1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2节命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求1.了解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，了解四种命题的相互关系；2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.知 识 梳 理1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要
2、条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件p q且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件p q且q p常用结论与易错提醒若Ax|p(x)，Bx|q(x)，则(1)若AB，则p是q的充分条件；(2)若AB，则p是q的必要条件；(3)若AB，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且AB，则p是q的既不充分又不必要条件.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)“x22x33，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()
3、A.1 B.2C.3 D.4解析原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a6，则a3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.答案B4.(2020杭州质检)设xR，则“x2”是“|x|2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由|x|2得x2或x2，所以“x2”是“|x|2”的充分不必要条件，故选A.答案A5.(2019北京丰台区期末)能够说明“设a，b是任意非零实数，若1，则ba”是假命题的一组整数a，b的值依次为_.解析要使“设a，b是任意非零实数，若1，则ba”是假命题，只需满足ba0且a，bZ即可，可取a1，
4、b2.答案1，2(答案不唯一)6.已知命题p：“若a2b2，则ab”，则命题p的否命题为_，该否命题是一个_命题(填“真”，“假”).解析由否命题的定义可知命题p的否命题为“若a2b2，则ab”.由于命题p的逆命题“若ab，则a2b2”是一个真命题，否命题是一个真命题.答案“若a2b2，则ab”真考点一四种命题的关系及其真假判断【例1】 (1)命题“若x23x40，则x4”的逆否命题及其真假性为()A.“若x4，则x23x40”为真命题B.“若x4，则x23x40”为真命题C.“若x4，则x23x40”为假命题D.“若x4，则x23x40”为假命题(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|
5、z1|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A.真、假、真 B.假、假、真C.真、真、假 D.假、假、假解析(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x23x40，得x4或1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.(2)由共轭复数的性质，|z1|z2|，原命题为真，因此其逆否命题为真；取z11，z2i，满足|z1|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，其逆命题为假，故其否命题也为假.答案(1)C(2)B规律方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前
6、提，写其他三种命题时需保留大前提不变.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.【训练1】 (1)已知：命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是()A.否命题是“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m1”，是真命题B.逆命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”，是假命题C.逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”，是真命题D.逆否命题是
7、“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”，是真命题(2)(2018北京卷)能说明“若f(x)f(0)对任意的x(0，2都成立，则f(x)在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_.解析(1)由f(x)exmx在(0，)上是增函数，则f(x)exm0恒成立，m1.因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题.(2)这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)f(0)对任意x(0，2都成立 ，且函数f(x)在0，2上不是增函数即可.如f(x)sin x，答案不唯一.答案(1)D(2)f(x)sin x(答案不唯一 )考点二充
8、分条件与必要条件的判定【例2】 (1)(2020杭州三校三联)“2xy1”是“ln0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018北京卷)设a，b，c，d是非零实数，则“adbc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析(1)当x1，y3时，满足2xy1，但此时ln无意义，充分性不成立；当x1，y2时，满足ln0，但此时2xy21，必要性不成立.综上所述，“2xy1”是“ln0”的既不充分也不必要条件，故选D.(2)a，b，c，d是非零实数，若adbc，则，此时a，
9、b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则，所以adbc，所以“adbc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件，故选B.答案(1)D(2)B规律方法充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1或y1”的何种条件，即可转化为判断“x1且y1”是“xy1”的何种条件.【训练2】 (1)(2018北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a3b
10、|3ab|”是“ab”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件(2)(2019浙江教育绿色评价联盟三联)已知x，y为实数，则“xy0”是“|xy|xy|”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分且必要件条 D.既不充分也不必要条件解析(1)|a3b|3ab|，(a3b)2(3ab)2，a26ab9b29a26abb2，又|a|b|1，ab0，ab；反之也成立.故选C.(2)由不等式的性质，知|xy|xy|(xy)2(xy)2xy0，则“xy0”是“|xy|xy|”的充分且必要条件.故选C.答案(1)C(2)C考点三充分条件、必要条件的应
11、用 变式迁移【例3】 (经典母题)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m.若“xP”是“xS”的必要条件，求m的取值范围.解由x28x200，得2x10，Px|2x10.“xP”是“xS”的必要条件，则SP.解得m3.又S为非空集合，1m1m，解得m0，综上，可知当0m3时，“xP”是“xS”的必要条件.【变式迁移1】 本例条件不变，问是否存在实数m，使“xP”是“xS”的充要条件？解由例题知Px|2x10.若“xP”是“xS”的充要条件，则PS，这样的m不存在.【变式迁移2】 本例条件不变，若“xP”是“xS”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.解由例题知Px|2x10.“xP
12、”是“xS”的充分不必要条件，PS.2，101m，1m.或m9，则m的取值范围是9，).规律方法充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；(2)要注意区间端点值的检验.【训练3】 ax22x10只有负实根的充要条件是_.解析当a0时，原方程为一元一次方程2x10，有一个负实根x.当a0时，原方程为一元二次方程，又ax22x10只有负实根，所以有即0a1.综上，方程只有负根的充要条件是0a1.答案0a1基础巩固题组一、选择题1.设mR, 命题“若m0，
13、则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2xm0有实根，则m0B.若方程x2xm0有实根，则m0C.若方程x2xm0没有实根，则m0D.若方程x2xm0没有实根，则m0解析根据逆否命题的定义，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x2xm0没有实根，则m0”.答案D2.(2020温州适应性考试)已知a，b都是实数，那么“3a3b”是“a3b3”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析因为3a3bab，a3b3ab，所以“3a3b”是“a3b3”的充要条件，故选C.答案C3.设，是两个不同的平面，m是直线且m，则“m”
14、是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析m，m ，但m，m，“m”是“”的必要不充分条件.答案B4.(2019金华十校期末调研)已知条件p：x1，条件q：1，则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由题意得p：x1，q：1，则10，0，解得x1或x0，所以p是q的充分不必要条件，故选A.答案A5.(2020北京朝阳区一模)已知a，b，cR，给出下列条件：a2b2；ac2bc2，则使得ab成立的充分而不必要条件是()A. B. C. D.解析由a2b2，得|a|b|，不一定有ab成立，不
15、符；对于，当a1，b1时，有，但ab不成立，所以不符；对于，由ac2bc2知c0，所以有ab成立，当ab成立时，不一定有ac2bc2，因为c可以为0，符合题意.答案C6.已知p：不等式(ax1)(x1)0的解集为，q：a0的解集为得a0且1，解得a0的解集为”是“a|”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析因为点A，B，C不共线，所以线段AB，BC，AC构成一个三角形ABC，由向量加法的三角形法则，可知，所以|等价于|，因模为非负数，故不等号两边平方得222|cos 222|cos (为与的夹角)，整理得4|cos 0，故cos 0，即为
16、锐角.反之，易得当与的夹角为锐角时，|，所以“与的夹角为锐角”是“|”的充分必要条件.故选C.答案C9.(2020北京大兴区一模)已知数列an，则“存在常数，对任意的m，nN*，且mn，都有c”是“数列an为等差数列”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析由已知：“存在常数c，对任意的m，nN*，且mn，都有c”不妨令mn1，则有an1anc，由等差数列的定义，可知数列an是以c为公差的等差数列，由“数列an为等差数列”，则ana1(n1)d，ama1(m1)d(d为公差)，所以d，即存在“存在常数c，对任意的m，nN*，且mn，都有c”
17、，此时cd，综合得“存在常数c，对任意的m，nN*，且mn，都有c”是“数列an为等差数列”的充分必要条件，故选C.答案C二、填空题10.已知是实数，a是向量，若a0，则_或a_(使命题为真命题).解析a0，0或a0.答案0011.“sin cos ”是“cos 20”的_条件.解析cos 20等价于cos2sin20，即cos sin .由cos sin 得到cos 20；反之不成立.“sin cos ”是“cos 20”的充分不必要条件.答案充分不必要12.命题“若x23x20，则x1”的逆命题为_，否命题为_，逆否命题为_.解析“若x23x20，则x1”的逆命题为“若x1，则x23x20
18、”；否命题为“若x23x20，则x1”；逆否命题为“若x1，则x23x20”.答案若x1，则x23x20若x23x20，则x1若x1，则x23x2013.已知命题p：axa1，命题q：x24x0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_.解析令Mx|axa1，Nx|x24x0x|0x4.p是q的充分不必要条件，MN，解得0ab，则a2b2”的否命题；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若x24，则2x2”的逆否命题.其中真命题的序号是_.解析原命题的否命题为“若ab，则a2b2”，错误.原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，正确.原命题的逆否命题为“若x2或x2，则x2
19、4”，正确.答案能力提升题组15.已知mR，“函数y2xm1有零点”是“函数ylogmx在(0，)上为减函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由y2xm10，得m12x，则m1.由于函数ylogmx在(0，)上是减函数，所以0m1.因此“函数y2xm1有零点”是“函数ylogmx在(0，)上为减函数”的必要不充分条件.答案B16.“函数f(x)aln x(xe)存在零点”是“a1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析函数f(x)aln x(xe)存在零点a1，故选B.答案B17.(2017上
20、海卷)已知a，b，c为实常数，数列xn的通项xnan2bnc，nN*，则“存在kN*，使得x100k，x200k，x300k成等差数列”的一个必要条件是()A.a0 B.b0C.c0 D.a2bc0解析要使x100k，x200k，x300k构成等差数列，只需要2x200kx100kx300k，即2a(200k)22b(200k)2ca(100k)2b(100k)ca(300k)2b(300k)c成立，整理得a0，即充要条件是a0，故选A.答案A18.(2019北京通州区期末)设函数yf(x)图象上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)处的切线的斜率分别是kA，kB，规定(A，B)(|AB|
21、为线段AB的长度)叫做曲线yf(x)在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：函数ysin x图象上两点A与B的横坐标分别为1和1，则(A，B)0；存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；设A，B是抛物线yx2上不同的两点，则(A，B)2；设A，B是曲线yex上不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(A，B)1.其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析对于，由ysin x，得ycos x，则kAcos 1，kBcos(1)cos 1，则|kAkB|0，即(A，B)0，正确；对于，如y1时，y0，则(A，B)0，正确；对于，抛物线yx2的导数为y2
22、x，yAx，yBx，yAyBxx(xAxB)(xAxB)，则(A，B)2，正确；对于，由yex，得yex，(A，B)，由不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得(A，B)1，错误；综上所述，正确的命题序号是.答案C19.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数f(x)3log2x的图象与g(x)的图象关于_对称，则函数g(x)_(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形).解析点P(x0，y0)关于x轴对称的点是P(x0，y0)，f(x)3log2x关于x轴对称的函数解析式为g(x)3log2x；点M(x0，y0)关于y轴对称的点是M(x0，y0)，故f(x)3log2x关于y轴对称的函数解析式为g(x)3log2(x).其他情形，类似可得.答案(不唯一)如x轴3log2x；y轴3log2(x)；原点3log2(x)；直线yx2x3等20.已知ab0，则a2b2ab2ab0成立的充要条件是_.解析若a2b2ab2ab0，即(ab)2(ab)0，(ab1)(ab)0，因为ab0，所以ab10，即ab1，由于上述推理可逆，所以a2b2ab2ab0成立的充要条件是ab1.答案ab1- 14 - 版权所有高考资源网