1、专讲一专讲二 专讲三 专题测试专题突破六 平面解析几何高考热点专讲 专讲一 圆锥曲线的概念及标准方程圆锥曲线的概念及其标准方程是高考热点之一，这一部分问题往往在选择题、填空题或者在解答题的第一问出现，解答的方法是利用圆锥曲线的定义确定曲线的类型求解，或者是在确定了曲线的类型之后利用待定系数法求标准方程这些问题的解法一般有两种：第一，直接用定义或标准方程求解；第二，先求待定系数的值，再解答问题题型一 求解曲线上点与焦点连线问题巧用定义例 1(2015高考浙江卷)椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点F(c，0)关于直线 ybcx 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是解析 根据椭圆定义运用数
2、形结合思想求解 设椭圆的另一个焦点为 F1(c，0)，如图，连接 QF1，QF，设 QF 与直线 ybcx 交于点 M.由题意知 M 为线段 QF 的中点，且 OMFQ.又 O 为线段 F1F 的中点，F1QOM，F1QQF，|F1Q|2|OM|.在 RtMOF 中，tanMOF|MF|OM|bc，|OF|c，可解得|OM|c2a，|MF|bca，故|QF|2|MF|2bca，|QF1|2|OM|2c2a.由椭圆的定义得|QF|QF1|2bca 2c2a 2a，整理得 bc，a b2c2 2c，故 eca 22.答案 22抓住|QF1|QF|2a 建立 a，b，c 的关系，结合离心率的定义 e
3、ca求解题型二 求圆锥曲线的标准方程注重概念和方程形式例 2 已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线 y24 7x 的准线上，则双曲线的方程为()A.x221y2281B.x228y2211C.x23y241Dx24y231解析 选 D.利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解 由双曲线的渐近线 ybax 过点(2，3)，可得 3ba2.由双曲线的焦点(a2b2，0)在抛物线 y24 7x 的准线 x 7上，可得 a2b2 7.由解得 a2，b 3，所以双曲线的方程为x24y231.此双曲线方程形式确定，充
4、分利用双曲线的渐近线，焦点，抛物线的准线等建立 a 与 b 的关系，待定系数法求出 a 与 b.专讲二 圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，主要包含离心率、范围、对称性、渐近线、准线等性质这些性质问题往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起，是高考命题的热点，主要分布在选择题、填空题中正确理解和把握圆锥曲线简单的几何性质并加以灵活的运用，才是解答此类问题的关键题型三 求圆锥曲线的离心率善于构建 a、b、c 的方程例 3 过双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C的离心率为解
5、析 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为ba，又直线 l 过右焦点 F(c，0)，则直线 l 的方程为 yba(xc)因为点 P 的横坐标为 2a，代入双曲线方程得4a2a2 y2b21，化简得 y 3b 或 y 3b(点 P 在 x 轴下方，故舍去)，故点 P 的坐标为(2a，3b)，代入直线方程得 3bba(2ac)，化简可得离心率 eca2 3.答案 2 3求离心率可构建 a 与 b 的方程，求ba，利用椭圆的离心率 e1ba2，双曲线的离心率 e1ba2，也可构建 a 与 c 的方程求ca.例 4 设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A
6、1，A2，过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B，C 两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A12B 22C1D 2解析 选 C.根据两条直线垂直的条件，求出 a，b 之间的关系，进一步求出渐近线的斜率 由题设易知 A1(a，0)，A2(a，0)，Bc，b2a，Cc，b2a.A1BA2C，b2acab2aca1，整理得 ab.渐近线方程为 ybax，即 yx，渐近线的斜率为1.求渐近线一定是要根据双曲线方程，注意 a 与 b 的意义分清虚轴与实轴，一般来说，方程x2a2y2b21 的渐近线为x2a2y2b20.专讲三 直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线相交问题是对解析几何
7、问题的深入与综合，主要是全国各地高考压轴题的热点，解答此类问题既要探究与提炼解决问题的通法，又要掌握不同种类问题的针对性解法题型五 求圆锥曲线的定点定值抓住方程(等式)恒成立例 5 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，点P(0，1)和点 A(m，n)(m0)都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点M.(1)求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标(用 m，n 表示)；(2)设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N.问：y 轴上是否存在点 Q，使得OQMONQ？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说明理由解(1)由题意得b1，c
8、a 22，a2b2c2，解得 a22.故椭圆 C 的方程为x22y21.设 M(xM，0)因为 m0，所以1n1，直线 PA 的方程为 y1n1m x.所以 xM m1n，即 Mm1n，0.(2)因为点 B 与点 A 关于 x 轴对称，所以 B(m，n)设 N(xN，0)，则 xN m1n.“存在点 Q(0，yQ)使得OQMONQ”等价于“存在点Q(0，yQ)使得|OM|OQ|OQ|ON|”，即 yQ 满足 y2Q|xM|xN|.因为 xM m1n，xN m1n，m22 n21，所以 y2Q|xM|xN|m21n22.所以 yQ 2或 yQ 2.故在 y 轴上存在点 Q，使得OQMONQ，且点
9、 Q 的坐标为(0，2)或(0，2)解决定值、定点问题，关键在于准确利用坐标法转化条件，建立目标式子，通过等量关系进行代换找出恒成立的结论，可以先通过特殊性求出定值(为一般情况提供了方向)再对一般情况进行证明题型六 最值与范围问题构建不等式(不等关系)或函数关系例 6(2015高考山东卷)平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，且点3，12 在椭圆 C上(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 E：x24a2 y24b21，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P的直线 ykxm 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点Q.a求|OQ
10、|OP|的值；b求ABQ 面积的最大值解(1)由题意知 3a2 14b21.又 a2b2a 32，解得 a24，b21.所以椭圆 C 的方程为x24y21.(2)由(1)知椭圆 E 的方程为x216y241.a设 P(x0，y0)，|OQ|OP|.由题意知 Q(x0，y0)因为x204y201，又（x0）216（y0）241，即24 x204y20 1，所以 2，即|OQ|OP|2.b设 A(x1，y1)，B(x2，y2)将 ykxm 代入椭圆 E 的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由 0，可得 m2416k2.则有 x1x2 8km14k2，x1x24m21614k2.所以|
11、x1x2|4 16k24m214k2.因为直线 ykxm 与 y 轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB 的面积 S12|m|x1x2|2 16k24m2|m|14k2 2（16k24m2）m214k2 2 4m214k2m214k2.设m214k2t.将 ykxm 代入椭圆 C 的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由 0，可得 m214k2.由可知 0t1，因此 S2（4t）t2 t24t.故 S2 3，当且仅当 t1，即 m214k2 时取得最大值 2 3.由 a 知，ABQ 面积为 3S，所以ABQ 面积的最大值为 6 3.与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题，通常有两类：一类是
12、有关长度或面积的最值或取值范围问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值或取值范围问题，求解时有以下两种解法：1代数法：将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，再求这个函数的最值或取值范围，常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)用函数的值域的求法，确定参数的取值范围 2几何法：若问题的条件和结论能明显地体现曲线的几何
13、特征，则利用图形的性质和数形结合思想来解决最值或取值范围问题题型七 探索存在性问题大胆假设例 8 椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率是 22，点 P(0，1)在短轴 CD 上，且PC PD 1.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设 O 为坐标原点，过点 P的动直线与椭圆交于 A，B 两点是否存在常数，使得OA OB PAPB 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由解：(1)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点 P 的坐标为(0，1)，且PC PD 1，于是1b21，ca 22，a2b2c2.解得 a2，b 2.所以椭圆 E 的方程为x24y22 1.(2
14、)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykx1，A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立x24 y221，ykx1，得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以，x1x24k2k21，x1x222k21.从而，OA OB PAPB x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)1（24）k2（21）2k21 12k212.所以，当 1 时，12k2123.此时，OA OB PAPB3 为定值 当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD.此时，OA OB PAPBOC OD PC PD 213.故存在常数 1，使得OA OB PAPB为定值3.求解探索性问题的方法：处理探索性问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出相符的结论，则存在性随之解决；若导出矛盾，则否定了存在性若证明某结论不存在，也可以采用反证法专题测试
