1、四川省成都市第七中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）1.设，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用特殊值法判断ABC选项，再由指数函数的单调性判断D选项.【详解】对A，B，C选项，当时，不等式，不成立，则A，B，C错误；对D选项，因为函数在上单调递增，所以，则D正确.故选：D【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立，考查了指数函数的单调性，属于中档题.2.直线的倾斜角大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出直线的斜率，可得倾斜角的大小【详解】解：直线，即，故它的斜率为，即倾斜角的正
2、切值为，故直线的倾斜角大小为，故选：【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题3.设、是三个不同平面，是一条直线，下列各组条件中可以推出的有（ ）， ， ， A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直的性质，面面平行的判断定理及性质，以及空间中平面间的位置关系，即可得出结论.【详解】垂直于同一条直线的两个平面平行；因为，所以；故正确；因为，所以与可能平行或相交；故错；平行于同一个平面的两个平面平行；因为，所以；故正确；因为，则与可能平行或相交；故错；故选：A.【点睛】本题主要考查判断面面平行，熟记面面平行的判定定理及性质，以及线面垂直的性质即可，属于常考题型.4.已
3、知，且，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由二倍角的正弦公式化简可得，根据同角三角函数的基本关系求解即可.【详解】,由可知，故选：D【点睛】本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数的基本关系式，属于中档题.5.已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】由题意利用两条直线平行的性质，分类讨论，求得结果【详解】解：当时，直线：即，直线：即，满足当时，直线与直线互相平行，解得实数综上，故选：【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，考查分类讨论思想，属于基础题6.若存在实数满足，则实数的取值范围是（ ）A. B.
4、 C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可知经过不等式组表示的平面区域，作出不等式组的可行域，利用线性规划即可求解.【详解】作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）：由题意可知：经过不等式组表示的可行域，作出直线，平移直线可知，当经过点时，取最小值；经过点时，取得最大值. 由，解得，即，由，解得，即，将两点代入，可得，因为可行域边界是虚线，所以实数的取值范围是.故选：C【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.7.在我国明代数学家“珠算之父”程大位(1533-1606)所著的算法统宗中，有许多用诗歌形式表达的数学问题，如八子分棉歌：“九百九十六斤棉，赠分
5、八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传”则此问题(第八数)的答案为（ ）（单位：斤）A. 150B. 167C. 184D. 201【答案】C【解析】【分析】先由题意，得到这八个人分得棉的斤数构成等差数列，设第八人分得，则该等差数列公差为，根据等差数列的求和公式，列出方程求解，即可得出结果.【详解】根据题意，从第二个人开始，每个人分得的棉都比前一个人多斤，则这八个人分得棉的斤数构成等差数列，设第八人分得，则该等差数列公差为，由八个人共分得斤棉，所以，解得：.故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的简单应用，熟记等差数列的求和公式即可，属于基础题型.8.在中，
6、已知，其中分别是内角的对边，则的形状是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形【答案】A【解析】【分析】先由题意，由降幂公式，得到，根据正弦定理，以及两角和的正弦公式，化简，得到，从而可得出结果.【详解】在中，由得，即，所以，因此，所以，解得，即为直角三角形.故选：A.【点睛】本题考查根据三角恒等变换判定三角形的形状，熟记公式即可，属于基础题型.9.若函数有两个不同零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把函数有两个不同零点转化为与有两个不同的交点，结合图像得出的取值范围即可.【详解】解：函数有两个不同零点等价于有两个不同的
7、根，进而等价于与有两个不同的交点.等价于表示圆心为半径为的上半个圆.直线过定点，根据图像，当直线与半圆相切时，与刚好有一个交点，此时，解得;当直线过点时，与刚好有两个交点，此时，解得.所以，要使与有两个不同的交点，只需.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点问题，考查学生数形结合的思想，属于中档题.10.已知锐角满足，则的最小值为（ ）A. 20B. 18C. 16D. 12【答案】B【解析】【分析】首先由两角和的正弦公式可得，再由基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以因为为锐角，所以，所以当且仅当时取等号，故选：B【点睛】本题考查两角和的正弦公式的应用以及基本不等式的应用，属于中档题
8、.11.已知是等比数列，且，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到，两式相除得到，即，与联立求得结果.【详解】设数列的公比为，且，则，两式相除得，所以，又，所以，故选：A.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.12.在矩形ABCD中，AB=2BC=2，点P在CD边上运动(如图甲)，现以AP为折痕将折起，使得点D在平面ABCP内的射影恰好落在AB边上(如图乙)设二面角D-AP-B的余弦值为，则函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分
9、别取和，计算出二面角D-AP-B的余弦值为和，对比图象得到结果.【详解】当时，作于，连结，因为平面，所以是二面角D-AP-B的平面角，可以求得，所以，所以排除A、B；当时，作于，连结，因为平面，所以是二面角D-AP-B的平面角，可以求得，排除C,故选：D.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有翻折问题，二面角的余弦值，图象的识别，属于中档题目.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知，则_【答案】【解析】【分析】首先由两角差的正切公式求出，再由二倍角正切公式计算可得；【详解】解：因为所以，解得所以故答案为：【点睛】本题考查两角差的正切公式及二倍角的
10、正切公式的应用，属于基础题.14.已知，若数列的前项和，则_【答案】99【解析】【分析】根据对数运算，由裂项相消的方法，先得到，进而可求出结果.【详解】因为，所以，因此，即.故答案为：.【点睛】本题主要考查由数列的前项和求项数的问题，熟记裂项相消的方法即可，属于常考题型.15.长方体中，设为的中点，直线与底面成角，则异面直线与所成角的大小为_【答案】【解析】【分析】连接，根据线面角求出矩形的高，取的中点，连接，作出与异面直线所成角相等的角，在中即可求解.【详解】连接， 由直线与底面成角，则，所以，设，则，所以 所以，所以 取的中点，连接，则，且， 所以平面，即，在中，,所以.故答案为：【点睛】
11、本题考查了求异面直线所成角、线面角，考查了基本运算求解能力与空间想象能力，属于基础题.16.在平面直角坐标系中，已知圆圆与圆的位置关系是_;（选填：相离，外切，相交，内切或内含）记圆与直线和分别交于、和、四点，当变化时，凸四边形面积的最大值是_【答案】 (1). 相交 (2). 3【解析】【分析】根据两圆的方程分别得到两圆的圆心与半径，求出圆心距与半径之和比较，即可得出结果；先判断，得到的对角线相互垂直，根据点到直线距离公式，分别求出圆心到两直线的距离，再由几何法得到弦长，根据，即可求出结果.【详解】因为圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，所以，因此两圆相交；因为的斜率为，的斜率为，所以，
12、即，因此的对角线相互垂直，又圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，因此，所以四边形的面积为，因为，（其中），因为，所以，因此，令，则.故答案为：相交；3.【点睛】本题主要考查判断两圆位置关系，以及求圆中四边形面积的最值问题，熟记两圆位置关系的判断方法，以及圆的弦长的求法即可，属于常考题型.三、解答题：本题共 6 小题，70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数，其中（1）若，求角的大小;（2）当时，求的最大值【答案】(1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角函数的倍角公式进行转化，解方程即可（2）当时，利用两角和差的三角公式进行化简，结合辅助角公式进行求解即可【详解】解
13、：（1）若，则若，即，得或，（2）当时，则的最大值为，即【点睛】本题主要考查三角函数值的计算以及三角函数最值的求解，结合两角和差的三角公式以及辅助角公式是解决本题的关键，属于中档题18.如图，在四棱锥中，已知底面是菱形（1）若，求证：平面面；（2）设为的中点，且，求证：平面，并求平面与棱的交点的位置【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析，为PC中点.【解析】【分析】（1）连接OP，可得BDAC , BDPO，然后证明BD平面PAC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PAC平面PBD；（2）根据平行线分线段成比例可得，即可证明线面平行，取PC中点利用平行可证与重合【详解】（1）设AC交BD于
14、点O ,连结,如图，因为底面ABCD为姜形，所以BDAC，O为BD中点因为PB= PD所以BDPO，又所以BD平面PAC.因为BD平面PBD,所以平面PAC平面PBD（2）设,连接MG，如图，则为三角形ABC的重心，所以,又，所以,故,因为平面，平面，所以平面.取中点，连接，因为,又，所以,可知平面，所以即为平面与棱的交点，故与重合，可知是的中点.【点睛】本题主要考查了线面垂直、面面垂直的证明，线线平行、线面平行的证明，平面的基本性质，属于中档题.19.如图，海面上一走私船正以每小时 15 海里的速度沿方位角120方向航行，距离走私船18 海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为，并即刻以每小
15、时 21 海里的速度径直追赶（1）求缉私艇追上走私船所需的最短时间;（2）求缉私艇用时最短的追赶方向(方位角)的余弦值【答案】（1）2小时；（2）.【解析】【分析】（1）设缉私艇追上走私船的最短时间为小时，利用余弦定理列方程求出的值；（2）利用余弦定理和两角和的余弦值，即可求出缉私艇用时最短的追赶方向（方位角的余弦值【详解】解：（1）如下图所示，在点处缉私舰赶上走私舰在中，设缉私艇追上走私船的最短时间为小时，则；即，化简得，解得或（不合题意，舍去）；所以缉私艇追上走私船所需的最短时间是2小时；（2）中，所以，所以，所以缉私艇用时最短的追赶方向（方位角的余弦值是【点睛】本题考查了解三角的应用问题
16、，也考查了运算求解能力，属于中档题20.已知定义在上的函数，其中为常数（1）求解关于的不等式的解集；（2）若是与的等差中项，求的取值范围【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）不等式转化为，然后分类讨论解不等式；（2）由条件转化为，再转化为关于的一元二次不等式.【详解】（1），整理为，当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是;（2）由条件可知，即，即， ，即，解得：，所以的范围是.【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，基本不等式，重点考查转化与化归的思想，讨论的思想，计算能力，属于基础题型.21.已知数列的前项和满足（1）求数列的通项公式；（2）设点列都
17、在函数的图象上，依次连结形成折线记折线对应的函数为，求不等式组所表示的平面区域的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根据与的关系，分两步，当时，求得，当时，得，所以数列是等比数列，即可求得数列的通项公式；根据都在函数的图象上得点，再根据题意表示出形成的平面区域由个不同的梯形构成，再计算出第个梯形面积为：，之后利用错位相减法求和即可.【详解】解：（1）当时，得 当时，两式做差得：，即：，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以： ；（2）因为都在函数图象上，所以，即：，此时形成的平面区域由个不同的梯形构成，且第个梯形面积为：，所以不等式组所表示的平面区域的面积为数列的前项和.所以令，两边
18、同乘得，做差整理得：整理得： .即不等式组所表示的平面区域的面积为 .【点睛】本题主要考查根据与的关系求解数列的通项公式，错位相减法求数列的前项和，难点在于将形成的平面区域面积用关于的表达式表示，是中档题.22.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上（1）求圆的方程；（2）设是圆的两条切线，其中为切点若点在直线上运动，求证：直线经过定点；若点在曲线（其中）上运动，记直线与轴的交点分别为 ， 求面积的最小值【答案】（1）；（2）证明见解析；32.【解析】【分析】（1）由题可设圆心坐标为，则根据圆经过坐标原点和点得，再根据两点间的距离公式列式解得圆心为，半径为，即可得方程；（2）根据题意设，再根据
19、题意知在以为直径的圆上，此时再写出以为直径的圆的方程，又因为是两圆的公共弦，所以两圆方程做差求得弦的方程即可解决；设，过的与圆相切的直线斜率为，写出切线方程，再根据直线与圆相切得关于的一元二次方程，不妨记直线的斜率为，直线的斜率为，利用韦达定理得与关系，另一方面，写出，方程，令得，再求出，表示出面积，再根据函数的性质求解面积最值即可.【详解】解：（1）因为圆心在直线上，故设圆心坐标为，又因为圆经过坐标原点和点，所以，即，解得：，所以圆心为，半径为，所以圆方程为：；（2）因为点在直线上运动，故设，又因为是圆的两条切线，其中为切点，故连接，如图所以，所以在以为直径的圆上，所以的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为：，化简得：，所以是两圆的公共弦，故两圆方程做差得弦的方程：，整理得：，所以直线经过定点；设点，设过的与圆相切的直线斜率为，切线方程为：， 圆心到切线的距离，整理得： 由题知： 即：，整理得：， 不妨记直线的斜率为，直线的斜率为所以有，令得， ，令，则 【点睛】本题考查圆的方程的求解，直线与圆的位置关系等知识点，考查数学运算能力.
