1、1(2015东北三校联合模拟)已知圆M：x2(y2)21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且16，求证：直线AB恒过定点解：(1)设P(x，y)，则(y1)1x28y.所以E的方程为x28y.(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线AB的方程代入x28y中，得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b.x1x2y1y2x1x28bb216b4，所以直线AB恒过定点(0，4)2(2015河北省唐山市高三年级统考)已知抛物线E：x
2、22py(p0)，直线ykx2与E交于A，B两点，且2，其中O为原点(1)求抛物线E的方程；(2)点C坐标为(0，2)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：kk2k2为定值解：(1)将ykx2代入x22py，得x22pkx4p0，其中4p2k216p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22pk，x1x24p.x1x2y1y2x1x24p42.所以p，所以抛物线E的方程为x2y.(2)证明：由(1)知，x1x2k，x1x22.k1x1x2，同理k2x2x1，所以kk2k22(x1x2)22(x1x2)28x1x216.3(2015山西省四校联考)已知椭圆C：1(ab0)的
3、右焦点为F(1，0)，右顶点为A，且|AF|1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t，0)，使得0.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由c1，ac1，得a2，b，故椭圆C的标准方程为1.(2)由，得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.设P(xP，yP)，则xP，yPkxPmm，即P(，)M(t，0)，Q(4，4km)，(t，)，(4t，4km)(t)(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故，即t1.存在点M(1，0
4、)符合题意1(2013高考陕西卷)已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点解：(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|O1M|.当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|.又|O1A|，.化简得，y28x(x0)当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)证明：如图，由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)
5、，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20.其中32kb640.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2.x轴是PBQ的角平分线，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将代入并整理得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb.此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1，0)2(2015郑州市质量预测)已知平面上的动点R(x，y)及两定点A(2，0)，B(2，0)，直线RA、RB的斜率分别为k1、k2，且k1k2，设动点R的轨迹为曲线C.(1)求曲线
6、C的方程；(2)四边形MNPQ的四个顶点均在曲线C上，且MQNP，MQx轴，若直线MN和直线QP交于点S(4，0)问：四边形MNPQ两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由解：(1)由题知x2，且k1，k2，则，整理得，曲线C的方程为1(y0)(2)设MP与x轴交于D(t，0)，则直线MP的方程为xmyt(m0)设M(x1，y1)，P(x2，y2)，由对称性知Q(x1，y1)，N(x2，y2)，由，消去x得(3m24)y26mty3t2120，所以48(3m24t2)0，y1y2，y1y2，由M、N、S三点共线知kMSkNS，即，所以y1(my2t4)y2(my1t4
7、)0，整理得2my1y2(t4)(y1y2)0，所以0，即24m(t1)0，t1，所以直线MP过定点D(1，0)，同理可得直线NQ也过定点D(1，0)，即四边形MNPQ两条对角线的交点是定点，且定点坐标为(1，0)3. 已知椭圆1(ab0)的离心率e为，且过点(2，) (1)求椭圆的标准方程；(2)四边形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若kACkBD.求证：四边形ABCD的面积为定值解：(1)由题意e，1，又a2b2c2，解得a28，b24，故椭圆的标准方程为1.(2)证明：易知直线AB的斜率存在设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(12k2)x24kmx2m280，(4km)24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0，由根与系数的关系得kACkBD，y1y2x1x2.又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2kmm2，(m24)m28k2，4k22m2.设原点到直线AB的距离为d，则SAOB|AB|d|x2x1|2，S四边形ABCD4SAOB8，即四边形ABCD的面积为定值
