1、1.4 二次函数与一元二次方程 的联系 第1章 二次函数 课程讲授 新知导入 随堂练习 课堂小结 知识要点 1.二次函数与一元二次方程 2.利用二次函数求一元二次方程根的近似值 3.二次函数与不等式 新知导入 试一试：根据所学知识，完成下列问题.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：_ h=20t-5t2课程讲授 1 二次函数与一元二次方程 问题1.1：小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？y/mOt/s15解 解方程 t1=1,t2=3.1
2、5=20t-5t2,t2-4t+3=0,当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.13课程讲授 1 二次函数与一元二次方程 问题1.2：小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？y/mOt/s20解 解方程 20=20t-5t2,t1=t2=2.t2-4t+4=0,当球飞行2秒时，它的高度为20米 2课程讲授 1 二次函数与一元二次方程 问题1.3：小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？y/mOt/s20.5解 解方程 20.5=20t-5t2,因为(-4)2-4 4.10,所以方程无实数根.t2-4t+4.1=0,也就是说小球的飞行高度达不到20.5米.课程
3、讲授 1 二次函数与一元二次方程 问题1.4：小球从飞出到落地要用多少时间？y/mOt/s解 小球飞出时和落地时的高度都为0，解方程 t1=0,t2=4.0=20t-5t2,t2-4t=0,当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.小球从飞出到落地要用4秒 4课程讲授 1 二次函数与一元二次方程 归纳：二次函数与一元二次方程联系密切.一般地，当y取定值且a0时，二次函数为一元二次方程.课程讲授 1 二次函数与一元二次方程 问题2：观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x
4、-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.提示：画出二次函数的图像进行观察比较.课程讲授 1 二次函数与一元二次方程-1-2-3-451-23-4-5-12-34-51 2345yOxy=x2+x-2y=x2-6x+9y=x2-x+1课程讲授 1 二次函数与一元二次方程-1-2-3-451-23-4-5-12-34-51 2345yOxy=x2+x-2y=x2-6x+9y=x2-x+1抛物线y=x2x1与x轴公共点个数为_,方程x2-x+1=0_抛物线y=x26x9与x轴公共点个数为_,方程 x26x9=0_抛物线y=x2x2与x轴公共点个数为_,方程 x2x2=0_0无解 1有
5、两个相等的实数解 2有两个不相等的实数解 课程讲授 1 二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系：1.如果抛物线y=ax2+bx+c与_有公共点，公共点的横坐标为x0，那么当x=_时，函数值是0，因此x=_是方程的ax2+bx+c=0一个根.2.二次函数的图像与_的位置关系有三种：_公共点，_公共点，_公共点，对应着一元二次方程的根的三种情况：_根，_根,_根.x轴x轴x0 x0有两个没有有一个没有实数 有两个相等的实数 有两个不相等的实数 课程讲授 1 二次函数与一元二次方程 练一练：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2
6、+bx+c=0的根是（）A.x1=1，x2=-1B.x1=0，x2=2C.x1=-1，x2=2D.x1=1，x2=0C课程讲授 2 利用二次函数求一元二次方程根的近似值 例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根（结果保留小数点后一位）.-1-2-3-451-23-4-5-12-34-51 2345yOx(-0.7,0)(2.7,0)解 画出函数 y=x-2x-2 的图象，所以方程x-2x-2=0的实数根为y=x-2x-2它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7x1-0.7,x22.7课程讲授 2 利用二次函数求一元二次方程根的近似值 利用二次函数求一元二次方程根的近似值：画出对应
7、的二次函数图象，根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确课程讲授 2 利用二次函数求一元二次方程根的近似值 练一练：下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是()A.6x6.17B.6.17x6.18C.6.18x6.19D.6.19x0的解集;(2)不等式ax2+bx+c0的解集.方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3x3时，函数的图象位于x轴上方，即y0,故ax2+bx+c0的解集为 x3-1x3时，函数的图象位于x轴
8、下方，即y0的解集为-1x2的解集;(4)不等式ax2+bx+c2的解集.-1-2-3-451-23-4-5-12-34-51 2345yOxy=2(-1.5,0)(3.5,2)方程ax2+bx+c=2的根是x1=-1.5，x2=3.5x3.5时，函数的图象位于直线y=0上方，即y2,故ax2+bx+c0的解集为x3.5-1.5x3.5时，函数的图象位于直线y=0下方，即y0的解集为-1.5x3.5课程讲授 3 二次函数与不等式 问题1：函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试着求出下列不等式的解集.(5)不等式ax2+bx+c-5的解集;-1-2-3-451-23-4-5-12-34-51
9、 2345yOxy=-5直线y=-5与函数y=ax2+bx+c图象没有交点,故不等式ax2+bx+c0，则_;y0，_;当a0时，y0，_;y0，则_。x1xx2x2x或xx2 x2x或xx2 x1xx2解是除x0之外的所有实数无解无解解是除x0之外的所有实数课程讲授 3 二次函数与不等式 练一练：如图，二次函数的图象与x轴相交于（-2，0）和（4，0）两点，当函数值y0时，自变量x的取值范围是（）A.x-2B.-2x4C.x0D.x4B随堂练习 1.已知二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A.m5B.m2C.m5D.m22.抛物线y=x2-2x+1与坐标轴的交
10、点个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个41AC随堂练习 3.若函数y=mx2+(m+2)x+m+1与x轴只有一个交点，则m的值为()A.0B.0或2C.2或-2D.0,2或-24.函数y=ax2+2ax+m(a0)的图象过点（2，0），则使函数值y0成立的x的取值范围是（）A.x-4或x2 B.-4x2C.x0或x2D.0 x221D A随堂练习 5.如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为（-1，0），（2，0），（0，2），则当y2时，自变量x的取值范围是（）A.0 xB.0 x1C.x1D.-1x22121B随堂练习 6.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一
11、元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下列问题：若m，n(mn)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根，且ab，则a，b，m，n的大小关系是()A.mabnB.amnbC.ambnD.manbA随堂练习 7.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围;(3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.(3)由图象可知k2.随堂练习 8.已知关于x的一元二次方程x2+(k-5)x+1-k=0，其中k为
12、常数.（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）已知函数y=x2+(k-5)x+1-k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.随堂练习（1）证明=（k-5）2-4（1-k）=k2-6k+21=（k-3）2+120，无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根.（2）解 二次项系数a=1，抛物线开口方向向上.=（k-3）2+120，抛物线与x轴有两个交点.设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2.二次函数y=x2+(k-5)x+1-k的图象不经过第三象限，x1+x2=5-k0，x1x2=1-k0，解得k1，即k的取值
13、范围是k1.随堂练习 则k的最大整数值为2.（3）解 设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1-3）（x2-3）0，x1x2-3（x1+x2）+90.又x1+x2=5-k，x1x2=1-k，1-k-3（5-k）+90，解得k，25 课堂小结 二次函数与一元二次方程 一元二次方程求解 当y取定值且a0时，二次函数y=ax2+bx+c为一元二次方程.根据函数图象与x轴的交点个数确定一元二次方程ax2+bx+c=0根的个数 求一元二次方程根的近似值 画出函数图象，根据图象与x轴的交点位置和函数图象的对称性求根的近似值 求不等式的解集 画出函数图象，根据图象与x轴的交点个数、位置和函数图象所在象限求不等式的解集
