1、5.5.2 简单的三角恒等变换（二）结合右图体会公式的推导过程 22tantan2=1tan你能把下列各式化为一个角的三角函数形式吗?31sincos;22(1)s inc o s;(2)cossinsincossin().666 222(sincos)2(cossinsincos)22442 sin().4 sincos=axbx那么？1.通过三角恒等变换，把形如 的函数 转化为形如 的函数.(重点）y=sincosaxbxsin()yAx 2.灵活利用公式，通过三角恒等变换，解决函数的 最值、周期、单调性等问题.(重点、难点)3.灵活运用三角函数公式解决一些实际问题 数学运算：通过简单的三
2、角恒等变换，培养数学运算的核心素养 2222222222222222cos,sinsincos(sincos)cossinsincossincoscos sinsin.令abababaxbxababxxabababxxabxxabxsincosaxbx微课1 的变形及应用sincosaxbx能化成一个角的三角函数值吗？提示:3sinx 3cosx()Asinx6B3sinx6C.3sinx6D2 3sinx6D 【即时练习】例1 求函数 的周期，最大值和最小值.sin3cosyxx【解题关键】利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.sin3cos132(sincos)22yxxxx2(
3、sin xcoscosxsin)332sin(x).3所以周期T=2，最大值为2，最小值为-2.【解析】通过三角恒等变换，我们把形如 的函数转化为形如 的函数，从而使问题得到简化.sincosyaxbxyAsin(x)【方法规律】函数 f(x)=(3 sinx+cosx)(3 cosx-sinx)的最小正周期是()A.2 B.C.32 D.2 【解题关键】利用二倍角公式和辅助角公式求解.B【变式练习】微课2 三角变换在化简、证明中的应用.cos10tan103.sin50例2 化简sin10cos103cos10sin50sin103cos10cos10cos10sin50（）（）原式oooo
4、oooo13sin10-cos1022=2sin50sin(10-60)sin(-50)=2=2=-2.sin50sin50【解析】三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换.（1）找差异：角、名、形的差别.（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来.（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后正用或逆用，常见形式如下：cos=cos cos（-）-sin sin（-），1=sin2+cos2，1tan301tan30=tan45tan301 tan45 tan30=tan（45+30）等.【方法规律】常见的三角变形技巧有 切割
5、化弦；“1”的变用；统一角度，统一函数，统一形式等等 3sin702cos210等于()A.12 B.22C2 D.32【解析】3sin702cos210 3cos202cos2103（2cos2101）2cos21042cos2102cos210 2.C【变式练习】例3 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记 ，问当角 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.3COP 分析：（1）找出 与 之间的函数关系.S（2）由得出的函数关系，求S的最大值.OABPCDQRt OBCOBcos,BCsin.DARt OADtan 60
6、3.OA在中，解：在中o333OADABCsin,3333ABOBOAcossin.3 所以所以2ABCDS,3SAB BC(cossin)sin33sincossin3 设矩形的面积为则13sin 2(1 cos2)26131313(sin 2cos2)sin(2).226663350236662626133S6633ABCD66 最大由得所以当，即时，因此,当时，矩形的面积最大，最大面积为+=.,.已知半径为1的半圆，PQRM是半圆的内接矩形，如图，P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积的值 PQRMO【解题关键】连接OP,设 用角 表示面积.POM,【变式练习】PQRMOPOM,
7、OMOPcoscos,PMO sinsin,【解析】P,P连接O设则PQRM2OM PM2cos sinsin 2.14所以矩形的面积S当=时，S最大，最大值为.1yasin xbcosxyAsin(x).形如的函数化成形如 的函数求解,体现化归思想2.用函数法求平面图形面积的最大值或最小值，常以某个变化的角作为自变量，再将面积 表示为这个角的函数，转化为三角函数的 最值问题.差角余弦公式和（差）角公式倍角公式简单三角恒等变换3、三角恒等变换知识框架图 简单的三角 恒等变换（一）使用半角公式时注意角的范围 三角恒等变换的方法：变角；变名；变式 降幂公式 半角公式 数学运算：通过简单的三角恒等变
8、换，培养数学运算的核心素养 1.(2020全国卷)已知(0,),且 3cos 2-8cos=5,则 sin=()A.B.C.D.【解析】选 A.3cos 2-8cos=5,得 6cos2-8cos-8=0,即 3cos2-4cos-4=0,解得 cos=-或 cos=2(舍去),又因为(0,),所以 sin=-=.A2.函数 f(x)sin xcos x，x0，2 的最小值为()A2 B 3 C 2 D1 【解析】选 D.f(x)2sinx4，x0，2.4x44，f(x)min 2sin4 1.D 3.当 y2cos x3sin x 取得最大值时，tan x 的值是()A.32 B32 C.1
9、3 D4 B【解析】选 B.y2cos x3sin x 13213cos x 313sin x 13(sin cos xcos sin x)13sin(x)，当 sin(x)1，x2k2时，y 取到最大值2k2x，(kZ)sin cos x，cos sin x，cos xsin 213，sin xcos 313.tan x32.4.已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为_ 【解析】设该等腰三角形的顶角为 ，则 cos 45，底角大小为12(180)tan12(180)tan902 1tan 21cos sin 145353.3 5.函数23 sin 2cos2yxx的最小正周期为
10、.23 sin 2cos2yxx=3111sin 2cos2sin 222262xxx 所以22T.【解析】6.已知函数 f(x)cos3x cos3x，g(x)12sin 2x14.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合【解题关键】利用两角和、差的余弦公式，二倍角公式及正、余弦的辅助角公式，化 f(x)、h(x)为Acos(x)的形式，然后研究函数的性质【解析】(1)f(x)12cos x 32 sin x 12cos x 32 sin x14cos2x34sin2x1cos 2x831cos 2x812c
11、os 2x14，f(x)的最小正周期 T22.(2)h(x)f(x)g(x)12cos 2x12sin 2x 22 cos2x4，当 2x42k(kZ)时，h(x)有最大值 22.此时 x 的取值集合为 xxk8，kZ.【方法规律】1为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型(正弦型)函数，这是解决问题的前提 2本题充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障【互动探究】已知 f(x)cos2x 12 sin xcos x求：(1)f(x)的最值；(2)f(x)的单调递增区间【解析】f(x)121cos2x6 12sin 2x1212cos 2xcos 6sin 2xsin 6 12sin 2x1212sin 2x 32 cos 2x 1212sin2x3 12.(1)f(x)max1，f(x)min0.(2)由 2k22x32k2，kZ，得 k512xk 12，kZ，则 f(x)的单调递增区间为k512，k 12(kZ).不要对一切人都以不信任的眼光看待,但要谨慎而坚定。德谟克里特
