1、考点专练(四十六)一、选择题1(2011年安徽)双曲线2x2y28的实轴长是()A2 B2 C4 D4解析：原式可化为：1，a24，a2,2a4.答案：C2(2011年山东)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：圆C：标准方程(x3)2y24，圆心(3,0)，双曲线右焦点(3,0)，令双曲线渐近线yx与圆相切，则bxay02，4a25b2，选A.答案：A3(2012年山东潍坊二模)已知双曲线C：1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|F1F2|，则等于(
2、)A24 B48 C50 D56解析：如图所示，|PF2|F1F2|6，由双曲线定义可得，|PF1|10.在PF1F2中，由余弦定理可得，cosF1PF2.|cosF1PF210650.答案：C4(2012年东北四校高三模拟)过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点为M，若MAB是直角三角形，则此双曲线的离心率e的值为()A. B2 C. D.解析：如图所示，AMF为等腰直角三角形，|AF|为|AB|的一半，|AF|.而|MF|ac，由题意可得，ac，即a2acb2c2a2，即c2ac2a20.两边同时除以a2可得，e2e20，解之得，e2.答案：B5(2
3、012年大纲全国)已知F1、F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()A. B. C. D.解析：ab，c2.由得|PF1|4，|PF2|2，由余弦定理得cosF1PF2.故选C.答案：C6已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，.抛物线y224x的准线方程为x6，c6.又c2a2b2.由得a3，b3.a29，b227.双曲线方程为1.答案：B二、填空题7(2011年上海)设m是常数，若点F(0
4、,5)是双曲线1的一个焦点，则m_.解析：m925，m16.答案：168(2012年辽宁)已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_解析：设|PF1|m，|PF2|n，则解得mn2，(mn)2m2n22mn8412，mn2，即|PF1|PF2|2.答案：29(2012年甘肃兰州高三诊断)双曲线1(a0，b0)一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为_解析：由题意可得，ktan，ba，则a2，e 2.2 .答案：三、解答题10设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)
5、求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a2，一条渐近线为yx，即bx2y0，b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0，将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则x1x216，y1y212，t4，点D的坐标为(4，3)11(2012年合肥联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2面积解：(1)e，可设
6、双曲线方程为x2y2.过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.点(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2.0.法二：(32，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2，M点在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底|F1F2|4，由(2)知m.F1MF2的高h|m|，SF1MF26.12(2012年河南安阳三模)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为2xy0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的
7、方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若，求AOB的面积解：(1)依题意得解得故双曲线的方程为x21.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y2x，设A(m,2m)，B(n,2n)，其中m0，n0，由得点P的坐标为，将点P的坐标代入x21，整理得mn1，设AOB2，则tan ，从而sin 2，又|OA|m，|OB|n，SAOB|OA|OB|sin 22mn2.热点预测13(1)设F1，F2分别是双曲线1的左、右焦点若双曲线上存在点A，使F1AF290，且|AF1|3|AF2|，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.(2)(2012年济南模拟
8、)已知双曲线C1：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2：y22px(p0)与双曲线C1有相同焦点C1与C2在第一象限相交于点P，且|F1F2|PF1|，则双曲线的离心率为_解析：(1)由双曲线的定义|AF1|AF2|2a，由此得|AF2|a，|AF1|3a，再由三角形F1AF2为直角三角形，得a2(3a)2(2c)2，由此得，故e.(2)设点P(x0，y0)、F2(c,0)，过P作抛物线C2准线的垂线，垂足为A，连接PF2.由双曲线的定义及|F1F2|PF1|2c，得|PF2|2c2a，由抛物线的定义得|PA|x0c2c2a，x0c2a.在RtF1AP中，|F1A|2(2c)2(2c2a)28ac4a2，即y8ac4a2，由题意知c，y2px04c(c2a)，8ac4a24c(c2a)，化简得c24aca20，即e24e10(e1)，解得e2.答案：(1)B(2)2- 6 -
