1、20222023第一学期10月月考数学试题 10月8日一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分.其中1-8为单选，9-12为多选.注：多选题少选选对得2分，错选得0分）1. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则m等于（ ）A. 2B. 1C. D. 2已知直线，点，若直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围是（）A，B，C，D，3. 已知直线：与直线：平行，则（ ）A. B. 或C. D. 或4. 已知，若，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 25. 已知直线l的方向向量为，点，在l上，则点到l的距离为（ ）A. B. 4C. D. 6. 如图，长方体中，那么异面直线与所成角的正弦值是
2、（ ）A. B. C. D. 7已知空间向量，满足，则与的夹角为（）ABCD8. 如图所示，在空间四边形中，点在上，且，为中点，则（ ）A. B. C. D. 9. 下列说法中，正确的有（ ）A. 直线必过定点B. 直线在轴上的截距为1C. 直线的倾斜角为D. 点到直线的距离为110(本题5分)给出下列命题，其中正确的有（）A空间任意三个向量都可以作为一个基底B已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底C，是空间中的四个点，若，不能构成空间的一个基底，那么，共面D已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底11已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“
3、切割型直线”的是（）ABCD12. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，则（ ）A. B. 与平面所成角为C. 异面直线与所成角的余弦值为D. 平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为二、 填空题（每题5分，共20分）13. 与向量共线的单位向量是_.14已知，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是_15(本题5分)如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_16. 如图，在长方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为_.三、解答题（共70分）17、(本题10分)在中，.（1）求；（2）若点在上，且，求点的坐标.18(本题12分)已知直线和直线
4、.(1)当m为何值时，直线和平行？(2)当m为何值时，直线和重合？19.(本题12分) 已知直角坐标平面内的两点，.（1）求线段的中垂线所在直线的方程；（2）一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，求反射光线所在的直线方程.20.(本题12分) 如图，在边长为2的正方体中，为的中点.（1）求点与平面的距离；（2）求直线与平面所成角的余弦值.21(本题12分)已知点，向量.(1)若，求实数的值；(2)求向量在向量上上的投影向量.22.(本题12分) 如图，已知直三棱柱中，分别是的中点，点在直线上运动，且（1）证明：无论取何值，总有平面；（2）是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位
5、置，若不存在，请说明理由.答案一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分.其中1-10为单选，11-12为多选.注：多选题少选选对得2分，错选得0分）1. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则m等于（ ）A. 2B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线的斜率公式，由题中条件列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为，所以，解得故选：A.2(本题5分)已知直线，点，若直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围是（）A，B，C，D，【答案】A【解析】【分析】若直线与线段有公共点，由、在直线的两侧（也可以点在直线上），得（）可得结论【详解】若直线与线段有公共点，则
6、、在直线的两侧（也可以点在直线上）.令，则有，即.解得，故选：A.3. 已知直线：与直线：平行，则（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行的等价条件列方程组即可求解.【详解】因为直线：与直线：平行，所以，解得：或，故选：D.4. 已知，若，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】由，然后根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：因为，所以，因为，所以，即，解得，故选：D5. 已知直线l的方向向量为，点，在l上，则点到l的距离为（ ）A. B. 4C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据点P到直线l的距离为，分别计算向量的模长
7、与夹角的正弦值即可.【详解】根据题意，得，又，到直线l的距离为故选：C【点睛】本题考查了空间向量的应用问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目.6. 如图，长方体中，那么异面直线与所成角的正弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出异面直线与所成角，解三角形求得异面直线与所成角的正弦值.【详解】连接，根据长方体的性质可知，所以是异面直线与所成角，依题意，故可设，在三角形中，,所以.故选：C7(本题5分)已知空间向量，满足，则与的夹角为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.【详解】设与的夹角为由，得，两边平方，得，
8、所以，解得，又，所以，故选：C8. 如图所示，在空间四边形中，点在上，且，为中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可【详解】故选：B9. 下列说法中，正确的有（ ）A. 直线必过定点B. 直线在轴上的截距为1C. 直线的倾斜角为D. 点到直线的距离为1【答案】AC【解析】【分析】对A,化简方程令的系数为0求解即可.对B,根据截距的定义辨析即可.对C,求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系辨析即可.对D,利用横纵坐标的差求解即可.【详解】对A,化简得直线,故定点为.故A正确.对B, 在轴上的截距为.故B错误.对C,直线的斜率为,故倾斜角满
9、足,即.故C正确.对D, 因为直线垂直于轴,故到的距离为.故D错误.故选：AC.10(本题5分)给出下列命题，其中正确的有（）A空间任意三个向量都可以作为一个基底B已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底C，是空间中的四个点，若，不能构成空间的一个基底，那么，共面D已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底【答案】BCD【解析】【分析】作为空间中基底的性质，结合各选项的描述判断正误即可.【详解】A：空间中共面的三个向量不能作为基底，故错误；B：向量，即，可平移到一条直线上，它们与其它任何向量都会共面，故不能作为基底，正确；C：，不能构成空间的一个基底，即它们共面，则，共面，正确；D
10、：是空间的一个基底，即它们不共面，由即共面，故与不共面，则是空间的一个基底，正确.故选：BCD11(本题5分)已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（）ABCD【答案】BC【解析】【分析】所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析，分别求出定点到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案.【详解】所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析A因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”；B因为，所以在直线上可以找到两个不同的点，
11、使之到点距离等于，是“切割型直线”；C因为，直线上存在一点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；D因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”故选：BC.12. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，则（ ）A. B. 与平面所成角为C. 异面直线与所成角的余弦值为D. 平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为【答案】AD【解析】【分析】设，则，由余弦定理求出的长，可得，由底面可得，由线面垂直的判断定理和性质定理即可判断选项A；计算即可判断选项B；计算即可判断选项C；建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，计算再结合图形可判断选项D，进而可得正确选项.【详
12、解】对于A，由，及余弦定理得，从而，故.由底面，可得.又，所以平面，故.故A正确.对于B，因为底面，所以就是与平面所成的角，又，所以.故B错误.对于C，显然是异面直线与所成的角，易得.故C错误.对于D，以D为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以，.设平面的一个法向量为，则，即，取，则，此时.设平面的一个法向量为，则，即，取，则，此时，所以，所以平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为.故D正确.故选：AD.三、 填空题（每题5分，共20分）13. 与向量共线的单位向量是_.【答案】或【解析】【分析】求出，然后用除以，得一个单位向量，再求得其相反向量即得
13、【详解】因为，所以与共线的方向向量为所以与向量共线的单位向量为或.故答案为：或.15(本题5分)已知，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是_【答案】【解析】【分析】空间向量的数量积最值问题，利用共线设出Q点坐标，列式求解，利用二次函数求最值即可得到答案.【详解】设，因为，所以，所以点的坐标为.又，所以，所以当时，取最小值，此时点的坐标为.故答案为：.16(本题5分)如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_【答案】4【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系, 设，求出平面的一个法向量，则，则可以得到答案.【详解】解：以为坐标原点
14、，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，故，设平面的一个法向量为，则，可取，故，又直线与平面所成角的正弦值为，解得故答案为：4【点睛】本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.16. 如图，在长方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为_.【答案】【解析】【分析】以D为原点，DC，DA，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，得到A，C，E，F，H各点坐标，由向量可判定平面，则将问题转化为点E到平面的距离，先求得平面的法向量，再根据距离求解即可.【详解】以D为原点，DC，DA，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题，则，因为分别是的中
15、点，所以，则，所以，所以平面，所以点E到平面的距离即为直线到平面的距离，设平面的法向量为，则，因为，所以，取，则，所以是平面的一个法向量，又向量，所以点E到平面的距离为，即直线到平面距离为.故答案为：三、解答题（共70分）17、在中，.（1）求顶点、的坐标；（2）求；（3）若点在上，且，求点的坐标.【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标；（2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值；（3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标.【详解】（1）设点为坐标原点，则.，则；（2），则，又，因此，；（3）设点为坐标原点，则，则，所以
16、，点的坐标为.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.18(本题12分)已知直线和直线.(1)当m为何值时，直线和平行？(2)当m为何值时，直线和重合？【答案】(1)或(2)【解析】【分析】（1）（2）由直线平行与重合的公式列方程组求解.（1）由题意，得，解得或当或时，直线和平行.（2）由题意，得，解得，当时，直线和重合.19. 已知直角坐标平面内的两点，.（1）求线段的中垂线所在直线的方程；（2）一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，求反射光线所在的直线方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出的中点坐标及中垂线的斜率，进而
17、求出方程；（2）求出关于轴对称点的坐标，即可求反射光线所在的直线方程【小问1详解】，中点为.且.线段的中垂线的斜率为1，由直线方程的点斜式可得线段的中垂线所在直线方程为即.【小问2详解】关于轴的对称点，所以直线的方程为：，即反射光线所在的直线方程为20. 如图，在边长为2的正方体中，为的中点.（1）求点与平面的距离；（2）求直线与平面所成角的余弦值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值，从而可求得点与平面的距离；（2）利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值，即可得出答案.【小问1详解】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系
18、，则，则，设平面的法向量为，则有，可取，则，所以直线与平面所成角的正弦值为，所以点与平面的距离为；【小问2详解】解：由（1）得平面的法向量为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为.21已知点，向量.(1)若，求实数的值；(2)求向量在向量上上的投影向量.【答案】(1)(2)【分析】（1）由计算可得；（2）根据投影的定义计算出投影，再乘以同向的单位向量即可得（1），即，得；（2），向量在上的投影为，与同向单位向量为，则向量在向量上上的投影向量为.21. 如图，已知直三棱柱中，分别是的中点，点在直线上运动，且（1）证明：无论取何值，总有平面；（2）是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2）存在，位置满足【解析】【分析】（1）以为坐标原点，所在的直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，计算，可得证；（2）假设存在，由空间向量法求二面角可得【小问1详解】证明：如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，由，可得，所以，又所以，所以，.又，平面，所以平面，所以无论取何值，总有平面.【小问2详解】解：设是平面的法向量，则，即，令，所以是平面的一个法向量，取平面的一个法向量为假设存在符合条件的点，则，化简得，解得或（舍去）.综上，存在点，且当时，满足平面与平面的夹角为.
