1、第12讲导数与函数的单调性函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数做一做1下列函数中，为增函数的是()AyByx3x2xCylg|x| Dyx答案：B2函数f(x)exx的单调递增区间是_解析：f(x)exx，f(x)ex1，由f(x)0，得ex10，即x0.答案：(0，) 理清导数与函数单调性的关系(1)f(x)0(或0(或0时为增函数；f(x)1，则g(x)，当x(1，0)时，g(x)0，g(x)为增函数；当x(0，)时，g(x)0，g(x)为减函数所以g(x)
2、g(0)0，即f(x)0，所以在x(1，0)和(0，)时，f(x)0，所以f(x)在区间(1，0)，(0，)上为减函数_求函数的单调区间_(2014高考重庆卷节选)已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx，知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0，5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数规律
3、方法导数法求函数单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0)，(1)当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)(2)当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为._已知函数的单调性求参数的范围(高频考点)利用导数根据函数的单调性(区间)求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考向，常以解答题的形式出现高考对函数单调性的考查主要有以下四个命题角度：(1)根据f(x)在区间A上单调递增(减)，求参数的取值范围；(2)根据
4、f(x)在区间A上存在单调递增(减)区间，求参数的取值范围；(3)根据f(x)在区间A上为单调函数，求参数的取值范围；(4)根据f(x)在区间A上不单调，求参数的取值范围(1)已知函数f(x)2x2axln x在其定义域上不单调，求实数a的取值范围(2)已知函数f(x)x22aln x(a0)若函数f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线斜率为2，求实数a的值；若函数g(x)f(x)在1，2上是减函数，求实数a的取值范围解(1)法一：函数f(x)的定义域为(0，)，因为f(x)2x2axln x，所以f(x)4xa(4x2ax1)由函数f(x)在区间(0，)上不单调可知，f(x)0有两个正解，
5、即4x2ax10有两个正解，设为x1，x2.故有解得a4.所以实数a的取值范围为(4，)法二：函数f(x)的定义域为(0，)，因为f(x)2x2axln x，所以f(x)4xa.若函数f(x)在其定义域上单调递增，则f(x)4xa0在区间(0，)上恒成立故a4x.因为x0，所以4x24(当且仅当4x，即x时取等号)所以此时a的取值范围为(，4若函数f(x)在其定义域上单调递减，则f(x)4xa0在区间(0，)上恒成立，故a4x.因为函数y4x在上单调递减，在上单调递增，所以该函数无最大值所以此时a无解，即函数在其定义域上不可能是单调递减函数综上，若函数在其定义域上不单调，则实数a的取值范围为(
6、4，)(2)对f(x)求导，得f(x)2x，由已知f(2)2，得2，求得a2.对g(x)x22aln x求导，得g(x)2x.由函数g(x)在1，2上是减函数，可得g(x)0在1，2上恒成立，即2x0在1，2上恒成立，即ax2在1，2上恒成立令h(x)x2，当x1，2时，h(x)2x0在上有解，即2ax2x，令g(x)x2x，g(x)g.即a.a的取值范围为.(2)f(x)exln xexaexex，f(1)(1a)e，由(1a)e1，得a2.由知f(x)ex，若f(x)为单调递减函数，则f(x)0，即aln x0，所以aln x.令g(x)ln x(x0)，则g(x)(x0)，由g(x)0，
7、得x1，故g(x)在(0，1上为单调递减函数，在1，)上为单调递增函数，此时g(x)有最小值为g(1)1，但g(x)无最大值故f(x)不可能是单调递减函数若f(x)为单调递增函数，则f(x)0，即aln x0，所以aln x，由上述推理可知此时a1.故实数a的取值范围是(，1方法思想分类讨论思想研究函数的单调性(2015兰州市、张掖市联考)已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性解(1)依题意得g(x)ln xax2bx，则g(x)2axb.由函数g(x)的图
8、象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得：g(1)12ab0，b2a1.(2)由(1)得g(x).函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时，g(x).由g(x)0，得0x1，由g(x)1，即函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当a0时，令g(x)0，得x1或x，若，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1，即0a0，得x或0x1，由g(x)0，得1x，即函数g(x)在(0，1)，上单调递增，在上单调递减；若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0，即函数g(x)在(0，)上单调递增综上可得：当a0时，函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，
9、函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增名师点评(1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法(2)本题求解先分a0和a0两种情况，再比较和1的大小已知函数f(x)4x33tx26t2xt1，xR，其中tR.(1)当t1时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当t0时，求f(x)的单调区间解：(1)当t1时，f(x)4x33x26x，f(0)0，f(x)12x26x6，f(0)6.所以曲线yf(x)在点(0
10、，f(0)处的切线方程为y6x.(2)f(x)12x26tx6t2.令f(x)0，解得xt或x.因为t0，所以分两种情况讨论：若t0，则0，则t.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，t)f(x)f(x)所以f(x)的单调递增区间是(，t)，；f(x)的单调递减区间是.1若函数ycos xax在上是增函数，则实数a的取值范围是()A(，1B(，1C1，) D1，)解析：选D.ysin xa，若函数在上是增函数，则asin x在上恒成立，所以a1，即实数a的取值范围是1，)2若f(x)，eaf(b) Bf(a)f(b)Cf(a)1解析：选A.f(x)，当xe时，f(x)f(b)3
11、(2014高考课标全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1C2，) D1，)解析：选D.由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而00的充要条件是01，f(x)1.由图象可知，当x(，0)(2，)时，00.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)和(2，)故选B.5(2015内蒙古鄂尔多斯模拟)已知a0，函数f(x)(x22ax)ex，若f(x)在1，1上是单调减函数，则a的取值范围是()A0aB.aCa D0a0，所以f(x)在(0，2)上单调递增答案：单调递增7(2015河南省三
12、市调研)若函数f(x)x3x2ax4恰在1，4上单调递减，则实数a的值为_解析：f(x)x3x2ax4，f(x)x23xa，又函数f(x)恰在1，4上单调递减，1，4是f(x)0的两根，a(1)44.答案：48(2015东城期末)若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是_解析：因为f(x)3x212，由f(x)0，得函数的增区间是(，2)及(2，)，由f(x)0，得函数的减区间是(2，2)，由于函数在(k1，k1)上不是单调函数，所以k12k1或k12k1，解得3k1或1k0；当x(1，0)时，f(x)0，故f(x)在R上为增函数1已知函数f(x)(m为
13、常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求m的值；(2)求f(x)的单调区间解：(1)由题意得f(x)，又f(1)0，故m1.(2)由(1)知，f(x).设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，当0x0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0)，当a0时，f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，)；当a0时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0，1)；当a0时，f(x)不是单调函数(2)由(1)得f(2)1，即a2.f(x)2ln x2x3，g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t，3)内总不是单调函数，即g(x)0在区间(t，3)内有变号零点由于g(0)2，当g(t)0，即3t2(m4)t20对任意t1，2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m0，即m，所以m9.