1、2.3 数学归纳法目标定位重点难点1.了解归纳法的原理、证明步骤及变形特点2.会用数学归纳法证明有关数学命题重点：归纳法的原理、证明步骤及变形特点难点：数学归纳法证明有关几何问题、整除问题和归纳猜想的问题1数学归纳法适用于证明一个与_有关的命题2数学归纳法的步骤(1)(归纳奠基)_；(2)(归纳递推)_ _；(3)结论：由(1)(2)可知命题对一切nn0的自然数都成立正整数n证明当n取第一个值n0时命题成立假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立1用数学归纳法证明1aa2an1 1an21a(nN*，a1)，在验证n1成立时，左边所得的项为()A1B1aa2C1aD1aa
2、2a3【答案】B2设 f(n)1121313n1(nN*)，那么 f(n1)f(n)等于()A13n2B 13n13n1C13n113n2D 13n13n113n2【答案】D3用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2B3C5D6【答案】C4利用数学归纳法证明不等式 1121312n1n(n2，nN*)的过程中，由 nk 变到 nk1 时，左边增加了_项.【答案】2k用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明1222n2nn12n16(nN*)【解题探究】按照数学归纳法的步骤进行证明证明：(1)当n1时，左边121，右边11121161，
3、等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即1222k2kk12k16，那么，1222k2(k1)2kk12k16(k1)2kk12k16k126k12k27k66k1k22k36k1k112k116，即当nk1时等式也成立根据(1)和(2)，可知等式对任何nN*都成立用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向nk1证明目标的表达式变形1用数学归纳法证明：当nN*时，(122232)(342452)(2n1)(2n)22n(2n1)2n(n
4、1)(4n3)证明：(1)当n1时，左式12223214，右式12714.等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即(122232)(342452)(2k1)(2k)22k(2k1)2k(k1)(4k3)，则(122232)(342452)(2k1)(2k)22k(2k1)2(2k1)(2k2)2(2k2)(2k3)2k(k1)(4k3)2(k1)(4k212k9)(4k26k2)k(k1)(4k3)2(k1)(6k7)(k1)(4k215k14)(k1)(k2)(4k7)(k1)(k1)14(k1)3说明当nk1时，等式也成立由(1)(2)，可知等式对一切nN*都成立不等式的证明【例2
5、】用数学归纳法证明1n1 1n2 13n 56(n2，nN*)【解题探究】利用数学归纳法证明，从“nk”到“nk1”时要注意项的合并证明：(1)当n2时，左边13141516576056，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时不等式成立，即 1k1 1k2 13k56，则当nk1时，1k111k12 13k13k113k213k3 1k1 1k2 13k13k113k213k31k15613k113k213k3 1k156313k3 1k1 56.当nk1时，不等式也成立由(1)(2)，可知原不等式对一切n2，nN*都成立用数学归纳法证明不等式的关键（1）验证第一个n的值时，要注意n0不
6、一定为1，若nk(k为正整数)，则n0k1.（2）用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前n个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论.（3）用数学归纳法证明不等式，由nk时成立证nk1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.2用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式113 115 112n1 2n12成立证明：(1)当n2时，左边11343，右边 52，左边右边，所以不等式成立(2)假设nk(k2且kN*)时不等式成立，即1
7、13 115 112k1 2k12，那么，当nk1时，113 115 112k1 112k11 2k122k22k1 2k22 2k1 4k28k42 2k1 4k28k32 2k1 2k3 2k12 2k1 2k112，所以当nk1时不等式也成立由(1)和(2)，知对一切大于1的自然数n，原不等式都成立【例3】用数学归纳法证明x2n1y2n1(nN*)能被xy整除【解题探究】利用数学归纳法证明时，要注意“nk”与“nk1”之间项的关系证明：(1)当n1时，x2n1y2n1xy，能被xy整除证明整除问题(2)假设当nk(kN*且k1)时，命题成立，即x2k1y2k1能被xy整除那么当nk1时，
8、x2(k1)1y2(k1)1x2k1y2k1x2k12y2k12x2x2k1y2y2k1x2y2k1x2y2k1x2(x2k1y2k1)y2k1(y2x2)x2k1y2k1能被xy整除，y2x2(yx)(yx)也能被xy整除，当nk1时，x2(k1)1y2(k1)1能被xy整除由(1)(2)，可知原命题成立用数学归纳法证明整除问题时，要注意将式子拆成几部分的和、差或乘积形式，然后分析每一个部分能否整除3用数学归纳法证明62n11(nN*)能被7整除证明：(1)当n1时，62117能被7整除(2)假设当nk(kN*且k1)时，62k11能被7整除那么当nk1时，62(k1)1162k12136(
9、62k11)35.62k11能被7整除，35也能被7整除，当nk1时，62(k1)11能被7整除由(1)(2)，知命题成立【例4】在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*)，其中0.(1)求a2，a3，a4；(2)猜想an的通项公式并加以证明【解题探究】根据条件求出a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式，然后用数学归纳法证明归纳、猜想、证明【解析】(1)由an1ann1(2)2n，将a12代入，得a2a12(2)224.将a224代入，得a3a23(2)22238.将a3238代入，得a4a34(2)233416.(2)由a2，a3，a4对an的通项公式做出猜想：an(n1)n
10、2n.当n1时，a12(11)121成立假设当nk(kN*且k1)时，ak(k1)k2k，则当nk1时，ak1akk1(2)2k(k1)k12kk1(2)2kkk12k1(k1)1k12k1.由此可知，当nk1时，ak1(k1)1k12k1也成立综上可知，an(n1)n2n对任意nN*都成立归纳、猜想、证明的一般环节（1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的基础.（2）归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般结论.（3）证明：对一般结论用数学归纳法进行证明.4(2018年浙江杭州名校月考)已知f(n)1 123 133 143 1n3，g(n)32 12n2，n
11、N*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解：(1)当n1时，f(1)1，g(1)32 1212 1，f(1)g(1)；当n2时，f(2)1 12398，g(2)321222118，f(2)g(2)；当n3时，f(3)1 123 133251216，g(3)321232139，f(3)g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当n1时，不等式显然成立假设当nk(kN*)时不等式成立，即1 123 133 1431k332 12k2，则当nk1时，f(k1)f(k)1k1332 12k21k13.
12、12k12 12k21k13 k32k13 12k2 3k12k13k20，f(k1)3212k12g(k1)由可知，对一切nN*，都有f(n)g(n)成立缺少归纳递推致误【示例】用数学归纳法证明：12 122 123 12n1 12n112n(nN*)【错解】(1)当n1时，左边12，右边11212，等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时，等式成立，即12122123 12k112k112k，那么当nk1时，左边12 122 123 12k1 12k 12k112112k11121 12k1.这就是说，当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)，可知等式对任意nN*都成立【错因分析】从形式
13、上看，会认为以上的证明是正确的，过程是完整的，但实际上以上的证明却是错误的错误的原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当nk1时，式子12 122 123 12k1 12k 12k1的和，而没有利用“归纳假设”，这是在用数学归纳法证题时极易犯的一种错误，要引以为戒【正解】(1)当n1时，左边12，右边11212，等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时，等式成立，有12122123 12k112k112k.那么当nk1时，左边12122123 12k112k 12k1112k 12k11212k1 1 12k1右边这就是说，当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)，可知等式对
14、任何nN*都成立【警示】利用数学归纳法解决数学问题时，一定要利用nk与nk1之间的关系，不能直接使用结论1数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步获得递推的基础，但这不能说明结论的普遍性，第二步获得递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础，只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论因此，完成了一、二步以后，还要做出一个结论2用数学归纳法证明不等式的命题，远比证明恒等式困难得多证明时，一般先由假设使不等式的一边满足“nk1”的形式，另一边要结合不等式的性质，配合不等式的其他证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法等)，使之符合“nk1”时的形式总之，用好假设，抓住关键，理清思路，变换出
15、符合形式的不等式1设 Sk 1k1 1k2 1k3 12k，则 Sk1 为()ASk12k2 BSk12k112k2CSk12k112k2DSk12k212k1【答案】C2(2017年河北石家庄期中)用数列归纳法证明12cos cos 2cos nsinn12 2sin2时，验证n1时，左边式子为()A12 Bcos C12cos Dsin322sin2【答案】C【答案】D3(2017年陕西榆林三模)用数学归纳法证明123n2n4n22，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2Ck14k122D(k21)(k22)(k23)(k1)2【解析】当nk时，等式左端12k2，当nk1时，等式左端12k2(k21)(k22)(k1)2，增加了项(k21)(k22)(k23)(k1)2.故选D4用数学归纳法证明结论：(n1)(n2)(nn)2n12(2n1)(nN*)时，从“k到k1”左边需增乘的代数式为_【答案】2(2k1)【解析】nk时，左边(k1)(k2)(kk)；nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)(k2)(kk)(2k1)(2k2)，显然左边增乘的式子为2k12k2k12(2k1)
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