1、课时达标第54讲解密考纲圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，也是每年高考卷中的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主这些试题的特点就是起点低、难度大，在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对学生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题1(2017山西四校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若2，求直线l的方程解析：(1)设椭圆方程为1(ab0)，因为c1，所以a2，b，所以椭圆方程为1.(2)由题得直线l的斜率存在，设直线l的方程为
2、ykx1，则由得(34k2)x28kx80，且0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由2得x12x2，又所以消去x2得2，解得k2，k，所以直线l的方程为yx1，即x2y20或x2y20.2已知拋物线y22px(p0)，过点C(2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程解析：(1)设l：xmy2，代入y22px，得y22pmy4p0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y24p，则x1x24.因为12，所以x1x2y1y212，即44p12，得p2，抛物线的方程为y24
3、x.(2)(1)中(*)式可化为y24my80，y1y24m，y1y28.设AB的中点为M，则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24，又|AB|y1y2|，由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得m23，m.所以直线l的方程为xy20或xy20.3已知椭圆C：1(ab0)过点，且长轴长等于4.(1)求椭圆C的方程；(2)F1，F2是椭圆C的两个焦点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：ykxm与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若，求k的值解析：(1)由题意，椭圆的长轴长2a4，解得a2.因为点在椭圆上，所以1，解得b23，所以椭圆C的方程为1.(2)由直线l与圆O相
4、切，得1，即m21k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120.由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2kmm2.所以x1x2y1y2.因为m21k2，所以x1x2y1y2.又因为，所以，解得k2，所以k.4已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y24x上相异两点，且满足x1x22.(1)若AB的中垂线经过点P(0,2)，求直线AB的方程；(2)若AB的中垂线交x轴于点M，求AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程解析：(1)根据题意，
5、设AB的中点为Q(1，t)，则kAB.由P，Q两点得线段AB的中垂线的斜率kt2，由(t2)1，得t.直线AB的方程为yx.(2)由(1)知直线AB的方程为yt(x1)，线段AB的中垂线方程为yt(x1)，中垂线交x轴于点M(3，0)，点M到直线AB的距离d.由得4x28x(t22)20，x1x22，x1x2，|AB|x1x2|，S|AB|d.当t2时，S有最大值，此时直线AB的方程为3xy10.5已知椭圆M：1(ab0)，直线ykx(k0)与椭圆M交于A，B两点，直线yx与椭圆M交于C，D两点，椭圆M的离心率为，若弦AC的长的最小值为，求椭圆M的方程解析：可将椭圆方程可化为x22y2a2，联
6、立方程，得可得x2，y2，设O为坐标原点，则|OA|2，同理可得|OC|2.由已知条件可知直线ykx与yx垂直，所以|AC|2|OA|2|OC|2a2a2.当且仅当k1时取等号，所以，即a22，所以椭圆M的方程为y21.6已知椭圆C：1(ab0)的焦距为2，且过点，右焦点为F2.设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围解析：(1)因为焦距为2，所以a2b21.因为椭圆C过点，所以1，故a22，b21，所以椭圆C的方程为y21.(2)由题意知，当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x，此时P(，0)，Q(，
7、0)，又F2(1,0)，得1.当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k(k0)，M(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，y1y22m.得(x1x2)2(y1y2)0，则14mk0，故k，此时，直线PQ斜率为k14m，PQ的直线方程为ym4m，即y4mxm.联立方程组整理得(32m21)x216m2x2m220.设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，所以x3x4，x3x4.于是 (x31)(x41)y3y4x3x4(x3x4)1(4mx3m)(4mx4m)(4m21)(x3x4)(16m21)x3x4m21m21.由于M在椭圆的内部，故0m2.令t32m21,1t29
8、，则 .又1t29，所以1 0，得m2n0，y1y24m，y1y24n.APAQ，0，(x11)(x21)(y12)(y22)0.又x1，x2，(y12)(y22)(y12)(y22)160.(y12)(y22)0或(y12)(y22)160.n2m1或n2m5，0恒成立，n2m5.直线PQ方程为x5m(y2)，直线PQ过定点(5，2)8已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为2(2)(1)求椭圆C的方程；(2)设过点P(1,0)的直线l交C于A，B两点，是否存在x轴上的定点Q，使为定值？若存在，求出定点Q的坐标和的值；若不存在，请说明理由解析：
9、(1)e，ca，又2a2c2(2)，则a2，c，b21，椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0,0)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，将直线方程代入x24y240，整理得(4k21)x28k2x4k240，64k44(4k21)(4k24)48k2160，x1x2，x1x2.QQ(x1x0，y1)(x2x0，y2)(x1x0)(x2x0)y1y2(x1x0)(x2x0)k(x11)k(x21)(k21)x1x2(k2x0)(x1x2)k2x(k21)(k2x0)k2x，要使QQ为定值，则x2x0x4，即x0，此时Q，QQ为定值，且QQ.当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x1，A，B，此时QQ，符合题意，故存在定点Q，使QQ.
