1、第三章导数及其应用1.了解导数概念的实际背景2通过函数图象直观理解导数的几何意义3能根据导数的定义求函数yC(C为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数4能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如yf(axb)的复合函数)的导数常见的基本初等函数的导数公式：(C)0(C为常数); (xn)nxn1(nN)；(sinx)cosx; (cosx)sinx；(ex)ex; (ax)axlna(a0，且a1)；(lnx)；(logax)logae(a0，且a1)常用的导数运算法则：法则1：u(x)v(x)法则2：
2、u(x)v(x)u(x)v(x)法则3： (v(x)0)5了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)6了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)7会用导数解决实际问题8了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念9了解微积分基本定理的含义31导数的概念及运算1导数的概念(1)定义如果函数yf(x)的自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量yf(x0x)f(x0)，比值就叫函数yf(x)从x
3、0到x0x之间的平均变化率，即.如果当x0时，有极限，我们就说函数yf(x)在点x0处 ，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作 或y|xx0，即f(x0)lim lim .(2)导函数当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)yf(x)的导函数有时也记作y，即f(x)y lim .(3)用定义求函数yf(x)在点x0处导数的方法求函数的增量y ；求平均变化率 ；取极限，得导数f(x0)lim .2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x
4、0)处的切线的斜率是 相应的切线方程为 3基本初等函数的导数公式(1)c (c为常数)，(x) (Q*)；(2)(sinx)_，(cosx)_；(3)(lnx)_， (logax)_；(4)(ex)_， (ax)_.4导数运算法则(1)_.(2)_；当g(x)c(c为常数)时，即_.(3)_ (g(x)0)5复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)， ug(x)的导数间的关系为_即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积自查自纠：1(1)可导f(x0)(3)f(x0x)f(x0)2f(x0)yy0f(x0)(xx0)3(1)0x1(2)cosxsinx(3) (4)e
5、xaxlna4(1)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)cf(x)(3)5yxyuux ()设曲线yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1 C2 D3解：因为ya，所以切线的斜率为 a12，解得a3.故选D. ()函数yxex在其极值点处的切线方程为()Ayex By(1e)xCy Dy解：记yf(x)xex，则f(x)(1x)ex，令f(x)0，得x1，此时f(1).故函数 yxex在其极值点处的切线方程为y.故选D. ()若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在此两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的
6、是()Ayx3 Bylnx Cyex Dysinx解：选项A、B、C中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不可能为1，排除A、B、C.或由ycosx，cos0cos1知D正确，故选D. ()曲线ye5x2在点(0，3)处的切线方程为_解：因为y5e5x，所求切线的斜率为5e05，故所求切线的方程为y35x，即 y5x3(或5xy30)故填y5x3(或5xy30) ()已知f(x)为偶函数，当x0时，x0时，f(x)3，f(1)2，所以切线方程为y32(x1)，整理得y2x1.故填y2x1(或2xy10)类型一导数的概念用定义法求函数f(x)x22x1在 x1处的导数解法一：yf(xx
7、)f(x)(xx)22(xx)1(x22x1)x22xxx22x2x1x22x1(2x2)xx2，所以 lim lim2x2.所以函数f(x)x22x1在x1处的导数为f(x)|x12120.解法二：yf(1x)f(1)(1x)22(1x)1(12211)12xx222x12x2，所以 x0.故f(x)|x10.点拨：利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率，再化简平均变化率，最后判断当x0时，无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)5t330t245t4(单位：m)(1)求航天飞机在第1
8、 s内的平均速度；(2)用定义方法求航天飞机在第1 s末的瞬时速度解：(1)航天飞机在第1 s内的平均速度为80 m/s.(2)航天飞机第1 s末高度的平均变化率为5t245t120，当t0时，5t245t120120，所以航天飞机在第1 s末的瞬时速度为 120 m/s.类型二求导运算求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sinx；(3)y3xex2xe；(4)y；(5)yln(2x5)解：(1)因为y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，所以y18x210x4.(2)y(x2)sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx.(3)y(3
9、xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln33xex2xln2(ln31)(3e)x2xln2.(4)y.(5)令u2x5，ylnu，则y(lnu)u2，即y.点拨：求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单求下列函数的导数：(1)yexcosx；(2)yx；(3)y；(4)yln.解：(1)y(ex)cosxex(cosx) ex(cosxsinx)(2)因为yx31，所以y3x2.(3)y.(4)ylnln(1x2)，所以y(1x2)2x.类型三导数
10、的几何意义已知曲线yx3.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程；(2)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(3)求曲线过点P(2，4)的切线方程解：(1)yx2，设切点为(x0，y0)，故切线的斜率为kx1，解得x01，故切点为，(1，1)故所求切线方程为yx1和y1x1，即3x3y20和xy20.(2)因为yx2，且P(2，4)在曲线yx3 上，所以在点P(2，4)处的切线的斜率k y|x24.所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(3)设曲线yx3与过点P(2，4)的切线相切于点A，又因为切线的斜率k y|xx0x，所以切线方程为yx(xx0)，即yxxx.因
11、为点P(2，4)在切线上，所以42xx，即x3x40，所以xx4x40，所以x(x01)4(x01)(x01)0，所以(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy 20.点拨：曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f(x)；求切线的斜率f(x0)；写出切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程注意：求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上与曲线只有一个
12、公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个()设直线l1，l2分别是函数f(x) 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是()A(0，1) B(0，2)C(0，) D(1，)解：设P1(x1，lnx1)，P2(x2，lnx2)(不妨设 x11，0x21)，则由导数的几何意义易得切线l1，l2的斜率分别为k1，k2.由已知得 k1k21，所以x1x21，所以x2.所以切线l1的方程为ylnx1(xx1)，切线l2的方程为ylnx2(xx2)，即ylnx1x1.分别令 x0得A(0，1lnx1
13、)，B(0，1lnx1)易得l1与l2的交点P的横坐标xP，因为x11，所以SPAB|yAyB|xP|1，所以0 SPAB1.故选A.1“函数在点x0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在点x0处的导数f(x0)是一个常数，不是变量(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x而言的函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f(x)(3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处
14、的函数值2函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的两种常用求法(1)利用导数的定义，即求 lim 的值；(2)求导函数在x0处的函数值：先求函数yf(x)在开区间(a，b)内的导函数f(x)，再将x0(x0(a，b)代入导函数f(x)，得f(x0)3关于用导数求曲线的切线问题(1)圆是一种特殊的封闭曲线，注意圆的切线的定义并不适用于一般的曲线(2)求曲线在某一点处的切线方程，这里的某一点即是切点，求解步骤为先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程(3)求过某点的曲线的切线方程，这里的某点可能是切点(点在曲线上的情形)，也可能不是切点，即便点在曲线上，切线也不
15、一定唯一，如本节例3(3)，就极易漏掉切线xy20.1()曲线y1在点 (1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解：因为y1，所以y，y|x12，所以曲线在点(1，1)处的切线斜率为2，所以所求切线方程为y12(x1)，即y2x1.故选A.2()若f(x)2xf(1)x2，则f(0)等于()A2 B0 C2 D4解：f(x)2f(1)2x，令x1，则 f(1)2f(1)2，得f(1)2，所以 f(0)2f(1)04.故选D.3()已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A1 B2 C1 D2解：设切点坐标为(x0，y0)，由y知 1，即x0a1.解
16、方程组 得 故选B.4()设a为实数，函数 f(x)x3ax2(a3)x的导函数为f(x)，且f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为()A9xy160 B9xy160C6xy120 D6xy120解：f(x)3x22axa3，由于f(x)是偶函数，所以a0，此时f(x)3x23，f(2)9，f(2)2，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y29(x2)，即9xy160.故选A.5下面四个函数图象中，有函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR)的导函数yf(x)的图象，则f(1)()A.BC.D或解：因为f(x)x22axa21，所以f(x)的图象开口
17、向上，则排除.若f(x)的图象为，此时a0，f(1)；若f(x)的图象为，此时a210，又对称轴xa0，所以a1，所以f(1).故选D.6()若存在过点O(0，0)的直线l与曲线f(x)x33x22x和yx2a都相切，则a的值是()A1 B. C1或 D1或解：易知点O(0，0)在曲线f(x)x33x22x上，(1)当O(0，0)是直线l与曲线f(x)的切点时，易求出切线方程y2x，联立消y后，令0，得a1.(2)当O(0，0)不是直线l与曲线f(x)的切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0x3x2x0，且kf(x0)3x6x02.又kx3x02，由联立，得x0或x00(舍)，所以k，所以所
18、求切线l的方程为yx.由 得x2xa0.依题意，4a0，所以a.综上，a1或a.故选C.7若函数f(x)x2axlnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解：因为f(x)x2axlnx，所以f(x)xa.因为f(x)存在垂直于y轴的切线，所以f(x)存在零点，即xa0有解，x0，则ax2.故填上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在上单调递增，则_为函数在上的最小值， 为函数在上的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则 为函数在上的最大值， 为函数在上的最小值(3)设函数f(x)在上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在
19、(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与端点处的函数值_，_进行比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_自查自纠：1单调递增单调递减常数函数2(1)f(x)0f(x)0(2)f(x)0极大值极小值3(2)f(a)f(b)f(a)f(b)(3)f(a)f(b)最大值最小值 ()函数f(x)xelnx的单调递增区间为()A(0，) B(e，)C(，0)和(0，) DR解：函数定义域为(0，)，f(x)10，故单调递增区间是(0，)故选A. ()已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解：由函数yf(x)的导函数yf(x)的图象从左到右先增后
20、减，知yf(x)图象切线的斜率对应先增后减故选B. ()函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时， (x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则()Aabc BcbaCcab Dbca解：依题意得，当x0，f(x)为增函数；又f(3)f(1)，且101，因此有f(1)f(0)f，即有f(3)f(0)f，cab.故选C. ()已知函数f(x)x22axlnx，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解：由题意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立，因为g(x)x在上单调递减，所以g(x)g，所以2a，即a.故填. 函数f(x)x2cosx
21、的最大值是_解：f(x)12sinx，令f(x)0得sinx，从而x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)在x处取得极大值，即最大值.故填.类型一导数法判断函数的单调性已知函数yf(x)的图象如图所示，则其导函数yf(x)的图象可能是()解：由题意得函数yf(x)在(0，)上单调递减，则其导函数在(0，)上恒小于0，排除B，D；又因为函数yf(x)在(，0)上先单调递增，后单调递减，再单调递增，则其导函数在(，0)上先大于0，后小于0，再大于0，排除C，故选A.点拨：导函数的图象在哪个区间位于x轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0
22、)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)()如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面判断正确的是()A在(2，1)上f(x)是增函数B在(1，3)上f(x)是减函数C当x2时，f(x)取极大值D当x4时，f(x)取极大值解：由yf(x)的图象可得yf(x)的大致图象如图由图可知，A，B，D均错故选C.类型二导数法研究函数的单调性()已知函数f(x) ax(aR)(1)当a时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在上为单调函数，求实数a的取值范围解：(1)当a时，f(x)x，f(x)(ex1)(ex2)，令f(x)0，得ex1或ex2，即x0或xln2.令f(
23、x)0，则x0或xln2；令f(x)0，则0xln2.所以f(x)的递增区间是(，0)，(ln2，)；递减区间是(0，ln2)(2)f(x)a，令ext，由于x，所以t.令h(t)，h(t)，所以当t时，h(t)0，函数h(t)为单调减函数；当t(，e时，h(t)0，函数h(t)为单调增函数故h(t)在上的极小值点为t.又h(e)he，h().所以h(t)e.因为函数f(x)在上为单调函数，若函数f(x)在上单调递增，则a对t恒成立，所以a；若函数f(x)在上单调递减，则a对t恒成立，所以ae.综上可得a的取值范围是(，.点拨：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(
24、x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到(3)存在单调区间问题可类似地转化为不等式有解问题(1)()已知f(x)a(xlnx)，aR.()讨论f(x)的单调性；()略解：()f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0，x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增；x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减0a2时，1，当x(0，1)或x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减；a2时，1，
25、在x(0，)内，f(x)0，f(x)单调递增；a2时，01，当x或x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减；当0a2时，f(x)在内单调递增，在 内单调递减，在(1，)内单调递增(2)()若函数f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_解：因为f(x)x2exax，所以f(x) 2xexa，因为函数f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，所以f(x)2xexa0，即a2xex有解，设g(x)2xex，则g(x)2ex，令g(x)0，解得xln2，则当x
26、0，g(x)单调递增；当xln2时，g(x)0)上的最小值解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)， f(x)lnx1，所以f(1)1，f(1)0，所以所求切线方程为y01(x1)，即yx1.(2)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)单调递减极小值单调递增当t时，在区间上f(x)为增函数，所以f(x)minf(t)tlnt.当0t0，所以f(x)在(0，)单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x时取得最大值，最大值为flnalnaa1.因此f2a2，等价于lnaa10.令g(a)lnaa1，则g(a)在(0，)单调递增，g(1)0
27、.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0，1)类型五实际应用问题(优化问题)()某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元(a为常数，2a5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L(x)最大，并求出L(x)的
28、最大值解：(1)由题意，该产品一年的销售量为y.将x40，y500代入，得k500e40.故该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y500e40x.所以L(x)(x30a)y500(x30 a)e40x(35x41)(2)由(1)得，L(x)500500e40x(31ax)当2a4时，L(x)500e4035(31435)0，当且仅当a4，x35时取等号所以L(x)在上单调递减因此，L(x)maxL(35)500(5a)e5.当4035x31a，L(x)031ax41.所以L(x)在上单调递减因此，L(x)maxL(31a)500e9a.综上所述，当2a4时，每件产品的售价为3
29、5元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5a)e5万元；当40，又由h0可得r0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r(5，5)时，V(r)0，故V(r)在(5，5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大1用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点2导数值为0的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件3极值与最值
30、的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性(2)从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值4实际问题中的最值(1)要从问题的实际意义出发确定函数的定义域(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还
31、是最小值即可，不必再与端点的函数值比较1()函数f(x)在xx0处导数存在若p：f(x0)0，q：xx0是f(x)的极值点，则()Ap是q的充分必要条件Bp是q的充分条件，但不是q的必要条件Cp是q的必要条件，但不是q的充分条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解：由条件知由q可推出p，而由p推不出q.故选C.2()函数f(x)exx(e为自然对数的底数)在区间上的最大值是()A1 B1 Ce1 De1解：因为f(x)exx，所以f(x)ex1.令f(x)0，得x0.且当x0时，f(x)ex10；x0时，f(x)ex10，即函数f(x)在x0处取得极小值，f(0)1，又f(1)1，f(
32、1)e1，比较得函数f(x)ex1在区间上的最大值是e1.故选D.3()函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示，则下列结论成立的是()Aa0，b0，c0，d0Ba0，b0，c0，d0Ca0，b0，c0，d0Da0，b0，c0，d0解：f(0)d0；当x无限增大时f(x)无限增大，因此a0；f(x)3ax22bxc，由图知x1及x2均大于0，而x1与x2为f(x)0的两根，所以x1x20且x1x20，结合a0得 b0，c0.所以a0，b0，c0，d0.故选A.4()若函数f(x)x3tx23x在区间上单调递减，则实数t的取值范围是()A. B(，3C. D上单调递减，则有f(x)0在上恒成
33、立，即3x22tx30，即t在上恒成立，因为y在上单调递增，所以t .故选C.5()已知函数f(x)x，若f(x1)x2 Bx1x20Cx1x2 Dxx解：因为f(x)xxf(x)，所以f(x)为偶函数由f(x1)f(x2)，得f(|x1|)f(|x2|)(*)又f(x)exx，当x0时，e2x(x1)x1e0(01)010，所以f(x)0，所以f(x)在(e为自然对数的底数)上的最大值解：(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故函数f(x)的极大值点为x；当x0时
34、，函数f(x)取得极小值为f(0)0.(2)当1x1时，由(1)知，函数f(x)在 和上单调递减，在上单调递增因为f(1)2，f，所以f(x)在上单调递增，则f(x)在上的最大值为f(e)a.综上所述，当a2时，f(x)在上的最大值为a；当a2时，f(x)在上的最大值为2. ()设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0， )单调递增；(2)若对于任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围解：(1)证明：f(x)m(emx1)2x.若m0，则当x(，0)时，emx10， f(x)0.若m0， f(x)0；当x(0，)时，emx10.所以，
35、f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在单调递减，在单调递增，故f(x)在x0处取得最小值所以对于任意x1，x2，|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是： 即，设函数g(t)ette1，则g(t)et1.当t0时，g(t)0时，g(t)0.故g(t)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增又g(1)0，g(1)e12e1时，由g(t)的单调性知，g(m)0，即emme1；当m0，即emme1.综上，m的取值范围是33导数的应用(二)1当f(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如
36、：在(，)上，f(x)x3，当x0时，f(x)_，当x0时，f(x)0，而f(x)x3显然在(，)上是单调递增函数2可导函数求最值的方法f(x)0xx1，x2，xn，x直接比较f(a)，f(b)，f(x1)，f(xn)，找出_和_即可在此基础上还应注意：(1)结合_可减少比较次数(2)含参数的函数求最值时分类：按_分类；按_分类3实际问题中的导数，常见的有以下几种情形：(1)加速度是速度关于_的导数；(2)线密度是质量关于_的导数；(3)功率是功关于_的导数；(4)瞬时电流是电荷量关于_的导数；(5)水流的瞬时速度是流过的水量关于_的导数；(6)边际成本是成本关于_的导数4N型曲线与直线yk的
37、位置关系问题如图，方程f(x)0有三个根x1，x2，x3时，极大值f(a)0且极小值f(b)0.曲线yf(x)与直线yk(k是常数)有一个交点时，见图中的直线或直线，极大值f(a)_k或极小值f(b)_k；曲线yf(x)与直线yk(k是常数)有两个交点时，见图中的直线或直线，极大值f(a)_k或极小值f(b)_k；曲线yf(x)与直线yk(k是常数)有三个交点时，见图中的直线.以上这些问题，常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目自查自纠：102最小值最大值(1)单调性(2)单调性极值点3(1)时间(2)长度(3)时间(4)时间(5)时间(6)产量4 ()函数f(x)lnxx在区间(0
38、，e上的最大值为()A1e B1 Ce D0解：因为f(x)1，当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，e时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取得最大值ln111.故选B. ()若不等式2xlnxx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0) B(，4C(0，) D上有解，则实数m的取值范围是()A BC D(，2)(2，)解：方程x33xm0在上有解，等价于m3xx3在上有解，故m的取值范围即为函数f(x)3xx3在上的值域，求导可得f(x)33x23(1x2)，从而f(x)在(1，1)上单调递增，在(，1)及(1，)上单调递减，故当x时，f(x)maxf(1)2，f(x
39、)minminf(0)，f(2)f(2)2，故m的取值范围为 故选A. ()函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是_解：令f(x)3x23a0，得x，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值从而 解得所以f(x)的单调递减区间是(1，1)故填(1，1) ()已知函数f(x)x24x3lnx在上不单调，则实数t的取值范围是_解：由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1，3，两极值点间的距离大于区间的长度，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间上就不
40、单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t3.故填(0，1)(2，3)类型一函数单调性的进一步讨论已知实数a0，函数f(x)a(x2)22lnx.(1)当a1时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间上是增函数，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x24x42lnx，f(x)2x4，因为x0，所以f(x)0，所以f(x)在区间(0，)上单调递增(2)因为f(x)2ax4a，又f(x)在区间上是增函数，所以f(x)0对x恒成立，即2ax24ax20对x恒成立，令g(x)2ax24ax2，则g(x)2a(x1)222a，因为a0，所以g(x)在上单调递增，只要使g(x)ming
41、(1)22a0即可，所以0a1.点拨：函数f(x)在限定区间是单调函数，求参数范围的问题，可以转化为恒成立问题求解；而存在单调区间问题，可转化为不等式有解问题对导数进行研究时，不可忽略原函数的定义域，如本题中易忽略“x0”()已知f(x)ex(x3mx22x2)(1)假设m2，求f(x)的极大值与极小值；(2)是否存在实数m，使f(x)在上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由解：(1)当m2时，f(x)ex(x32x22x2)，其定义域为(，)则f(x)ex(x32x22x2)ex(3x2 4x2)xex(x2x6)(x3)x(x2)ex，所以当x(，3)或x(0，2)时
42、， f(x)0.f(3)f(0)f(2)0，所以f(x)在(，3)上单调递减，在(3，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以当x3或x2时，f(x)取得极小值；当x0时，f(x)取得极大值，所以f(x)的极小值为f(3)37e3和 f(2)2e2，f(x)的极大值为f(0)2.(2)f(x)ex(x3mx22x2)ex(3x2 2mx2)xex因为f(x)在上单调递增，所以当x时，f(x)0.又因为当x时，xex0，函数f(x)在(1，)为增函数，无极值点当a0时，设g(x)2ax2ax1a，g(1)1，a28a(1a)9a28a，若a(9a8)0，即00，即a或a
43、0，而当a时，方程g(x)0在(1，)总有两个不相等的实数根，此时函数f(x)有两个极值点综上可知，当0a时，f(x)的极值点个数为0；当a时，f(x)的极值点个数为2.类型三方程根的讨论()已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k1时，曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点解：(1)f(x)3x26xa，f(0)a.曲线yf(x)在点(0，2)处的切线方程为y ax2.由题设得2，所以a1.(2)证明：由(1)知，f(x)x33x2x2.设g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4，由题设知1k0.当x0时
44、，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10，g(0)4，所以g(x)0在(，0上有唯一实根当x0时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0，所以g(x)0在(0，)上没有实根综上，g(x)0在R有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点点拨：本题通过作差构造出新的函数，求出新函数的单调区间、极值点、区间端点处的函数值、特殊点(如图象与x轴，y轴交点)，来判断交点的个数，这是函数与方程思想的体现，也是解这类问题的基本方法已知f(x
45、)ax2(aR)，g(x)2lnx.(1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不相等的实数解，求a的取值范围解：(1)F(x)ax22lnx，其定义域为(0，)，所以F(x)2ax(x0)当a0时，由ax210，得x.由ax210，得0x0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减当a0时，F(x)0)恒成立故当a0时，F(x)在(0，)上单调递减(2)原式等价于方程a在区间，e上有两个不相等的实数解，令(x)(x，e)因为(x)，易判断(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(x)max()，而(e)(2)()，所以(x)mi
46、n(e)，故a的取值范围为a1时，在(1)的条件下，x2 axaxlnx成立解：f(x)lnxxa1(x0)(1)原题即为存在x(0，)，使得lnxxa10，所以alnxx1，令g(x)lnxx1，则g(x)1.令g(x)0，解得x1.因为当0x1时，g(x)1时，g(x)0，所以g(x)为增函数，所以g(x)ming(1)0.所以ag(1)0.所以a的取值范围为 D(0，1)解：因为f(x)3x22ax1，又f(x)在(0，1)内单调递减，所以不等式3x22ax10在(0，1)内恒成立，所以f(0)0，且f(1)0，所以a1.故选A.4()若函数f(x)x36bx3b在(0，1)内有极小值，
47、则实数b的取值范围是()A(0，1) B(，1) C(0，) D.解：f(x)3x26b，因为f(x)在(0，1)内有极小值，所以b0，令3x26b0得x，从而只要01，得0b.故选D.5()已知f(x)的定义域为(0，)，f(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)(x1)f(x21)的解集是()A(0，1) B(1，) C(1，2) D(2，)解：因为f(x)xf(x)0，所以(xf(x)(x21)f(x21)，所以0x12.故选D.6()设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时， xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0，1) B(1，0)(1
48、，)C(，1)(1，0) D(0，1)(1，)解：设函数g(x)，则g(x).因为当x0时，xf(x)f(x)0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递减又因为函数f(x)(xR)是奇函数，所以函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(，0)上单调递增，且g(1)g(1)0.故当0x0，则f(x)0；当x1时，g(x)0.综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0，1)故选A.7已知函数f(x)mx2lnx2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_解：f(x)2mx2，根据题意得f(x)0在(0，)上恒成立，有m，x(0，)令g(x)，x(0，)，易求得g(x)maxg(1
49、)，所以m.故填.8()设f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f(x)，若f(x)f(x)1，f(0)2017，则不等式exf(x)ex2016(其中e为自然对数的底数)的解集为_解：令F(x)exf(x)ex2016，因为f(x)f(x)1，所以F(x)exf(x)exf(x)exex(f(x)f(x)1)0，所以F(x)在R上为增函数，又F(0)e0f(0)e020162017120160，所以由F(x)F(0)得x0，即exf(x)ex2016的解为x0.故填(0，)9()证明：当x时，xsinxx.证明：记F(x)sinxx，则F(x)cosx.当x时，F(x)0，F(x)单调递增；
50、当x时，F(x)0，F(x)单调递减又F(0)0，F(1)0，所以当x时，F(x)0，即sinxx.记H(x)sinxx，则H(x)cosx1.当x时，H(x)0，H(x)单调递减所以H(x)H(0)0，即sinxx.综上，xsinxx，x10()已知函数 f(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)xf(x)ax1，若g(x)在(0，)上存在极值点，求实数a的取值范围解：(1)f(x)，x(，0)(0，)，所以f(x).当f(x)0时，x1.f(x)与f(x)随x的变化情况如下表：x(，0)(0，1)1(1，)f(x)0f(x)极小值故f(x)的增区间为(1，)，减区间为(，0
51、)和(0，1)(2)g(x)exax1，x(0，)，所以g(x)exa，当a1时，g(x)exa0，即g(x)在(0，)上递增，此时g(x)在(0，)上无极值点当a1时，令g(x)exa0，得xlna，令g(x)exa0，得x(lna，)；令g(x)exa1.11()已知函数f(x)alnx (a0)，e为自然对数的底数(1)若过点A(2，f(2)的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x0时，求证：f(x)a；(3)若在区间(1，e)上eex0恒成立，求实数a的取值范围解：(1)因为f(x)，f(2)2，所以a4.(2)证明：令g(x)f(x)aa，则g(x)a.令g(x)0，得x1，令g(x
52、)0，得0x0)；若f(x)是奇函数，则 f(x)dx_(其中a0)5定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V(t)，速度方向不变)在时间区间上所经过的路程S_.(2)在变力FF(x)的作用下，物体沿力F的方向作直线运动，并且由xa运动到xb(ab)，则力F对物体所做的功W_.(3)在变力FF(x)的作用下，物体沿与力F的方向成角的方向作直线运动，并且由xa运动到xb(ab)，则力F对物体所做的功W_.自查自纠：1(1)f(x)dx被积函数积分变量被积式积分区间(2)分割取极限2(1)kf(x)dx(2)f1(x)dxf2(x)dx(3)f(x)dxf(x)dx3F(b
53、)F(a)F(x)|F(b)F(a)F(x)|4(1)f(x)dx(2)f(x)dx(3)dx(4)2f(x)dx05(1)V(t)dt(2)F(x)dx(3)F(x)cosdx ()已知(x2mx)dx0，则实数m的值为()A B C1 D2解：根据题意有(x2mx)dx| m0，解得m.故选B. ()由yx2，y，y1所围成的图形的面积为()A. B1 C. D2解：因为曲线所围成的图形关于y轴对称，如图所示，面积S满足Sdxdx，所以S.故选C. ()若f(x)x22f(x)dx，则 f(x)dx()A1 B C. D1解：f(x)dx为常数，不妨设af(x)dx.则f(x)x22a，所
54、以a(x22a)dx|，所以a2a，所以a.故选B. ()曲线yx2和曲线y2x围成的图形面积是_解：由 得或 则所求面积为(x2)dx|.故填. ()(x)dx_.解：(x)dxdxxdx x2|.故填.类型一计算简单函数的定积分计算下列定积分：(1)(3x22x1)dx；(2)dx；(3)(sinxcosx)dx.解：(1)(3x22x1)dx(x3x2x) |24.(2)dx|ln2.(3)(sinxcosx)dxsinxdxcosxdx(cosx)|sinx|2.点拨：求定积分的步骤：把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；利用定积分的性质把所求的定
55、积分化为若干个定积分的和与差；分别用求导公式找到F(x)，使得F(x)f(x)；利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；计算所求定积分的值计算下列定积分：(1)x(x1)dx；(2)dx；(3)(1cosx)dx.解：(1)x(x1)dx(x2x)dxx2dxxdxx3|x2|.(2)dxexdxdxex|lnx|e2eln2.(3)(1cosx)dx1dxcosxdxx|sinx|.类型二计算分段函数的定积分求|x22x|dx.解：因为|x22x|所以|x22x|dx(x22x)dx (x22x)dx|8.点拨：对分段函数f(x)求定积分，关键是找到分段点c后利用定积分性质f(x)dxf(x
56、)dxf(x)dx求解求函数f(x) 在区间上的定积分解：f(x)dx(2x1)dx(1x2)dx(x2x)|.类型三利用定积分求平面图形的面积(1)dx_.解：根据定积分的几何意义，可知 dx表示的是圆(x1)2y21的面积的(如图中阴影部分)故dx.故填.(2)由抛物线yx21，直线x0，x2及x轴围成的图形面积为_解：如图所示，由yx210，得抛物线与x轴的交点分别为(1，0)和(1，0)所以S|x21|dx(1x2)dx(x21)dx|2.故填2.点拨：用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积应注意：对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简
57、化(1)直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A. B2 C. D.解：由已知得l：y1，解方程组 得交点坐标为(2，1)，(2，1)如图阴影部分，由于l与C围成的图形关于y轴对称，所以所求面积S2dx2|2.故选C.(2)()曲线1与两坐标轴所围成图形的面积是_解：将曲线1转化为y(1)2，且x0，y0.令y0，可知曲线与x轴交点为(1，0)，则曲线与两坐标轴所围成的面积S(1)2dx(12x)dx| 1.故填.类型四定积分在物理中的简单应用一质点在直线上从时刻t0开始以速度v(t)t24t3(m/s)做减速运动，则质点初次减速到0时经过的路程为_
58、m.解：由v(t)t24t3(t1)(t3)0，得t1或3(舍去)所以路程s(t24t3)dt(t32t23t)|(m)故填.点拨：物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间()设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_J(x的单位：m，力的单位：N)解：变力F(x)x21使质点M沿x轴正向从x1运动到x10所做的功为WF(x)dx (x21)dx|342(J)故填342.1用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F(x)f(x)的函数F(x)，
59、可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)2利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值3利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决1定积分3xdx的值为()A3 B1 C. D.解：3xdxx2|.故选C.2.|x|dx等于()A1 B1 C. D.解：|x|dx(x)dxxdxx2|x2|2.故选D.3()曲线y与直线yx1及x4所围成的封闭图形的面积为()A2
60、ln2 B2ln2C4ln2 D42ln2解：由曲线y与直线yx1联立，解得 x1，或x2，如图所示，故所求图形的面积为S(x1)dx|42ln2.故选D.4()已知f(x)为偶函数且 f(x)dx8，则f(x)dx等于()A0 B4 C8 D16解：f(x)dxf(x)dxf(x)dx，因为原函数为偶函数，即其图象关于y轴对称，所以对应的面积相等，即f(x)dxf(x)dx，故所求为8216.故选D.5()一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v(t)5 t(t的单位：s，v的单位：m/s)紧急刹车至停止在此期间火车继续行驶的距离是()A55ln10 m B55ln11 m
61、C1255ln7 m D1255ln6 m解：令5t0，注意到t0，得t10，即经过的时间为10 s；行驶的距离s dt|55ln11，即紧急刹车后火车继续行驶的路程为55ln11 m故选B.6()在平面直角坐标系中，记抛物线yxx2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线ykx(k0)所围成的平面区域为A，向区域M内随机投一点P，若点P落在区域A内的概率为，则k的值为()A. B. C. D.解：令xx20得x0或x1，令kxxx2得x0或x1k.所以M的面积为(xx2)dx(x2x3)|，A的面积为(xx2kx)dx (x2x3x2)|(1k)3，所以，所以k.故选A.7()设函数f(x
62、)ax2b(a0)，若f(x)dx3f(x0)，则x0_.解：因为f(x)dx(ax2b)dx |9a3b，3f(x0)3ax3b，所以 9a3b3ax3b，所以x3，x0.故填.8.dx_.解：dxdxxdx，xdx，dx表示四分之一单位圆的面积，为，所以计算结果是.故填.9计算下列定积分的值：(1)dx；(2)|x2x|dx.解：(1)被积函数y，即x2y21， y0.根据定积分的几何意义，所围成的图形如图所示，dx.(2)|x2x|dx(x2x)dx(xx2)dx(x2x)dx|.10有一动点P，在时间t时的速度为v(t)8t2t2(m/s)求从t0到t4时，点P经过的路程解：由v(t)
63、8t2t22t(4t)，可知当0t4时，v(t)0.因此，路程S(8t2t2)dt|(m)11在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.试求切点A的坐标及过切点A的切线方程解：如图所示，设切点A(x0，y0)，由y2x，得过点A的切线方程为yy02x0(xx0)，即y2x0xx.令y0，得x，即C.设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，S曲边AOBx00x2dxx3x，SABCxx.所以Sxxx.所以x01，从而切点A(1，1)，切线方程为y2x1. 抛物线y22x与直线y4x围成的平面图形的面积为_解：如图所示，所求面积SSASB，解方程组 得交
64、点坐标为(2，2)，(8，4)A部分：由于抛物线的上半支方程为y，下半支方程为y，所以：SA()dx2xdx2x|.B部分：SBdx|.于是S18.故填18.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1()已知曲线yx2的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A4 B3 C2 D.解：yxx2.故选C.2()已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)x，则f(1)()A1 B C. D1解：由f(x)x，得f(x)1，故f(1)f(1)1，即f(1).故选C.3()函数f(x)x33x22在区间上的最大值是()A2 B0 C2
65、D4解：f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或2.所以f(x)在上是减函数所以f(x)在区间上的最大值为f(0)2.故选C.4()由曲线y，直线yx所围成的封闭图形的面积是()A. B. C. D1解：由 解得交点为(0，0)，(1，1)，故所求面积为(x)dx|.故选A.5()已知f(x) x2sin，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图象是()解：f(x)x2cosx，所以f(x)xsinx，令g(x)f(x)，则g(x)为奇函数，排除B，D；由g(x)cosx知g(x)在上单调递减，排除C.故选A.6()等差数列an中的a1， a4 033是函数f(x)x34x26x1的极值点
66、，则log2a2 017等于()A2 B3 C4 D5解：f(x)x28x6，因此a1，a4 033是方程x28x60的两根，由韦达定理有a1a4 0338，所以2a2 0178，a2 0174，故log2a2 017log242.故选A.7()若函数f(x)x2 x1在区间上单调递减，则实数a的取值范围为()A. B.C. D故选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13()以函数ycos2x的图象为曲边的曲边形(如图阴影部分)的面积为_解：令2xk(kZ)，得曲线与x轴正半轴的交点依次为，.因此，由定积分的几何意义知曲边形的面积Scos2xdxcos2xdxsin2x|sin
67、2x|.故填.14()已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x22x3)f(x)0的解集为_解：由yf(x)的图象可得yf(x)的大致图象如图f(x)0x1或x1；f(x)01x1.而x22x30的解为x3或x1；x22x30的解为1x3.所以原不等式的解为x3或x1或1 x1.故填(，1)(1，1)(3，)15()若函数f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_解：f(x)2xexa，因为f(x)x2exax在R上存在单调递增区间，所以f(x)2xexa0，即a2xex有解，令g(x)2xex，则g(x)2ex，所以当x0；当xln2时，g(x)0，当xl
68、n2时，g(x)maxg(ln2)2ln22，所以a2ln22.故填(，2ln22)16()设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是_解：由a1，易知存在整数x00，使得ex0(2x01)ax0a.设g(x)ex(2x1)，h(x)axa，则g(x)ex(2x1)可得g(x)在上单调递减，在上单调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，若存在唯一整数x0，使得 f(x0)0，还须满足 即 所以a1.故填.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)()如图，求曲线y，y2x，yx所围成图形的面积解：联立 得
69、A(1，1)，联立 得B(3，1)，所以阴影部分的面积 Sdx1112x|.18(12分)已知函数yx33ax23bxc在 x2处有极值，且其图象在x1处的切线斜率为3.(1)求函数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差解：(1)因为y3x26ax3b，由题意得y|x21212a3b0，y|x136a3b3，解得a1，b0，所以yx33x2c，y3x26x.令y0，得x0或x2，所以函数的单调递增区间是(，0)，(2，)；单调递减区间是(0，2)(2)由(1)可知函数在x0处取得极大值c，在x2处取得极小值c4，所以函数的极大值与极小值的差为c(c4)4.19(12分)()设函数f(x)
70、(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在时，h(x)0.又h(2)3ln2ln8110，所以存在x0(1，2)，使得h(x0)0.因为h(x)lnx1，所以当x(1，2)时，h(x)10，当x(2，)时，h(x)0，所以当x(1，)时，h(x)单调递增所以k1时，方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根(3)由(2)知，方程f(x)g(x)在(1，2)内存在唯一的根x0，且x(0，x0)时，f(x)g(x)，x(x0，)时，f(x)g(x)，所以m(x)当x(0，x0)时，若x(0，1，m(x)0；当x(1，x0)时，由m(x)lnx10，可知0m(x)m(x0)，故m(x)m(x0)当x(x0，)时，由m(x)，可得x(x0，2)时，m(x)0，m(x)单调递增，x(2，)时，m(x)0，m(x)单调递减，可知m(x)m(2)，且m(x0)m(2)综上可得，函数m(x)的最大值为.
