为 MB 的中点，|AN|2|PF
8、1|，|BN|2|PF2|，又|AN|BN|12，|PF1|PF2|62a，a3.故选 A.10设 AB 是椭圆的长轴，点 C 在椭圆上，且CBA4，若 AB4，BC 2，则椭圆的两个焦点之间的距离为()A.4 63 B.2 63 C.4 33 D.2 33 解析：选 A 不妨设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，如图，由题意知，2a4，a2，CBA4，BC 2，点 C 的坐标为(1,1)，点 C 在椭圆上，1221b21，b243，c2a2b244383，c2 63，则椭圆的两个焦点之间的距离为 2c4 63.11(2017云南调研)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C
9、的一条对称轴垂直，l 与 C交于 A，B 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为()A.3 B.2 C2 D3 解析：选 A 设双曲线 C 的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由于直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此 AB 是双曲线的通径，则|AB|2b2a，依题意2b2a 4a，b2a22，c2a2a2e212，e 3.12(2017陕西质检)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点分别为 F1，F2，若 P 为双曲线上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率 e 的取值范围是()A(1,3)B(1,3 C(3，)D(0,3 解析：选
10、 B 由已知得|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|，即|PF1|4a，|PF2|2a，因为|PF1|PF2|2c，即 4a2a2c，所以 e3，又双曲线的离心率 e1，所以双曲线的离心率 e 的取值范围是(1,3 二、填空题 13(2017郑州模拟)过抛物线 y14x2的焦点 F 作一条倾斜角为 30的直线交抛物线于 A，B 两点，则|AB|_.解析：依题意，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线 x24y 的焦点坐标是 F(0,1)，直线 AB 的方程为 y 33 x1，即 x 3(y1)由 x24y，x 3y，消去 x 得 3(y1)24y，即 3y210y30，
11、y1y2103，则|AB|AF|BF|(y11)(y21)y1y22163.答案：163 14A，F 分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左顶点和右焦点A，F 在双曲线的一条渐近线上的射影分别为 B，Q，O 为坐标原点，ABO 与FQO 的面积之比为12，则该双曲线的离心率为_ 解析：易知ABO 与FQO 相似，相似比为ac，故a2c212，所以离心率 eca 2.答案：2 15(2018 届高三广东五校联考)已知椭圆 C：x22y21 的两焦点为 F1，F2，点 P(x0，y0)满足 0 x202y201，则|PF1|PF2|的取值范围是_ 解析：由点 P(x0，y0)满足 0 x
12、202y201，可知 P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为 a 2，b1，所以由椭圆的定义可知|PF1|PF2|0)的焦点为 F，ABC 的顶点都在抛物线上，且满足 FA FB FC0，则 1kAB 1kAC 1kBC_.解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Fp2，0，由 FA FB FC，得x1p2，y1x2p2，y2 x3p2，y3，y1y2y30.因为 kABy2y1x2x1 2py1y2，kACy3y1x3x1 2py1y3，kBCy3y2x3x2 2py2y3，所以 1kAB 1kAC 1kBCy1y22p y3y12p y2y32p y1y2
13、y3p0.答案：0 B 组能力小题保分练 1(2018 届高三湖北七市(州)联考)双曲线x2a2y2b21(a，b0)的离心率为 3，左、右焦点分别为 F1，F2，P 为双曲线右支上一点，F1PF2的角平分线为 l，点 F1关于 l 的对称点为 Q，|F2Q|2，则双曲线的方程为()Ax22y21 Bx2y221 Cx2y231 Dx23y21 解析：选 B F1PF2的角平分线为 l，点 F1关于 l 的对称点为 Q，|PF1|PQ|，P，F2，Q 三点共线，而|PF1|PF2|2a，|PQ|PF2|2a，即|F2Q|22a，解得 a1.又 eca 3，c 3b2c2a22，双曲线的方程为
14、x2y221.故选 B.2已知椭圆x29y251，F 为其右焦点，A 为其左顶点，P 为该椭圆上的动点，则能够使 PA PF0 的点 P 的个数为()A4 B3 C2 D1 解析：选 B 由题意知，a3，b 5，c2，则 F(2,0)，A(3,0)当点 P 与点 A 重合时，显然 PA PF0，此时 P(3,0)当点 P 与点 A 不重合时，设 P(x，y)，PA PF0PAPF，即点 P 在以 AF 为直径的圆上，则圆的方程为x122y2254.又点 P 在椭圆上，所以x29y251，由得 4x29x90，解得 x3(舍去)或34，则 y5 34，此时 P34，5 34.故能够使 PA PF
15、0 的点 P 的个数为 3.3.过椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C于另一点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F.若13k12，则椭圆 C 的离心率的取值范围是()A.14，34 B.23，1 C.12，23 D.0，12 解析：选 C 由题图可知，|AF|ac，|BF|a2c2a，于是 k|BF|AF|a2c2aac.又13k12，所以13a2c2aac12，化简可得131e12，从而可得12e0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率 e 的取值范围是(
16、)A.1，52 B.52，C.1，54 D.54，解析：选 B 依题意，双曲线x2a2y2b21 的渐近线方程为 ybax，且“右”区域是由不等式组 ybax所确定的，又点(2,1)在“右”区域内，于是有 112，因此该双曲线的离心率 e1ba252，故选 B.5(2017全国卷)已知 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A，B 两点，直线 l2与 C 交于 D，E 两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14 C12 D10 解析：选 A 抛物线 C：y24x 的焦点为 F(1,0)，由题意可知 l1，l2的斜率存在且不
17、为 0.不妨设直线 l1的斜率为 k，则 l1：yk(x1)，l2：y1k(x1)，由 y24x，ykx消去 y，得 k2x2(2k24)xk20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22k24k224k2，由抛物线的定义可知，|AB|x1x2224k2244k2.同理得|DE|44k2，|AB|DE|44k244k2841k2k2 8816，当且仅当1k2k2，即 k1 时取等号，故|AB|DE|的最小值为 16.6(2018 届高三西安八校联考)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 y 3(x1)与 C交于 A，B(A 在 x 轴上方)两点若 AFm FB，则 m 的值为_ 解析：由题意知 F(1,0)，由 y 3x，y24x，解得 x113，y12 33，x23，y22 3.由 A 在 x 轴上方，知 A(3,2 3)，B13，2 33，则 AF(2，2 3)，FB23，2 33，因为 AFm FB，所以 m3.答案：3
