1、2.2最大值、最小值问题授课提示：对应学生用书第48页一、最值点的概念1函数yf(x)在区间a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)2函数yf(x)在区间a，b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)二、最值的概念函数的最大值和最小值统称最值三、最值点的可能位置函数的最值可能在极值点取得，也可能在区间的端点取得四、求函数最大(小)值的步骤设yf(x)是定义在a，b上的函数，yf(x)在(a，b)内可导，求函数yf(x)在a，b上的最大(小)值，可分两步进行：(1)求yf(x)在(a，b)内的极大(小)值；(2)将yf(x)的
2、各极大(小)值与f(a)，f(b)比较，其中最大(小)的一个为最大(小)值疑难提示函数的极值和最值的区别和联系(1)区别：函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较，即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者函数的极值可以有多个，但最值至多有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得(2)联系：如果在区间(a，b)上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点，那么该极值点就是最值点，这里区间(a，b)可以是无穷区间练一练1函数yf(x)在a，b上()A极大值一定比极小值大B极大值一定是最大值C最大值一定是极大值D最大值
3、一定大于极小值解析：由函数最值和极值的概念可知，yf(x)在a，b上的最大值一定大于极小值答案：D2函数f(x)x(1x2)在0,1上的最大值为()A.B.C. D.解析：f(x)xx3，f(x)13x2，令f(x)0，得x(x舍去)计算比较得最大值为f.答案：A授课提示：对应学生用书第49页探究一求函数的最值典例1求下列各函数的最大值与最小值(1)f(x)x32x21，x1,2；(2)f(x)，x(0,1)(ba0)解析(1)f(x)3x24x，令f(x)0，得x10，x2.因此x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)02f(x)00f(x)211f(x)max1，f(x
4、)min2.(2)f(x).令f(x)0，即b2x2a2(1x)20，解得x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值从上表看出，函数在x处取得极小值，且f(ab)2.所以函数f(x)在区间(0,1)内的极小值也就是最小值，即函数f(x)在区间(0,1)上的最小值是(ab)2，f(x)在(0,1)上不存在最大值对于函数f(x)在a，b上图像连续不断，在(a，b)内存在导数，函数f(x)在a，b上的最大值和最小值只能在各极值点或区间端点处取得故可以先求出f(x)在(a，b)内所有的极值，再求出端点处的函数值f(a)、f(b)，比较各极值与端点处的函数值就可以得到
5、f(x)在a，b上的最大值和最小值 1求下列各函数的最值(1)f(x)x33x26x2，x1,1；(2)f(x)，x2,2；(3)f(x)ln x，x.解析：(1)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，x1,1f(x)在1,1上恒大于0，f(x)在1,1上为增函数当x1时，f(x)取得最小值12，当x1时，f(x)取得最大值2.f(x)的最小值为12，最大值为2.(2)f(x)，令f(x)0，得x1或1.又f(1)2，f(1)2，f(2)，f(2)，f(x)的最大值为2，最小值为2.(3)f(x)ln x1ln x，f(x).令f(x)0，得x1.在上，当x变化时，f(x)与f(
6、x)的变化情况如下表：x1(1,2f(x)0f(x)极小值在上，当x1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)0.又f1ln1ln 2，f(2)ln 2，ff(2)2ln 2(34ln 2)ln0，ff(2)，f(x)在上的最大值为f1ln 2，最小值为f(1)0.2求下列函数的最大值与最小值：(1)f(x)2sin xx(x，)；(2)f(x)x33x3(x0，t)解析：(1)f(x)2cos x1，令f(x)0，有2cos x10，解之得x1，x2.根据x1，x2列表，分析导函数的符号得到函数的单调性与极值点.x(，)(，)f(x)1001f(x)2极小值极大值2由上表可知，最大值为
7、，最小值为.(2)f(x)x33x3，f(x)3x23.令f(x)0，得x11，x21.由0xt，当0t1时，f(x)1，x变化时，根据x1，x2列表x0(0,1)1(1，t)tf(x)003t23f(x)3极小值1t33t3从上表知：当x1时，f(x)取最小值为f(1)1；f(x)的最大值是f(0)与f(t)中较大的一个当1时，f(x)最大值为f(t)t33t3.综上，得当0t1时，f(x)的最大值为3，最小值为t33t3；当1时，f(x)的最大值为t33t3，最小值为1.探究二已知函数最值求参数典例2设af(a)，f(1)f(1)，故需比较f(0)与f(1)的大小，因为f(0)f(1)a1
8、0，所以f(x)的最大值为f(0)b，所以b1.又f(1)f(a)(a1)2(a2)0，所以f(x)的最小值为f(1)1aba，所以a，所以a.已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题 3已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，求a的值及f(x)在2,2上的最大值解析：f(x)6x212x6x(x2)，令f(x)0，得x0或x2，当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)40a极大值a8a当x2时，f(x)m
9、in40a37，得a3.当x0时，f(x)的最大值为3.4已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1处都取得极值(1)求a，b的值；(2)若对任意x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求实数c的取值范围解析：(1)f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb.由fab0，f(1)32ab0，得a，b2.(2)由(1)知f(x)3x2x2(3x2)(x1)，x1,2，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x1(1,2f(x)00f(x)极大值极小值f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1,2上单调递增，当x时，fc为极大值，而f(2)2c，则f(2)2c为最大值，要使f(x)f(2)2c，
10、解得c2.实数c的取值范围为(，1)(2，)探究三导数的实际应用5将一张26米的硬钢板按图纸的要求进行操作：沿线裁去阴影部分，把剩余的部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(为底，为侧面，为水箱盖，其中与、与分别是全等的矩形，且)设水箱的高为x米，容积为y立方米(1)写出y关于x的函数关系式；(2)如何设计x的大小，使得水箱的容积最大？解析：(1)依题意，水箱底的宽为(22x)米，长为(3x)米，则水箱的容积y(22x)(3x)x(0x1)，即为y关于x的函数关系式(2)y(22x)(3x)x2x38x26x(0x1)，y6x216x6.令y6x216x60，得x(x舍去)，当0x0，函数是递增
11、的，当x1时y0，函数是递减的，当x时，函数y(22x)(3x)x(0x0，g(x)单调递增；当51x60时，g(x)0，g(x)单调递减xN，M(50)44 000，M(51)44 226，M(x)的最大值为44 226.当60x76时，M(x)100(x2110x2 784)单调递减，故此时M(x)的最大值为M(60)21 600.综上所述，当x51时，M(x)有最大值44 226.该打印店的最大月利润为44 226元，此时产品的销售价格为51元/件7.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x
12、、y分别为多少时，用料最省(精确到0.001 m)?解析：依题意，有xyx8，所以y(0x4)，于是框架用料长度为l2x2y2x.l.令l0，即0，解得x184，x248(舍去)当0x84时，l0；当84x0；所以当x84时，l取得极小值，也即为l的最小值此时，x842.343 m，y2.828 m.即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省8如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)
13、(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价解析：(1)设长为x m，则宽为 m.据题意，解得x16，y(2x2)40024816 000800x16 000(x16)，(2)y8000，解得x18.当x(0,18)时，函数y为减函数；当x(18，)时，函数y为增函数又x16，当x16时，ymin45 000.当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，总造价y最低为45 000元利用导数讨论函数的零点典例(本题满分12分)设函数f(x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，
14、求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数；(3)若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围解析(1)由题设，当me时，f(x)ln x，则f(x)，2分所以当x(0，e)，f(x)0，f(x)在(e，)上是递增的，所以当xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，所以f(x)的极小值为2.4分(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上是递增的当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上是递减的.6分所以x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因
15、此x1也是(x)的最大值点.7分所以(x)的最大值为(1).又(0)0，结合y(x)的图像(如图)，可知当m时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0ma0，1恒成立，等价于f(b)b0)，所以(*)等价于h(x)在(0，)上是递减的由h(x)10在(0，)上恒成立，得mx2x2(x0)恒成立，所以m，所以m的取值范围是12分规范与警示(1)分离参数后，构建新函数(x)，利用导数求其最大值是正确解答本题的关键对参数m进行正确的分类讨论是解答本题的难点(2)考查了运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，同时考查了函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想
