1、数学试题（理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间为120分钟，其中第卷22题24题为选考题，其它题为必考题。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题
2、，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1复数满足，则复数在复平面内对应的点在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2设集合,集合，则集合中有_个元素A4 B5 C6 D73下列函数中，在上单调递减，并且是偶函数的是ABC D4观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量之间关系最强的是A B C D5如图所示的程序框图，该算法的功能是A计算的值B计算的值C计算的值第5题图D计算的值6已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为A2 B C D7各角的对应边分别为，满足 ，则角的范围是A B CD8函数的图
3、象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最小值为A BCD9已知实数满足：，则的取值范围是 A BC D10若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为A BCD11已知函数的图象在点与点处的切线互相垂直，并交于点，则点的坐标可能是AB C D12为圆：上任意一点，为圆：上任意一点，中点组成的区域为，在内部任取一点，则该点落在区域上的概率为AB CD第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡
4、中的横线上）.13若，则 14已知函数，则 15若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为 16在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，点满足，且，则线段在轴上的投影长度的最大值为 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17（本小题满分12分）设数列的前项和，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和18（本小题满分分）低碳生活，从“衣食住行”开始在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量（千克）耗电度数，家用天然气的二氧化碳排放量（千克）天然气使用立方数等某
5、校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高一、六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”，否则称为“非低碳家庭”经统计，这两类家庭占各自小区总户数的比例数据如下：东城小区低碳家庭非低碳家庭西城小区低碳家庭非低碳家庭比例比例 （1）如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭，求这个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率； （2）该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义，每周“非低碳家庭”中有的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中宣传两周后随机地从东城小区中任选个家庭，记表示个家庭中“低碳家庭
6、”的个数，求和第19题图19（本小题满分分）如图，直三棱柱中， ，是的中点，是等腰三角形，为的中点，为上一点（1）若平面，求；（2）求直线和平面所成角的余弦值20（本小题满分分）已知抛物线：和：的焦点分别为，交于两点（为坐标原点），且. （1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交的下半部分于点，交的左半部分于点，点坐标为，求面积的最小值.21（本小题满分分）已知函数， （1）若函数的图象在处的切线与轴平行，求的值；（2）若 ， 恒成立，求的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.第22题图22（本小题满分分）选修41：几何证明选讲如图，圆与圆交于两点，
7、以为切点作两圆的切线分别交圆和圆于两点，延长交圆于点，延长交圆于点已知（1）求的长； （2）求23（本小题满分分）选修44：坐标系与参数方程选讲已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线（1）求曲线的普通方程；（2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程24（本小题满分分）选修45：不等式证明选讲已知函数（1）求 的解集；（2）设函数，若对任意的都成立，求的取值范围长春三模理科数学参考答案及评分参考1【答案】 【解析】由得，则复数在复平面内对应的点为，该点在第一象限，故选2【答案】 【解析】，所以，中有6个元素，故选3【答案】 【解析
8、】四个函数中，是偶函数的有，又在内单调递增，故选4【答案】 【解析】在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，四个选项中，即等高的条形图中所占比例相差越大，则分类变量关系越强，故选5【答案】 【解析】初始值，第次进入循环体：，；当第次进入循环体时：，给定正整数，当时，最后一次进入循环体，则有：，退出循环体，输出，故选6【答案】 【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为，即，又，代入得，解得，即，故选7【答案】 【解析】由得：，化简得：，同除以得，即，所以，故选8【答案】 【解析】函数向左平移个单位得，又其为奇函数，故则，解得，又，令，得，又， ，即当时，故选9【答案】 【解析】画
9、出约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令，则，先画出直线，再平移直线，当经过点，时，代入，可知，故选10【答案】 【解析】设圆柱的底面半径为，高为，则，则，则侧，全，故圆柱的侧面积与全面积之比为，故选11【答案】 【解析】由题，则过两点的切线斜率，又切线互相垂直，所以，即.两条切线方程分别为，联立得，代入，解得，故选12【答案】 【解析1】设，中点，则代入，得，化简得：，又表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知轨迹是在以为圆心以为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有，那么在内部任取一点落在内的概率为，故选【解析2】设，则，22得：，所以的轨迹是以原点为圆心
10、，以为半径的圆环，那么在内部任取一点落在内的概率为，故选13【答案】 【解析】,，平方得：，14【答案】【解析】，且，15【答案】【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外切圆，且两圆同圆心，即的内心与外心重合，易得为正三角形，由题意的半径为，的边长为，圆锥的底面半径为，高为，16【答案】【解析】，即，则三点共线，所以与同向，设与轴夹角为，设点坐标为，为点在轴的投影，则在轴上的投影长度为.当且仅当时等号成立则线段在轴上的投影长度的最大值为17 【解析】（1）当时， 2分由，得， 6分（2）当时， 7分当时， 9分+ 11分上式对于也成立，所以 12分18【解析】（1）设事件“个家庭中恰好
11、有两个家庭是低碳家庭”为， 1分则有以下三种情况：“低碳家庭”均来自东城小区，“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区，“低碳家庭”均来自西城小区6分（2）因为东城小区每周有的人加入“低碳家庭”行列，经过两周后，两类家庭占东城小区总家庭数的比例如下：小区低碳家庭非低碳家庭8分由题意，两周后东城小区个家庭中的“低碳家庭”的个数服从二项分布， 即 10分 ， 11分 12分19【解析】法一(1)取中点为，连结，1分 分别为中点 ，四点共面， 3分且平面平面又平面，且平面 为的中点，是的中点， 5分 6分（2）连结， 7分因为三棱柱为直三棱柱，平面，即四边形为矩形，且是的中点，又平面，从而平面 9分是
12、在平面内的射影与平面所成的角为又，直线和平面所成的角即与平面所成的角10分设，且三角形是等腰三角形，则， 直线和平面所成的角的余弦值为 12分法二（1）因为三棱柱为直三棱柱，平面，又以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系. 1分设，又三角形是等腰三角形，所以易得，所以有， 设平面的一个法向量为，则有，即 ，令，有 4分（也可直接证明为平面法向量）设，又，若平面，则，所以有，解得， 6分（2）由（1）可知平面的一个法向量是，求得设直线和平面所成的角为，则， 11分所以直线和平面所成的角的余弦值为 12分20【解析】（1）由已知得：， 1分联立解得或，即， 3分， ，即，解得，的
13、方程为 5分法二设，有，由题意知， 1分， ，有，解得， 3分将其代入式解得，从而求得，所以的方程为 5分（2）设过的直线方程为联立得，联立得 7分 在直线上，设点到直线的距离为，点到直线的距离为则 8分10分 当且仅当时，“”成立，即当过原点直线为时，11分面积取得最小值 12分法二联立得，联立得， 7分从而，点到直线的距离，进而 9分令，有， 11分当，即时，即当过原点直线为时，面积取得最小值 12分21【解析】（1） 2分因为在处切线与轴平行，即在切线斜率为即， 5分（2）， 令，则， 所以在内单调递增，（i）当即时，在内单调递增，要想只需要，解得，从而 8分（ii）当即时，由在内单调递
14、增知，存在唯一使得，有，令解得，令解得，从而对于在处取最小值，又，从而应有，即，解得，由可得，有，综上所述， 12分22【解析】（1）根据弦切角定理，知， ，则，故.5分（2）根据切割线定理，知， 两式相除，得（*）.由，得，又，由（*）得 10分23. 【解析】（1）将 代入 ，得的参数方程为曲线的普通方程为 5分（2）设，又，且中点为所以有： 又点在曲线上，代入的普通方程得动点的轨迹方程为 10分24.【解析】（1）即 或 或解得不等式：；：无解 ：所以的解集为或 5分（2）即的图象恒在图象的上方图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线作函数图象如图,其中，由图可知，要使得的图象恒在图象的上方实数的取值范围为 10分版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()
