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2020-2021学年北师大版数学选修1-1学案:4-1-1 导数与函数的单调性 WORD版含解析.doc

1、1函数的单调性与极值11导数与函数的单调性授课提示:对应学生用书第41页一、一般地,在区间(a,b)内,函数的单调性与导数有如下关系:导数函数的单调性f(x)0单调递增f(x)0单调递减f(x)0常数函数二、求函数f(x)的单调区间的步骤1确定f(x)的定义域(a,b)2求f(x)的导数f(x)3令f(x)0(或f(x)0时,f(x)在相应区间上是增函数;当f(x)0,得x.答案:A3函数f(x)xln x()A在(0,5)上是增函数B在(0,5)上是减函数C在上是减函数,在上是增函数D在上是增函数,在上是减函数解析:由f(x)xln x,可得f(x)ln xxln x1.由f(x)0,可得x

2、;由f(x)0,可得0x0,即f(x)0,f(x)在(0,)内为增函数当x(,0)时,ex10,即f(x)0,f(x)在(,0)内是减函数利用导数证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是证明不等式f(x)0或f(x)0(但不恒等于零)在给定区间上恒成立,这时一般是先将函数的导数求出来,然后对其进行整理、化简、变形,根据不等式的相关知识,在给定区间上判断其取值范围,从而得证 1求下列函数的单调区间,指出其单调性(1)y2xcos x;(2)yx3x.解析:(1)由题意得y2sin x,1sin x1,y0,得x;令y3x210,得x0),令f(x)0,可得x1.当0x0,f(x)在(0,1)

3、上单调递增;当x1时,f(x)0,f(x)在(1,)上单调递减综上,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,)探究二已知函数单调性求参数的取值范围典例2已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使f(x)在(1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由解析(1)由f(x)x3ax1知f(x)3x2a.f(x)在(,)上是单调增函数,f(x)3x2a0在(,)上恒成立,即a3x2对xR上恒成立3x20,只需a0.又a0时,f(x)3x20,f(x)x31在R上是增函数,a0.(2)由f(x)3x

4、2a0在(1,1)上恒成立,得a3x2在x(1,1)上恒成立1x1,3x23,只需a3.当a3时,f(x)3x2a在x(1,1)上恒有f(x)0,即f(x)在(1,1)上为减函数故存在实数a3,使f(x)在(1,1)上单调递减关于不等式的恒成立问题,可以转化为求函数的最值问题来研究,如af(x)(xD)得af(x)max(xD);af(x)(xD)得af(x)min(xD)这种转化思想很重要,要注意掌握 3已知函数f(x)x3(x0,常数aR)(1)当a48时,求f(x)的单调递减区间;(2)若函数f(x)在2,)上是增函数,求实数a的取值范围解析:(1)当a48时,f(x)x3,f(x)3x

5、2,令f(x)0,得2x0或0x0,即g(x)在2,)上是增函数,g(x)ming(2)48,从而a48,实数a的取值范围是(,484已知函数f(x)x3ax6.(1)若函数f(x)的单调递减区间为(1,1),求a的值和函数的单调递增区间;(2)若函数f(x)在(1,)上是增加的,求a的取值范围解析:(1)由题意得f(x)3x2a.函数f(x)的一个单调递减区间为(1,1)3x2a0,则x1或xg(1)3.a3.当a3时,f(x)3(x21),此时函数f(x)在(1,)上增加,a的取值范围是(,3探究三导数研究函数单调性的应用5求下列函数的单调区间:(1)f(x)x32x2x;(2)f(x)x

6、(b0)解析:(1)f(x)3x24x1,令f(x)3x24x10,得x1,因此函数f(x)x32x2x的单调递增区间为和(1,),令f(x)0,解得x0,即(x)(x)0,得x或x,函数的单调递增区间为(,)和(,)令f(x)0,即(x)(x)0,得x且x0.函数的单调递减区间为(,0)和(0,)6已知xR,求证:exx1.证明:令f(x)exx1,f(x)ex1.x0,)时,ex10恒成立,即f(x)0,f(x)在0,)上是递增的当x(,0)时,f(x)ex10,函数f(x)在(0,)上是增加的当a0时,令g(x)ax2(2a2)xa,由于(2a2)24a24(2a1),当a时,0,f(x)0,函数f(x)在(0,)上是减少的当a时,0,g(x)0,f(x)0,函数f(x)在(0,)上是减少的当a0.设x1,x2(x10,所以x(0,x1)时,g(x)0,f(x)0,f(x)0,函数f(x)是增加的;x(x2,)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)是减少的综上可得:当a0时,函数f(x)在(0,)上是增加的;当a时,函数f(x)在(0,)上是减少的;当a0时,f(x)在,上是减少的,在上是增加的感悟提高(1)若参数对导函数的正负有影响,需对参数分类讨论,否则不需讨论参数(2)当含多个参数或引起讨论的因素较多时,注意分级讨论.

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