1、每日一题规范练(第一周)题目1(本小题满分12分)(2017北京卷)在ABC中,A60,ca.KS5UKS5U(1)求sin C的值;(2)若a7,求ABC的面积解:(1)根据正弦定理得,所以sin Csin 60.(2)当a7时,ca3.因为sin C,ca,所以cos C.在ABC中,sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C,所以SABCacsin B736.题目2(本小题满分12分)已知an是等差数列,bn是各项均为正数的等比数列,且b1a11,b3a4,b1b2b3a3a4.(导学号 55410152)(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn
2、anbn,求数列cn的前n项和Tn.解:(1)设数列an的公差为d,bn的公比为q,依题意得解得d1,q2.所以an1(n1)n,bn12n12n1.(2)由(1)知cnanbnn2n1,则Tn120221322n2n12Tn121222(n1)2n1n2n得:Tn121222n1n2nn2n(1n)2n1.所以Tn(n1)2n1.题目3(本小题满分12分)如图,在四棱锥PABCD中,AP平面PCD,ADBC,ABBCAD,E,F分别为线段AD,PC的中点(1)求证:AP平面BEF;(2)求证:BE平面PAC.证明:(1)设ACBEO,连接OF,EC.由于E为AD的中点,ABBCAD,ADBC
3、,所以AEBC,AEABBC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点又F为PC的中点,因此在PAC中,可得APOF.又OF平面BEF,AP平面BEF.所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC,EDBC.所以四边形BCDE为平行四边形,因此BECD.又AP平面PCD,所以APCD,因此APBE.因为四边形ABCE为菱形,所以BEAC.又APACA,AP,AC平面PAC,所以BE平面PAC.题目4(本小题满分12分)空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数,参与空气质量评价的主要污染物为SO2、NO2、PM10、PM2.5、Q3、CO
4、等六项空气质量按照AQI大小分为六级:一级050为优;二级51100为良好;三级101150为轻度污染;四级151200为中度污染;五级201300为重度污染;六级300为严重污染某人根据环境监测总站公布的数据记录了某地某月连续10天AQI的茎叶图如图所示:(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI100)的天数(按这个月总共30天计算);(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI100)的这些天中,随机地抽取三天深入分析各种污染指标,求这三天的空气质量等级互不相同的概率解:(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为1,空气质量良好的天数为4,故该样本中空气质量优良的频率为,估计该月空
5、气质量优良的频率,从而估计该月空气质量优良的天数为3015.(2)该样本中轻度污染共3天,分别记为A,B,C;中度污染1天,记为y;重度污染1天,记为z,从中随机抽取三天的所有可能结果表示为:(A,B,C),(A,B,y),(A,B,z),(A,C,y),(A,C,z),(B,C,y),(B,C,z),(A,y,z),(B,y,z),(C, y,z),共10个;其中空气质量互不相同的结果有:(A,y,z),(B,y,z),(C,y,z),共3个所以这三天的空气质量等级互不相同的概率为.题目5(本小题满分12分)设f(x)ex(ln xa)(e是自然对数的底数,e2.71 828)(1)若yf(
6、x)在x1处的切线方程为y2exb,求a,b的值;(2)若函数f(x)在区间上单调递减,求a的取值范围解:(1)因为f(x)ex(ln xa)exex,所以由题意,得f(1)e(1a)2e,解得a1.所以f(1)e(ln 1a)e,KS5UKS5UKS5U由切点(1,e)在切线y2exb上,得e2eb,be,故a1,be.(2)由题意可得f(x)ex0在上恒成立因为ex0,所以只需ln xa0,即aln x在上恒成立令g(x)ln x.因为g(x),由g(x)0,得x1.x(1,e)g(x)g(x)gln ee1,g(e)1,因为e11,所以g(x)maxge1,故ae1.故实数a的取值范围是
7、e1,)题目6(本小题满分12分)(2017浙江卷)如图,已知抛物线x2y,点A,B,抛物线上的点P(x,y),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(导学号 55410153)(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值解:(1)由题意得P(x,x2),x.设直线AP的斜率为k,故kx(1,1),故直线AP斜率的取值范围为(1,1)(2)由(1)知P(x,x2),x,KS5UKS5U则直线AP的方程为:ykxk,直线BQ的方程为:yx,联立直线AP与BQ的方程点Q的横坐标是xQ,因为|PA|(k1),|PQ|(xQx),所以|PA|PQ|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(
8、k1)3,因为f(k)(4k2)(k1)2,当k时,f(k)0;当k时,f(k)0,所以f(k)在区间上单调递增,上单调递减因此当k时,|PA|PQ|取得最大值.题目7在下面两题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目如果多做,则按所做第一个题目计分1(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),若以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin24cos 0.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;KS5UKS5U(2)已知直线l与曲线C交于A,B两点,设M(2,0),求的值解:(1)直线l的参数方程为(t为参数),消
9、去参数,得普通方程y(x2)曲线C的极坐标方程为sin24cos 0,直角坐标方程为y24x.(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入y24x,整理可得3t28t320,设A、B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2,t1t2.所以.2(本小题满分10分)设函数f(x)|2x3|2xa|,aR.(1)若不等式f(x)5的解集非空,求实数a的取值范围;(2)若函数yf(x)的图象关于点对称,求实数a的值解:(1)|2x3|2xa|2x32xa|3a|,因为不等式f(x)5的解集非空,所以|3a|5,所以a8或a2.(2)因为函数yf(x)的图象关于点对称,所以ff0,KS5UKS5U所以|2x2|2x1a|2x2|2x1a|0,由于对任意x为实数均成立,所以a1.