1、高考资源网（） 您身边的高考专家新20版练B1数学人教A版2.2基本不等式第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式 考点1 基本不等式的理解1.若a,bR,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()。A.a2+b22abB.a+b2abC.1a+1b 2abD.ba+ab2答案：D解析：当a=b时,A不成立;当a0,b0时,B,C都不成立,故选D。2.(2018广东佛山第一中学高一下学期期中)设正实数a,b满足a+b=1,则()。A.1a+1b有最大值4 B.ab有最小值12C.a+b有最大值2D.a2+b2有最小值22答案：C解析：对于A,1a+1b=(a+b)1a+1b=2+ba
2、+ab2+2baab=4,当且仅当ba=ab且a+b=1,即a=b=12时等号成立,1a+1b的最小值为4,故A不正确。对于B,由不等式得aba+b2=12,当且仅当a=b=12时等号成立,ab的最大值为12,故B不正确。对于C,由不等式可得a+b2(a)2+(b)22=2a+b2=2,当且仅当a=b=12时等号成立,a+b有最大值2,故C正确。对于D,由不等式可得a2+b22a+b22=12,当且仅当a=b=12时等号成立,a2+b2有最小值12,故D不正确。故选C。3.已知正数a,b满足ab=10,则a+b的最小值是()。A.10B.25C.5D.210答案：D解析：a+b2ab=210,
3、当且仅当a=b=10时等号成立,故选D。4.(2019四川成都高一下学期期中)已知正数a,b满足a2+b2=1,则ab的最大值为()。A.1B.22C.12D.14答案：C解析：已知正数a,b满足a2+b2=1,则aba2+b22 =12,当且仅当a=b=22时取等号。故选C。5.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()。A.abc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一B.abc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一C.abc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一D.abc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一答案：A解析：a+b2ab,aba+b22 =4,当
4、且仅当a=b=2时取等号。c+d2cd,c+d2cd=4,当且仅当c=d=2时取等号。故c+dab,当且仅当a=b=c=d=2时取等号。考点2利用基本不等式比较大小6.若0a1,0b1,且ab,则a+b,2ab,2ab,a2+b2中最大的一个是()。A.a2+b2B.2abC.2abD.a+b答案：D解析：方法一:0a1,0b2ab,a+b2ab,aa2,bb2,a+ba2+b2,故选D。方法二:取a=12,b=13,则a2+b2=1336,2ab=63,2ab=13,a+b=56,显然56最大。7.设0ab,且a+b=1,在下列四个数中最大的是()。A.12B.bC.2abD.a2+b2答案
5、：B解析：0ab,aba+b22,ab14,2aba+b20,a2+b2212,a2+b212。b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)0,ba2+b2,b最大。8.已知abc,则(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是。答案：(a-b)(b-c)a-c2解析：abc,a-b0,b-c0,a-c2=(a-b)+(b-c)2(a-b)(b-c),当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时等号成立。考点3利用基本不等式求最值之无条件求最值9.已知0x0,则x2+x+3x+1的最小值为。答案：23-1解析：由x0,可得x+11。可令t=x+1(t1),即x
6、=t-1,则x2+x+3x+1=(t-1)2+t-1+3t=t+3t-12t3t-1=23-1,当且仅当t=3,即x=3-1时,等号成立。考点4利用基本不等式求最值之有条件求最值13.(2019湖北天门、仙桃、潜江高一下学期期末联考)设a,bR,a2+b2=k(k为常数),且1a2+1+4b2+1的最小值为1,则k的值为()。A.1B.4C.7D.9答案：C解析：由题得a2+1+b2+1=k+2,1a2+1+4b2+1=1a2+1+4b2+1k+2k+2=1a2+1+4b2+1a2+1+b2+1k+2=1k+25+b2+1a2+1+4(a2+1)b2+11k+2(5+4)=9k+2=1,k=7
7、。14.(2019安徽淮北二模)已知正数x,y满足x+2y-2xy=0,那么2x+y的最小值是。答案：92解析：根据题意,若x+2y-2xy=0,则12y+1x=1。故2x+y=(2x+y)12y+1x=52+xy+yx52+2yxxy=92,当且仅当x=y=32时,等号成立,即2x+y的最小值是92。15.(上海高考)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为。答案：22解析：x2+2y22x22y2=22(xy)2=22,当且仅当x2=2y2,且xy=1时等号成立。考点5利用基本不等式求解实际应用题16.某工厂第一年产量为A,第二年产量的增长率为a,第三年产量的增长率为b,这两年产
8、量的平均增长率为x,则()。A.x=a+b2B.xa+b2C.xa+b2D.xa+b2答案：B解析：这两年产量的平均增长率为x,A(1+x)2=A(1+a)(1+b),(1+x)2=(1+a)(1+b),a0,b0。1+x=(1+a)(1+b)(1+a)+(1+b)2=1+a+b2,xa+b2,等号在1+a=1+b,即a=b时成立。故选B。17.某金店用一台不准确的天平(两边臂长不相等)称黄金,某顾客要购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客,然后又将5 g的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金()。A.大于10 gB.
9、小于10 gC.大于等于10 gD.小于等于10 g答案：A解析：设左、右两臂长分别为b,a,两次放入的黄金的克数分别为x,y,依题意有ax=5b,by=5a,xy=25。x+y2xy,x+y10,当且仅当x=y时取等号,又ab,xy。x+y10,即两次所得黄金大于10 g,故选A。18.(2019四川眉山一中高二月考)一艘轮船在航行中的燃油费和它的速度的立方成正比,已知在速度为10 km/h时的燃油费是每小时6元,其他与速度无关的费用是每小时96元,则行驶每千米的费用总和最小时,该轮船的航行速度为km/h。答案：20解析：设速度为v km/h,则每千米费用总和y=kv3+96v,又k103=
10、6,k=3500,y=3500v2+96v=3500v2+48v+48v333500v248v48v=365,当且仅当3500v2=48v,即v=20时取等号。故答案为20。19.某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运,根据市场分析每辆客车的运营总利润y(单位:十万元)与营运年数x(xN*)为二次函数关系,其图像如图2-2-1所示。若使营运的年平均利润最大,则每辆客车应营运年。图2-2-1答案：5解析：由题意得二次函数图像的顶点坐标为(6,11),设二次函数的解析式为y=a(x-6)2+11,由题意得点(4,7)在函数图像上,7=a(4-6)2+11,解得a=-1。y=-(x-6)2+11
11、=-x2+12x-25。年平均利润为yx=-x-25x+12=12-x+25x12-2x25x=2,当且仅当x=25x,即x=5时等号成立。当x=5时,yx有最大值2。即要使营运的年平均利润最大,则每辆客车应营运5年。20.(2019安徽蚌埠高一下学期期末)某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目,准备购置一块1 800 m2的矩形地块,中间挖三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(如图2-2-2中阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2 m,如图2-2-2所示,池塘所占面积为S m2,其中ab=12。图2-2-2(1)试用x,y表示S;答案：由题意得xy=1 800,b=2
12、a,则y=a+b+6=3a+6,S=a(x-4)+b(x-6)=a(x-4)+2a(x-6)=(3x-16)a=(3x-16)y-63=xy-6x-163y+32=1 832-6x-163y,其中x(6,300),y(6,300)。(2)若要使S最大,则x,y的值分别为多少?答案：由(1)可知,x(6,300),y(6,300),xy=1 800,6x+163y26x163y=2616600=480,当且仅当6x=163y时等号成立,S=1 832-6x-163y1 832-480=1 352,此时9x=8y,xy=1 800,解得x=40,y=45。故要使S最大,x,y的值分别为40,45。
13、考点6利用基本不等式求解恒成立问题21.已知x0,y0,x+2y=1。若2x +1ym2+3m+4恒成立,则实数m的取值范围是()。A.(-,-4-1,+)B.(-,-14,+)C.(-4,1)D.(-1,4)答案：C解析：2x+1y1=2x+1y(x+2y)=4+4yx+xy8,即m2+3m+48恒成立,m2+3m-40时,不等式x2+mx+40恒成立,则实数m的取值范围是。答案：(-4,+)解析：x0,不等式x2+mx+40可化为-m0时,x+4x2x4x=4,当且仅当x=4x,即x=2时等号成立,x+4x的最小值为4。-m-4。故实数m的取值范围是(-4,+)。23.已知不等式(x+y)
14、1x+ay9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为。答案：4解析：a0,(x+y)1x+ay=1+a+yx+xay1+a+2a,由条件知a+2a+19,a4。24.(2018安徽亳州蒙城一中高三月考)设a0,若对于任意的正数m,n,都有m+n=8,则满足1a1m+4n+1的a的取值范围是。答案：1,+)解析：由m+n=8可得m+n+1=9,故1m+4n+1=19(m+n+1)1m+4n+1=191+4+n+1m+4mn+119(5+24)=99=1,当且仅当n+1=2m,m+n=8,即m=3,n=5时等号成立,只需1a1,又a0,故a1。25.设正数x,y满足x+yax+y恒成立,则a
15、的最小值是。答案：2解析：由已知知ax+yx+ymax,x+y2x+y2成立,x+y2x+y,x+yx+ymax=2,a2。26.(2019山东济宁微山一中、邹城一中高二下学期期中)已知a0,b0。(1)求证:a2b+b2aa+b;答案：证明:a0,b0,a2b+b2a+a+b=a2b+b+b2a+a2a+2b,当且仅当a=b时等号成立,a2b+b2aa+b(当且仅当a=b时等号成立)。(2)利用(1)的结论,试求函数y=(1-x)2x+x21-x(0x1)的最小值。答案：解:由于0xbc且2a-b+1b-cma-c恒成立,求实数m的最大值。答案：解:方法一:由题意,abc,令a-b=p0,b-c=q0,a-c=p+q0,那么不等式转化为2p+1qmp+q,即2q+pqpmq+p,即m2q2+3pq+p2pq=2qp+pq+3。又2qp+pq+33+22qppq=3+22(当且仅当2q=p时取等号)。实数m的最大值为3+22。方法二:由题意,a-b0,b-c0,a-c0,2a-b+1b-cma-c,即2(a-c)a-b+a-cb-cm,即2(a-b+b-c)a-b+a-b+b-cb-cm,即2+2(b-c)a-b+1+a-bb-c3+22(当且仅当a-b=2(b-c)时取等号)。实数m的最大值为3+22。- 8 - 版权所有高考资源网
