1、基本初等函数讲义（一）指数与指数函数 基础知识 自主学习1.根式（1）根式的概念如果一个数的n次方等于a（n1且nN*），那么这个数叫做a的n次方根.也就是，若=a，则x叫做_a的n次方根_,其中n1且nN*.式子 叫做_,这里n叫做_，a叫做_. （2）根式的性质 当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数 n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号_ 表示. 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n次方根用符号_表示,负的n次方根用符号_表示.正负两个n次方根可以合写为_（a0）. =_. 当n为奇数时， =_;当n为偶数时， =_.负数没有偶次方根. 2
2、.有理数指数幂(1)幂的有关概念正整数指数幂： =_.（nN*）；零指数幂： =_（a0）；负整数指数幂： =_（a0，pN*）；正分数指数幂： =_（a0，m、nN*，且n1）；负分数指数幂： = = (a0,m、nN*,且n1).0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂 _.（2）有理数指数幂的性质 = _(a0,r、sQ); = _(a0,r、sQ); = _(a0,b0,rQ). 3.指数函数的图象与性质 基础自测1.已知a 则化简 的结果是 （ ） A. B. C. D. 2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的是 （ ） A.y= B.y=- +1 C.y=|x|+1
3、D.y=3.右图是指数函数（1）y=，（2）y=（3）y=（4）y= 的图象,则a，b，c，d与1的大小关系是 ( ) A.ab1cd B.ba1dc C.1abcd D.ab1d0且a1【例1】 计算下列各式：练习题型二 指数函数的性质例2 (12分)设函数f(x)= 为奇函数.求： （1）实数a的值； （2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性. 由f（-x ）=-f（x）恒成立可解得a的值;例3已知函数 (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当x取什么值时函数有最值2.7 对数与对数函数 要点梳理1.对数的概念（1）对数的定义 如果=N(a0且a1)，那么数
4、x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中_叫做对数的底数,_叫做真数. 2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a1)_常用对数底数为_自然对数底数为_2.对数函数的图象与性质3.对数的性质与运算法则（1）对数的性质 =_;=_(a0且a1). 2）对数的重要公式 换底公式: _ (a,b均大于零且不等 于1)； 推广 = _.3)对数的运算法则 如果a0且a1,M0,N0,那么 =_; =_; = _(nR); = _ 4.反函数 指数函数y=与对数函数_互为反函数，它 们的图象关于直线_对称. 基础自测1.（2009湖南理）若1,b0 B.a1,b0 C.0a0 D.0a1,b
5、02.若a=,b=,c=则a,b,c的大小关系是（ ） A.abc B.acb C.bca D.ba1，函数f(x)= 在区间a,2a上的最大值 与最小值之差为 则a等于 （ ） A. B. C. D. 4.函数 的定义域是_.题型一 对数的化简与求值例1(1)化简: (2)化简: (3)已知=m, =n,求的值.例2已知=A,且 则A的值是 （ ） A.15 B. C. D.225练习题1. 的值为 （ ） A. B. C. D. 2函数 的反函数是 （ ） A. B. C. D.4.已知0xya1,m=，则有 （ ） A.m0 B.0m1 C.1m2 5.若函数f(x)满足：f(x)=f(
6、x+2)且当x1，3时， f(x)=|x-2|,则方程f(x)= 的实根的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.函数y= (a0,a1,ab=1)的图象只可能是（ ）6已知函数f(x)= (a0,a1)， 如果对于任意x3，+)都有|f(x)|1成立， 试求a的取值范围. 解答基本初等函数讲义（一）指数与指数函数 基础知识 自主学习1.根式（1）根式的概念如果一个数的n次方等于a（n1且nN*），那么这个数叫做a的n次方根.也就是，若=a，则x叫做_a的n次方根_,其中n1且nN*.式子 叫做_,这里n叫做_，a叫做_. （2）根式的性质 当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负
7、数 n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号_ 表示. 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n次方根用符号_表示,负的n次方根用符号_表示.正负两个n次方根可以合写为_（a0）. =_. 当n为奇数时， =_;当n为偶数时， =_.负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂(1)幂的有关概念正整数指数幂： =_.（nN*）；零指数幂： =_（a0）；负整数指数幂： =_（a0，pN*）；正分数指数幂： =_（a0，m、nN*，且n1）；负分数指数幂： = = (a0,m、nN*,且n1).0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂 _.（2）有理数指数幂的性质 =
8、_(a0,r、sQ); = _(a0,r、sQ); = _(a0,b0,rQ). 3.指数函数的图象与性质 基础自测1.已知a 则化简 的结果是 （ D ） A. B. C. D. 解析2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的是 （ ） A.y= B.y=- +1 C.y=|x|+1 D.y= 解析 因为y=x3是奇函数，从而可排除A，因为函 数y=-x2+1及y=2-|x|在（0，+）上单调递减，所 以排除B、D. 3.右图是指数函数（1）y=，（2）y=（3）y=（4）y= 的图象,则a，b，c，d与1的大小关系是 ( B ) A.ab1cd B.ba1dc C.1abcd D
9、.ab1dc 解析 方法一 当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大时，在第一象限内，图象越靠近y轴；当底数大于0且小于1时,图象下降,且在第一象限内,底数越小，图象越靠近x轴.故可知ba1dd1a1b1,ba1d0且a1 解析a=2. 、题型分类 深度剖析题型一 指数幂的化简与求值【例2】 计算下列各式：解;题型二 指数函数的性质【例2】 (12分)设函数f(x)= 为奇函数.求： （1）实数a的值； （2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性. 由f（-x）=-f（x）恒成立可解得a的值; 解： 第(1) 由f（-x）=-f（x）恒成立可解得a的值; 第(2)问按定义法判断单调性
10、的步骤进行求解即可(1)方法一 依题意，函数f（x）的定义域为R， f（x）是奇函数，f（-x）=-f（x）， 2(a-1)(2x+1)=0，a=1. 方法二 f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，即 a=1 （2）由(1)知， 设 且，R， 例3】已知函数 (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当x取什么值时函数有最值解 （1）由已知可得其图象由两部分组成：一部分是： 另一部分是：y= (x0) y= (x0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中_叫做对数的底数,_叫做真数. 2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a1)_常用对数底数
11、为_自然对数底数为_2.对数函数的图象与性质3.对数的性质与运算法则（1）对数的性质 =_; =_(a0且a1). 2）对数的重要公式 换底公式: _ (a,b均大于零且不等 于1)； 推广 = _.3)对数的运算法则 如果a0且a1,M0,N0,那么 =_; =_; = _(nR); = _ 4.反函数 指数函数y=与对数函数_互为反函数，它 们的图象关于直线_对称. 基础自测1.（2009湖南理）若1,b0 B.a1,b0 C.0a0 D.0a1,b0 解析 0=,0a1. b0. 2.若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 A.abc B.acb C.bca D.bac 解析 a=
12、(0,1), ,b= 0, c=(1,+),ba1，函数f(x)= 在区间a,2a上的最大值 与最小值之差为 则a等于 （ ） A. B.2 C. D.4 解析 根据已知条件 = 整理得： = 则 =2 即a=4.5.函数 的定义域是_. 解析 要使 有意义 需使 03x-21,即 x1, 的定义域为 题型一 对数的化简与求值【例1】(1)化简: (2)化简: (3)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值. (1)、（2）为化简题目，可由原式联 想指数与对数的运算法则、公式的结构形式来寻 找解题思路.（3）可先求出2m+n的值，再用公式 来求a2m+n的值.解 (1)原式=(2)
13、(3)方法一 loga2=m,am=2.loga3=n,an=3.故a2m+n=(am)2an=43=12.方法二 loga2=m,loga3=n,能迁移1 (1)化简(log43+log83)(log32+log92)= _.解析 2)已知3a=5b=A,且 则A的值是 （ ） A.15 B. C. D.225 解析 3a=5b=A,a=log3A,b=log5A, =logA3+logA5=logA15=2, A2=15,A= 或A= （舍）. 选择题1. 的值为 （ D ） A. B. C. D. 2函数 的反函数是 （ A ） A. B. C. D.4.已知0xya1,m=logax+
14、logay，则有 （ D ） A.m0 B.0m1 C.1m2 解析 m=logaxy,0xya1,0xya2logaa2=2. 5.若函数f(x)满足：f(x)=f(x+2)且当x1，3时， f(x)=|x-2|,则方程f(x)=log5x的实根的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由已知得f(x)是以2为最小正周期的函数， 又x1,3时,f(x)=|x-2|,所以其图象如下图所示. 由于log55=1,且y=log5x是增函数,所以f(x)的图象与 y=log5x的图象有且仅有4个不同交点，也就是方程 f(x)=log5x有4个不同实根. 6.函数y=loga|x+b| (
15、a0,a1,ab=1)的图象只可能是（ ）, 解析 由a0,ab=1可知b0, 又y=loga|x+b|的图象关于x=-b对称， 对称轴x1,且0a0,a1)， 如果对于任意x3，+)都有|f(x)|1成立， 试求a的取值范围. 当x3，+)时，必有|f(x)|1成 立,可以理解为函数|f(x)|在区间3，+)上的最 小值不小于1. 解 当a1时，对于任意x3，+),都有f(x)0. 所以,|f(x)|=f(x), 而f(x)=logax在3，+)上为增函数， 对于任意x3，+),有f(x)loga3. 因此,要使|f(x)|1对于任意x3，+)都成立.只要loga31=logaa即可，1a3. 当0a1时，对于x3，+),有f(x)0,|f(x)|=-f(x). f（x）=logax在3，+)上为减函数，-f（x）在3，+)上为增函数.对于任意x3，+)都有|f(x)|=-f(x)-loga3. 因此，要使|f(x)|1对于任意x3，+)都成立,只要-loga31成立即可，综上,使|f(x)|1对任意x3，+)都成立的a的取值范围是(1，3 ，1). 第 16 页
