1、20212022学年度下期高2023届考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求把答案涂在答题卷上）1. 设复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A2. 设集合，则（）A. B. C. D. 【答案】D3. 已知8位学生得某次数学测试成绩得茎叶图如图，则下列说法正确的是（）A. 众数为7B. 平均数为65C. 中位数为64D. 极差为17【答案】B4. 已知点A的坐标满足线性约束条件，则的最大值为（）A. 10B. 9C. 8D. 6【答案】A5. 在ABC中，角
2、A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则ABC的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C6. 已知函数，则（）A. 0B. C. 1D. 2【答案】D7. 已知公比为q的等比数列中，平面向量，则下列与共线的是（）A. B. C. D. 【答案】D8. 算法统宗是由明代数学家程大位所著的一部以用数学著作，该书清初传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著书中卷八有这样一个问题：“今有物一面平堆，底脚阔七个，上阔三个，问共若干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为总个数，则总个数（）A. 18B. 25
3、C. 33D. 42【答案】B9. “蹴鞠” （如图），又名“蹴球”，是古人以脚蹴、蹋、踢球的活动已知某蹴鞠的表面上有四个点S、A、B、C，满足为正三棱，M是的中点，且，侧棱，则该蹴鞠的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】B10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，当时，x的取值集合为A，则下列选项为的充分不必要条件的是（）A. B. C. D. 【答案】B11. 已知双曲线的左、右焦点分别是，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，现将平面沿所在直线折
4、起，点到达点处，使二面角的平面角的大小为，且三棱锥的体积为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】A12. 若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D. 以上均不正确【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上）13. 某市2017年至2021年新能源汽车年销量（单位：百台）与年份代号的数据如下表.年份20172018201920202021年份代号12345年销量10152035若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，则表中的值为_.【答案】3014. 设点是曲线上的任意一点，则到直线的最小距离是_
5、【答案】15. 已知函数，则不等式的解集为_【答案】16. 过点的直线l分别与圆及抛物线依次交于E，F，G，H四点，则的最小值为_【答案】13三、解答题（17-21每小题12分，22题10分，共70分在答题卷上解答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数，是的一个极值点（1）求实数a的值；（2）求在区间上的最大值和最小值【答案】（1）（2）最大值是55，最小值是-15.18. 我校近几年加大了对学生强基考试的培训，为了选择培训的对象，今年我校进行一次数学考试，从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组
6、，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率【答案】（1）66.8（2）19. 如图所示，在四棱锥中，且（1）求证：平面ADP；（2）已知点E是线段BP上的点且，若二面角的大小为，求的值【答案】【小问1详解】连接BD，如图所示由，知，在中，设AB的中点为Q，连接DQ，则，所以四边形BCDQ为平行四边形，又，所以四边形BCDQ为正方形，所以，在中，在中，所以，又，AP，
7、平面ADP所以平面ADP【小问2详解】由平面ADP，且平面ABCD，所以平面平面ABCD；以D为原点，分别以DA，DB所在直线为x，y轴，以过点D与平面ABCD垂直的直线为z轴（显然z轴在面PAD内），建立如图所示空间坐标系，则，设，则，易知平面PAD的一个法向量为，设平面EAD法向量为，则，即，令，则， 设二面角的大小为，则所以，因为二面角的大小为，所以，即，解得（舍）或所以，时，二面角EADP的大小为20. 已知椭圆，其离心率为，若，分别为C的左、右焦点，x轴上方一点P在椭圆C上，且满足，（1）求C的方程及点P的坐标；（2）过点P的直线l交C于另一点Q，点M与点Q关于x轴对称，直线PM交x
8、轴于点N，若的面积是的面积的2倍，求直线l的方程【答案】（1），P点的坐标为（2）或21. 已知函数（其中，为自然对数的底数）（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若，是两极值点且，求实数a的取值范围；证明：【答案】（1）答案见解析；（2）；证明见解析【小问1详解】当时，当时，恒成立，单调递增为，无单调递减区间；当时，令，即，在上单调递增，上单调递减综上，当时，函数的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是【小问2详解】当时，有两个极值点，所以在R上有两个不等实数根，设，则，设，则，在上单调递增，又，时，；时，在上单调递增，在上单调递减，要使在R上有两个不同的实根，则，即，由前面的推导知：，且在单调递增，单调递减，单调递增设，设，在上单调递增，即在单调递增，又，原不等式成立（选修4-4：坐标系与参数方程）22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，AB的中点为M，求|PM|的值【答案】（1），（2）
