1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.2抛物线的简单性质授课提示：对应学生用书第38页一、四种标准形式的抛物线几何性质的比较类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图像性质焦点(，0)(，0)(0，)(0，)准线xxyy范围x0x0y0y0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下二、抛物线的通径过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两点的线段叫作抛物线的通径，抛物线y22px(p0)的通径长为2p.疑难提示抛物线的开口大小与参数p的关系参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，由方程y22px(p0)知，对于同一个
2、x值，p越大，|y|的值也越大，或者说抛物线开口也越大所以可以说一次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越大想一想1抛物线x22py(p0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？提示：有一条对称轴；不是中心对称图形练一练2抛物线x24y的通径为AB，O为坐标原点，则()A通径AB的长为8，AOB的面积为4B通径AB的长为8，AOB的面积为2C通径AB的长为4，AOB的面积为4D通径AB的长为4，AOB的面积为2解析：由抛物线x24y知通径长为4，AOB的面积为2p412.答案：D3过点(2,4)的直线与抛物线y28x只有1个公共点，则这样的直线有()A1条B2条C3条 D4条解析：点(2,4)在抛物线
3、y28x上，故过点(2,4)且与抛物线只有1个交点的直线有2条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切答案：B4若抛物线y22px(p0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，则P点的横坐标为_，p的值为_答案：9或12或18授课提示：对应学生用书第39页探究一抛物线的几何性质及应用典例1抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程解析椭圆1的短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的标准方程为y22px或y22px(p0)，抛物线的焦点到顶点的距离为3，3，即p6，抛物线的方程为y212x或y212x，准线方程分别为x3或x
4、3.1用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤(1)定位置；(2)设方程；(3)寻关系；(4)得方程2注意只有抛物线的标准方程中p才有几何意义，即焦点到准线的距离 1(1)已知点(x，y)在抛物线y24x上，则zx2y23的最小值为()A2B3C4 D0(2)若抛物线x22y上距离点A(0，a)最近的点恰好是抛物线的顶点，则a的取值范围是()Aa0 B00，即a1时，ya1时d2取到最小值，不符合题意综上可知a1.答案：(1)B(2)C2已知抛物线C关于x轴对称，顶点为坐标原点O，经过点M(2，y0)，且点M到该抛物线焦点F的距离为3.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求|OM|的值解析：(1)由
5、题意设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则焦点F的坐标为，准线方程为x.点M在抛物线上，点M到焦点的距离等于其到准线的距离，即|MF|23，23.解得p2，y02，抛物线的标准方程为y24x.(2)由(1)知点M(2，2)，根据两点间的距离公式有|OM|2.探究二直线与抛物线相交问题典例2如图所示，在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x22py(p0)相交于A，B两点若点N是点C关于坐标原点O的对称点求ABN面积的最小值解析解法一由题意知，点N的坐标为(0，p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykxp，与x22py联立得消去y，得x22pkx
6、2p20，由根与系数的关系，得x1x22pk，x1x22p2.于是SABNSBCNSACN2p|x1x2|p|x1x2|pp2p2.所以当k0时，(SABN)min2p2.解法二同解法一，再由弦长公式，得|AB|x1x2|2p.又由点到直线的距离公式，得d(d为点N到直线AB的距离)，从而SABN|AB|d2p2p2.所以当k0时，(SABN)min2p2.设直线l：ykxm，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2bxc0.(1)若a0，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点当0时，直线与抛物线相切，有一个交点当0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则ABO
7、的面积是()A8p2B4p2C2p2 Dp2解析：设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OAOB知，直线OA的方程为yx.由得A(2p,2p)，则B(2p，2p)，所以AB4p.所以SABO4p2p4p2.答案：B6求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值解析：解法一设直线4x3ym0与yx2相切，则由，消去y，有3x24xm0，令0，得m.两直线间的距离d.抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值为.解法二设(x0，x)是抛物线yx2上任一点，则该点到直线4x3y80的距离是d.当x0时，d有最小值.抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值为.7斜率为1的直
8、线l经过抛物线y24x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则抛物线y22px(p0)中，|AB|p(x1x2)由于抛物线y24x中，p2，于是|AB|x1x22.因为抛物线y24x的焦点为F(1,0)，且直线AB的斜率为1，所以直线AB的方程为yx1.将代入方程y24x得(x1)24x，即x26x10，由根与系数的关系知，x1x26.于是|AB|x1x228.所以，线段AB的长是8.8已知椭圆C：1(ab0)的离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，A1BA2的面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：x2与x
9、轴交于点D，点P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E、F两点，证明：|DE|DF|恒为定值解析：(1)由已知，得，解得a2，b.故所求椭圆C的方程为1.(2)由(1)可知A1(2,0)，A2(2,0)设P(x0，y0)，依题意2x02，于是直线A1P的方程为y(x2)，令x2，则y.即|DE|(22).又直线A2P的方程为y(x2)，令x2，则y，即|DF|(22).所以|DE|DF|(22)(22).(*)又P(x0，y0)在椭圆C上，所以3x4y12，即4y123x，代入(*)式，得|DE|DF|3，所以|DE|DF|为定值3.9.如图所示，已知AOB的一个顶
10、点为抛物线y22x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且AOB90.(1)证明：直线AB必过一定点；(2)求AOB面积的最小值解析：(1)证明：设OA所在直线的方程为ykx(k0)，则直线OB的方程为yx.由解得或A点的坐标为(，)同理由解得B点的坐标为(2k2，2k)AB所在直线的方程为x2k2(y2k)，化简并整理，得(k)yx2.不论k取任何不等于0的实数，当x2时，恒有y0.故直线AB必过定点P(2,0)(2)由于AB所在直线必过定点P(2,0)可设AB所在直线的方程为xmy2.由消去x并整理得y22my40.y1y22m，y1y24.于是|y1y2|2.SAOB|OP|(|y1|y2|
11、)|OP|y1y2|222.当m0时，AOB的面积取得最小值为4.分类讨论思想在直线与抛物线位置关系中的应用典例若直线l：y(a1)x1与曲线C；y2ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合解析因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解消去y，得(a1)x12ax，整理得(a1)2x2(3a2)x10.(1)当a10，即a1时，方程是关于x的一元一次方程，解得x1，这时，原方程组有唯一解(2)当a10，即a1时，方程是关于x的一元二次方程令(3a2)24(a1)2a(5a4)0，解得a0或a.当a0时，原方程组有唯一解当a时，原方程组有唯一解综上，实数a的取值集合是1，0感悟提高用代数方法研究直线与抛物线的位置关系，若方程组消元后所得方程平方项系数含有字母参数，则需用分类讨论思想讨论平方项系数是否为零- 9 - 版权所有高考资源网
