1、1函数的单调性与极值11导数与函数的单调性授课提示：对应学生用书第41页一、一般地，在区间(a，b)内，函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f(x)0单调递增f(x)0单调递减f(x)0常数函数二、求函数f(x)的单调区间的步骤1确定f(x)的定义域(a，b)2求f(x)的导数f(x)3令f(x)0(或f(x)0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f(x)0，得x.答案：A3函数f(x)xln x()A在(0,5)上是增函数B在(0,5)上是减函数C在上是减函数，在上是增函数D在上是增函数，在上是减函数解析：由f(x)xln x，可得f(x)ln xxln x1.由f(x)0，可得x
2、；由f(x)0，可得0x0，即f(x)0，f(x)在(0，)内为增函数当x(，0)时，ex10，即f(x)0，f(x)在(，0)内是减函数利用导数证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是证明不等式f(x)0或f(x)0(但不恒等于零)在给定区间上恒成立，这时一般是先将函数的导数求出来，然后对其进行整理、化简、变形，根据不等式的相关知识，在给定区间上判断其取值范围，从而得证 1求下列函数的单调区间，指出其单调性(1)y2xcos x；(2)yx3x.解析：(1)由题意得y2sin x，1sin x1，y0，得x；令y3x210，得x0)，令f(x)0，可得x1.当0x0，f(x)在(0,1)
3、上单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递减综上，f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)探究二已知函数单调性求参数的取值范围典例2已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解析(1)由f(x)x3ax1知f(x)3x2a.f(x)在(，)上是单调增函数，f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR上恒成立3x20，只需a0.又a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，a0.(2)由f(x)3x
4、2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在x(1,1)上恒成立1x1，3x23，只需a3.当a3时，f(x)3x2a在x(1,1)上恒有f(x)0，即f(x)在(1,1)上为减函数故存在实数a3，使f(x)在(1,1)上单调递减关于不等式的恒成立问题，可以转化为求函数的最值问题来研究，如af(x)(xD)得af(x)max(xD)；af(x)(xD)得af(x)min(xD)这种转化思想很重要，要注意掌握 3已知函数f(x)x3(x0，常数aR)(1)当a48时，求f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在2，)上是增函数，求实数a的取值范围解析：(1)当a48时，f(x)x3，f(x)3x
5、2，令f(x)0，得2x0或0x0，即g(x)在2，)上是增函数，g(x)ming(2)48，从而a48，实数a的取值范围是(，484已知函数f(x)x3ax6.(1)若函数f(x)的单调递减区间为(1,1)，求a的值和函数的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1，)上是增加的，求a的取值范围解析：(1)由题意得f(x)3x2a.函数f(x)的一个单调递减区间为(1,1)3x2a0，则x1或xg(1)3.a3.当a3时，f(x)3(x21)，此时函数f(x)在(1，)上增加，a的取值范围是(，3探究三导数研究函数单调性的应用5求下列函数的单调区间：(1)f(x)x32x2x；(2)f(x)x
6、(b0)解析：(1)f(x)3x24x1，令f(x)3x24x10，得x1，因此函数f(x)x32x2x的单调递增区间为和(1，)，令f(x)0，解得x0，即(x)(x)0，得x或x，函数的单调递增区间为(，)和(，)令f(x)0，即(x)(x)0，得x且x0.函数的单调递减区间为(，0)和(0，)6已知xR，求证：exx1.证明：令f(x)exx1，f(x)ex1.x0，)时，ex10恒成立，即f(x)0，f(x)在0，)上是递增的当x(，0)时，f(x)ex10，函数f(x)在(0，)上是增加的当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上是减少的当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上是减少的当a0.设x1，x2(x10，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0，函数f(x)是增加的；x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)是减少的综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上是增加的；当a时，函数f(x)在(0，)上是减少的；当a0时，f(x)在，上是减少的，在上是增加的感悟提高(1)若参数对导函数的正负有影响，需对参数分类讨论，否则不需讨论参数(2)当含多个参数或引起讨论的因素较多时，注意分级讨论.
