1、上海市卢湾高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、填空题（每小题3分，总分36分）1（3分）计算：=2（3分）已知，若，则t=3（3分）已知等差数列an中，a1=4，a5=12，则a3=4（3分）化简：=5（3分）在各项均为正数的等比数列an中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+log3a10=6（3分）若，则与同向的单位向量是7（3分）设Sn表示等差数列an的前n项和，且S9=18，Sn=240，若an4=30（n9），则n=8（3分）若，与的夹角为120，则=9（3分）在数列an中，a1=，an+an+1=（n=1，2，3），此数列前n项和Sn的公式为10（3分）在
2、ABC中，已知，的值为11（3分）如图，相交于点O的两条直线OA，OB，在OA上取一点A，作A1B1OB，作B1A2OA，作A2B2OB一直无限地作下去，若已知A1B1=7，B1A2=6，则所有垂线长度的和等于12（3分）已知数列an的通项公式是an=2n1，数列bn的通项公式是bn=3n，令集合A=a1，a2，an，B=b1，b2，bn，nN*将集合AB中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为cn则数列cn的前28项的和S28=二、选择题（每小题3分，总分12分）13（3分）点P的坐标为（1，2），则（）A点P与点A重合B点P与点B重合C点P就表示D14（3分）我们把1，3，6，10，15
3、，这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图）则第七个三角形数是（）A27B28C29D3015（3分）若两个非零向量、，互相垂直，则下列一定成立的是（）ABCD16（3分）设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积（i=1，2，），则An为等比数列的充要条件是（）Aan是等比数列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同三、解答题（本大题共5题，共52分，姐答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（8分
4、）如图已知向量、，求作向量18（10分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元写出an，bn的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？19（10分）若，且，求（1）向量的夹角；（2）20（12分）在数列an中，a1=3，an=an+14n（n2，nN*），数列an的前n项和Sn（1）证明：数列an+2n+1是等比
5、数列，并求an的通项公式；（2）求Sn21（12分）已知、分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，（aR），对任意正整数n，（1）若，求a的值；（2）求向量；（3）设向量，求最大整数a的值，使对任意正整数n，都有xnyn成立上海市卢湾高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，总分36分）1（3分）计算：=1考点：数列的极限 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：直接利用分式分母同除n，利用数列的极限的运算法则求解即可解答：解：=1故答案为：1点评：本题考查数列的极限的运算法则的应用，基本知识的考查2（3分）已知，若，则t=5考点：平行向量与共线向
6、量；平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：利用向量平行的充要条件，列出方程求解即可解答：解：知，若，则：1t=22，解得t=5故答案为：5点评：本题考查向量共线的充要条件应用，基本知识的考查3（3分）已知等差数列an中，a1=4，a5=12，则a3=8考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：根据等差数列的通项公式和题意求出公差d，再求出a3的值解答：解：设等差数列an的公差是d，因为a1=4，a5=12，所以d=2，则a3=a1+2d=8，故答案为：8点评：本题考查等差数列的通项公式，属于基础题4（3分）化简：=考点：向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义 专题
7、：平面向量及应用分析：根据平面向量的加法与减法的法则，进行化简即可解答：解：=（）+（+）=（+）+=故答案为：点评：本题考查了平面向量的线性运算问题，解题时应灵活应用平面向量的合成法则，是基础题5（3分）在各项均为正数的等比数列an中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+log3a10=10考点：等比数列的性质 专题：计算题分析：根据等比数列的性质可知a1a10=a2a9=a5a6，再利用对数的性质即可得到答案解答：解：log3a1+log3a2+log3a10=log3（a1a10）+log3（a2a9）+log3（a5a6）=5log3（a5a6）=10故答案为：10点评：本题
8、主要考查了等比数列的性质即若 m、n、p、qN*，且m+n=p+q，则aman=apaq6（3分）若，则与同向的单位向量是考点：单位向量 专题：平面向量及应用分析：求与同向的单位向量，化简即可解答：解：，与同向的单位向量是=故答案为：点评：本题考查了平面向量的单位向量的概念，也考查了向量的线性运算问题，是容易题7（3分）设Sn表示等差数列an的前n项和，且S9=18，Sn=240，若an4=30（n9），则n=15考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质 专题：计算题分析：先根据等差数列的求和公式和等差数列的等差中项的性质利用S9=18求得a5，进而根据等差中项性质可知Sn=240，求得n解答
9、：解：S9=9a5a5=2Sn=240n=15故答案为15点评：本题主要考查了等差数列的前n项和的问题巧妙地利用了等差中项的性质8（3分）若，与的夹角为120，则=考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：由题设条件，对进行平方，先出和向量模的平方，再开方求两者和的模解答：解：，与的夹角为120，由题意2=4+1221cos120=7，故答案为：点评：本题考查向量模的求法，对向量的求模运算，一般采取平方方法表示成向量的内积，根据内积公式求出其平方，再开方求模，本题是向量中的基本题9（3分）在数列an中，a1=，an+an+1=（n=1，2，3），此数列前n项和Sn的公式为考点：
10、数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：根据数列的递推关系依次求出数列的前几项，根据数列的规律，即可得到结论解答：解：数列an中，a1=，an+an+1=（n=1，2，3），a1+a2=，则a2=，a2+a3=，则a3=，a3+a4=，则a4=，则数列an是公比q=，首项a1=的等比数列，则数列前n项和Sn=，故答案为：点评：本题主要考查数列的前n项和的计算，根据递推关系判断数列是等比数列是解决本题的关键10（3分）在ABC中，已知，的值为2或2考点：平面向量数量积的运算 分析：本题是通过正弦定理，做出两个向量的夹角，由夹角的正弦值写出余弦值，注意余弦值有两个，不要漏解，最后代入公式求出结果
11、解答：解：，=2故答案为：2点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，发现向量的夹角和模都要根据所给的三角形自己求出再用，因此解三角形在本题中所占的比重较大11（3分）如图，相交于点O的两条直线OA，OB，在OA上取一点A，作A1B1OB，作B1A2OA，作A2B2OB一直无限地作下去，若已知A1B1=7，B1A2=6，则所有垂线长度的和等于考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：首先利用三角形的相似求出部分的线段长，发现线段成等比数列，进一步利用等比数列的前n项和求出结果解答：解：相交于点O的两条直线OA，OB，在OA上取一
12、点A，作A1B1OB，作B1A2OA，作A2B2OB一直无限地作下去，若已知A1B1=7，B1A2=6，所以：利用A1B1A2A1B1B2解得：，由于所得的三角形相似所以成等比数列：设公比为q则解得：q=点评：本题考查的知识要点：等比数列前n项和的应用，属于基础题型12（3分）已知数列an的通项公式是an=2n1，数列bn的通项公式是bn=3n，令集合A=a1，a2，an，B=b1，b2，bn，nN*将集合AB中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为cn则数列cn的前28项的和S28=820考点：数列的求和 专题：计算题分析：由题意可知两集合中无公共项，cn的前28项由an中的前7项及bn中
13、的前21项构成进而根据等比和等差数列的求和公式即可得到答案解答：解：两集合中无公共项，cn的前28项由an中的前7项及bn中的前21项构成所以点评：本题主要考查了数列的求和问题熟练掌握等比和等差数列的求和公式，是正确解题的前提二、选择题（每小题3分，总分12分）13（3分）点P的坐标为（1，2），则（）A点P与点A重合B点P与点B重合C点P就表示D考点：向量的几何表示 专题：平面向量及应用分析：由点P的坐标得出向量的坐标，从而得出=解答：解：点P的坐标为（1，2），=（1，2）；又，=故选：D点评：本题考查了平面向量的坐标表示的问题，解题时应区分平面向量的坐标表示与平面内的点的坐标的区别，是基
14、础题14（3分）我们把1，3，6，10，15，这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图）则第七个三角形数是（）A27B28C29D30考点：数列的应用 分析：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28解答：解：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数，那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28故选B点评
15、：本题考查数列在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想综合性强，难度大，易出错，是高考的重点解题时要认真审题，注意总结规律15（3分）若两个非零向量、，互相垂直，则下列一定成立的是（）ABCD考点：平面向量数量积的运算；向量的模 专题：平面向量及应用分析：首先，根据向量垂直，则它们的数量积为0，可以容易得到选项A错误，然后，再利用向量的运算法则及运算律求解其它选项即可解答：解：非零向量、，互相垂直，=0，对于选项A，显然错误；对于选项B，根据向量的运算，得到 ，显然，与题目条件矛盾，故选项B错误；对于选项C，|=|，（）2=（）2，|2+2+|2=|22+|2，=
16、0，故选项C正确；对于选项D，得到|=|故选项D错误，故选：C点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算法则、向量的运算律属于中档题，但也是易错题16（3分）设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积（i=1，2，），则An为等比数列的充要条件是（）Aan是等比数列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同考点：等比数列的性质 专题：压轴题分析：根据题意可表示Ai，先看必要性，An为等比数列推断出为常数，可推断出a1，a3，a
17、2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同；再看充分性，要使题设成立，需要为常数，即a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相等，答案可得解答：解：依题意可知Ai=aiai+1，Ai+1=ai+1ai+2，若An为等比数列则=q（q为常数），则a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比均为q；反之要想An为等比数列则=需为常数，即需要a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相等；故An为等比数列的充要条件是a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同故选D点评：本题主要考查了等比数列的性质
18、，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定考查了学生分析问题和基本的推理能力三、解答题（本大题共5题，共52分，姐答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（8分）如图已知向量、，求作向量考点：向量的减法及其几何意义 专题：平面向量及应用分析：如图所示，作，连接OE，以EO，EF为邻边作平行四边形OCFE，连接BC，则=解答：解：如图所示，作，连接OE，以EO，EF为邻边作平行四边形OCFE，连接BC，则=点评：本题考查了向量的三角形法则、作图能力，属于基础题18（10分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上
19、年减少本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元写出an，bn的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？考点：函数模型的选择与应用 专题：应用题；压轴题分析：（1）依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n年投入量，从而求出n年内的总投入量an，再由第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400（1+）万元，归纳出第n年旅游业收入为400（1+）n1万元从而得出n年内的旅游业总收入bn（2）先设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投
20、入，由bnan0，解得n的取值范围即可解答：解：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800（1）万元，第n年投入为800（1）n1万元所以，n年内的总投入为an=800+800（1）+800（1）n1=40001（）n；（3分）第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400（1+）万元，第n年旅游业收入为400（1+）n1万元所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400（1+）+400（1+）n1=1600（）n1（6分）（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，即1600（）n140001（）n0化简得5（）n+2（）n70，（9分）设x=（）n，代
21、入上式得5x27x+20，解此不等式，得，x1（舍去）即（）n，由此得n5答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入（12分）点评：本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力19（10分）若，且，求（1）向量的夹角；（2）考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模 专题：平面向量及应用分析：（1）由题意根据cos=，求得的值（2）由条件根据=，计算求得结果解答：解：（1）向量的夹角，且，cos=，=（2）=点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题20（12分）在数列an中，a1=3，an=an+14n（n2，n
22、N*），数列an的前n项和Sn（1）证明：数列an+2n+1是等比数列，并求an的通项公式；（2）求Sn考点：数列递推式；等比关系的确定 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知得an+2n+1=an14n+2n+1=an12n+1=an12（n1）1，由此能证明an+2n+1是一个公比为1的等比数列由此能求出an=6（1）n2n1（2）当n为奇数时，Sn=62（1+2+3+n）n=n22n+6，当n为偶数时，Sn=02（1+2+3+n）n=n22n，由此能求出Sn解答：解：（1）在数列an中，a1=3，an=an+14n（n2，nN*），an+2n+1=an14n+2n+1=an12n+1
23、=an12（n1）1即：an+2n+1=an1+2（n1）+1，an+2n+1是一个公比为1的等比数列a1+21+1=6，an+2n+1=6（1）n1=6（1）n，an=6（1）n2n1（2）an=6（1）n2n1，当n为奇数时，Sn=62（1+2+3+n）n=n22n+6，当n为偶数时，Sn=02（1+2+3+n）n=n22n，Sn=点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用21（12分）已知、分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，（aR），对任意正整数n，（1）若，求a的值；（2）求向量；（3）设向量，求最大整数a的值，使对任
24、意正整数n，都有xnyn成立考点：数列与向量的综合；函数恒成立问题；数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：综合题分析：（1）由题意，知51a+12=0，由此能求出a的值（2）由题意=，由此能求出结果（3）xn=51n+a51，yn=32n11，由51n+a5132n11恒成立，得a32n151n+50恒成立，令an=32n151n+50，只需求数列an得最小项由此能求出最大整数a的值，使对任意正整数n，都有xnyn成立解答：解：（1）由题意，所以51a+12=0，解得（5分）（2）=（10分）（3）xn=51n+a51，yn=32n11，由51n+a5132n11恒成立，得a32n151n+50恒成立，令an=32n151n+50，只需求数列an得最小项（13分）由，得6n6，即n=6，a6=160，所以a=161（16分）点评：本题考查数列和向量的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化
