1、把脉高考 理清考情考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优 课时规范训练 第 2 课时 空间几何体的表面积和体积 考纲点击1.空间几何体与三视图相结合考查几何体的表面积与体积.2.与线面关系相结合，求解空间几何体表面积与体积.1(2016高考全国丙卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A1836 5B5418 5C90D81解析：选 B.由几何体的三视图可知，该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积 S(333633 5)25418 5.故选 B.2(2015高考课标卷)九章算术是我国古
2、代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有()A14 斛 B22 斛C36 斛D66 斛解析：选 B.设圆锥底面的半径为 R 尺，由142R8 得 R16，从而米堆的体积 V1413R2516203(立方尺)，因此堆放的米约有 162031.6222(斛)故选 B.3(2015高考课标卷)已知 A，B 是球 O 的球面
3、上两点，AOB90，C 为该球面上的动点若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为()A36 B64C144D256解析：选 C.AOB 的面积为定值，当 OC 垂直于平面 AOB时，三棱锥 O-ABC 的体积取得最大值由16R336 得 R6.从而球 O 的表面积 S4R2144.故选 C.考点一 由三视图求几何体的表面积、体积命题点 三视图恢复直观图1柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积体积 圆柱S 侧VShr2h 圆锥S 侧V 13 Sh 13 r2h 13r2 l2r2 圆台S 侧V13(S上S下 S上S下)h13(r21r22r1r2)h(r1r2)l2rhrl直
4、棱柱S 侧ChVSh 正棱锥S 侧12Ch(h为斜高)V 正棱台S 侧12(CC)hV13(S 上S 下 S上S下)h 球S 球面4R2V 43R313Sh2.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于 各面面积之和侧面积与底面积之和1(2016高考全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20 B24C28D32解析：选 C.该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径 r2，底面圆的周长 c2r4，圆锥的母线长 l 22（2 3）24，圆柱的高 h4，所以该
5、几何体的表面积 S 表r2ch12cl416828，故选 C.2(2016高考山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为()A.1323 B.13 23 C.13 26 D1 26 解析：选 C.由三视图可知，四棱锥的底面是边长为 1 的正方形，高为 1，其体积 V11312113.设半球的半径为 R，则 2R 2，即 R 22，所以半球的体积 V21243 R31243 223 26.故该几何体的体积 VV1V213 26.故选 C.3(2016高考北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为解析：由俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积
6、 S（12）1232，由侧(左)视图可知四棱柱的高 h1，所以该四棱柱的体积 VSh32.答案：32由三视图求解几何体的表面积或体积，一般遵循以下四步：看视图，明关系；分部分，想整体；依原则，定数量；综合起来，代公式考点二 由线面位置关系求几何体表面积、体积命题点 几何体中的线面关系柱体、台体两底面间的距离为几何体的高，棱柱、棱台每个侧面的高称为该侧面的斜高，锥体的顶点到底面的距离为锥体的高 1正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 3，D为 BC 中点，则三棱锥 A-B1DC1 的体积为()A3 B.32C1D 32解析：选 C.在正ABC 中，D 为 BC 中点，则有
7、AD 32 AB 3，SDB1C1122 3 3.又平面 BB1C1C平面 ABC，ADBC，AD平面 ABC，AD平面 BB1C1C，即 AD 为三棱锥 A-B1DC1 底面上的高 V 三棱锥 A-B1DC113SDB1C1AD13 3 31.2.(2017豫西五校联考)如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部 分 绕 AB 所 在 直 线 旋 转 一 周 所 形 成 的 几 何 体 的 体 积为解析：由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得 V圆台13(AD2AD2BC2BC2)AB13(AD2ADBCBC2)AB 13(222552)452(cm3)，V 半球43AD31243231216
8、3(cm3)，所以旋转所形成几何体的体积 VV 圆台V 半球52163 1403(cm3)答案：1403(cm3)3.一个底面直径为 4 的圆柱用一个不平行于底的平面截去一部分后得到一个几何体(如图)截面上点到底面的最小距离为 3.最高距离为 5，则该几何体的体积为解析：在该几何体的上方补接一个同样大小的几何体，使最小距离与最高距离相互对接，如图，则整个圆柱体积为 22832.原几何体体积为 16.答案：16(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解考点三 与球
9、有关的组合体命题点 球的内接和外切几何体球心与球的截面圆心连线垂直于该圆面；该圆面半径为 r，球的半径为 R，球心到截面的距离 d 的关系为 R2d2r2.1(2016高考全国甲卷)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12 B.323 C8D4解析：选 A.由正方体的体积为 8 可知，正方体的棱长 a2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即 2R 3a(R 为正方体外接球的半径)，所以 R 3，故所求球的表面积 S4R212.2(2016高考全国丙卷)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V
10、的最大值是()A4B92C6D323解析：选 B.设球的半径为 R，ABBC，AB6，BC8，AC10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时，有12(6810)R1268，此时 R2；当球与直三棱柱两底面相切时，有 2R3，此时 R32.所以在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为32，故最大体积 V4332392.3正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为()A.814B16C9D274解析：选 A.如图所示，设球半径为 R，棱锥的底面中心为 O，球心为 O.正四棱锥 P-ABCD 中 AB2，AO 2.PO4，在 RtAOO中，AO2AO2OO2，R2(2
11、)2(4R)2，解得 R94，该球的表面积为 4R24942814.一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系化归与转化思想在求空间几何体体积中的应用(1)“转”：指的是转换底面与高，将原来不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解长度的高；(2)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算；(3)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥还原成一个三棱柱，有时将一个三棱柱还原成一个四棱柱，还台为锥，这些都是拼补的方法 典例 如图，在三棱柱 ABC-A1
12、B1C1 的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一个动点 P、Q，且满足 A1PBQ，M 是棱 CA 上的动点，则VMABQPVABCA1B1C1VMABQP的最大值是解析 设 VABCA1B1C1V，VMABQPVM-B1BAVCB1BA VB1 CBA 13 V，即 M 与 C 重 合 时 VM ABQP 最 大，VMABQPVABCA1B1C1VMABQPV3VV312.答案 12方法探究 一般来说，对于规则的几何体，一般用公式法 对于非规则的几何体，一般用割补法 对于某些三棱锥，有时可以利用转换的方法(2017大连双基检测)如图，在边长为 1 的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，
13、则该多面体的体积为()A15 B13C12D9解析：选 B.题中的几何体的直观图如图所示，其中底面 ABCD是一个矩形(其中 AB5，BC2)，棱 EF底面 ABCD，且 EF3，直线 EF 到底面 ABCD 的距离是 3.连接 EB，EC，则题中的多面体的体积等于四棱锥 EABCD与三棱锥 E-FBC 的体积之和，而四棱锥 E-ABCD 的体积等于13(52)310，三棱锥 E-FBC 的体积等于131233 23，因此题中的多面体的体积等于 10313，选 B.1考前必记(1)直棱柱的侧面积、正棱锥的侧面积、正棱台的侧面积(2)圆柱的表面积、圆锥、圆台的表面积(3)柱、锥、台的体积(4)球的表面积和体积2答题指导(1)看到三棱锥的体积，想到定底定高(2)看到求几何体的表面积、体积，想到几何体的表面积、体积公式(3)看到非规则的几何体，想到转化法求体积(4)看到球的有关组合体，想到作截面、球的性质课时规范训练
