1、每日一题规范练(第一周)题目1(本小题满分12分)(2017北京卷)在ABC中，A60，ca.KS5UKS5U(1)求sin C的值；(2)若a7，求ABC的面积解：(1)根据正弦定理得，所以sin Csin 60.(2)当a7时，ca3.因为sin C，ca，所以cos C.在ABC中，sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以SABCacsin B736.题目2(本小题满分12分)已知an是等差数列，bn是各项均为正数的等比数列，且b1a11，b3a4，b1b2b3a3a4.(导学号 55410152)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn
2、anbn，求数列cn的前n项和Tn.解：(1)设数列an的公差为d，bn的公比为q，依题意得解得d1，q2.所以an1(n1)n，bn12n12n1.(2)由(1)知cnanbnn2n1，则Tn120221322n2n12Tn121222(n1)2n1n2n得：Tn121222n1n2nn2n(1n)2n1.所以Tn(n1)2n1.题目3(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PC的中点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC.证明：(1)设ACBEO，连接OF，EC.由于E为AD的中点，ABBCAD，ADBC
3、，所以AEBC，AEABBC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点又F为PC的中点，因此在PAC中，可得APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF.所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC，EDBC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BECD.又AP平面PCD，所以APCD，因此APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.题目4(本小题满分12分)空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，参与空气质量评价的主要污染物为SO2、NO2、PM10、PM2.5、Q3、CO
4、等六项空气质量按照AQI大小分为六级：一级050为优；二级51100为良好；三级101150为轻度污染；四级151200为中度污染；五级201300为重度污染；六级300为严重污染某人根据环境监测总站公布的数据记录了某地某月连续10天AQI的茎叶图如图所示：(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI100)的天数(按这个月总共30天计算)；(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI100)的这些天中，随机地抽取三天深入分析各种污染指标，求这三天的空气质量等级互不相同的概率解：(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良好的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为，估计该月空
5、气质量优良的频率，从而估计该月空气质量优良的天数为3015.(2)该样本中轻度污染共3天，分别记为A，B，C；中度污染1天，记为y；重度污染1天，记为z，从中随机抽取三天的所有可能结果表示为：(A，B，C)，(A，B，y)，(A，B，z)，(A，C，y)，(A，C，z)，(B，C，y)，(B，C，z)，(A，y，z)，(B，y，z)，(C， y，z)，共10个；其中空气质量互不相同的结果有：(A，y，z)，(B，y，z)，(C，y，z)，共3个所以这三天的空气质量等级互不相同的概率为.题目5(本小题满分12分)设f(x)ex(ln xa)(e是自然对数的底数，e2.71 828)(1)若yf(
6、x)在x1处的切线方程为y2exb，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间上单调递减，求a的取值范围解：(1)因为f(x)ex(ln xa)exex，所以由题意，得f(1)e(1a)2e，解得a1.所以f(1)e(ln 1a)e，KS5UKS5UKS5U由切点(1，e)在切线y2exb上，得e2eb，be，故a1，be.(2)由题意可得f(x)ex0在上恒成立因为ex0，所以只需ln xa0，即aln x在上恒成立令g(x)ln x.因为g(x)，由g(x)0，得x1.x(1，e)g(x)g(x)gln ee1，g(e)1，因为e11，所以g(x)maxge1，故ae1.故实数a的取值范围是
7、e1，)题目6(本小题满分12分)(2017浙江卷)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(导学号 55410153)(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解：(1)由题意得P(x，x2)，x.设直线AP的斜率为k，故kx(1，1)，故直线AP斜率的取值范围为(1，1)(2)由(1)知P(x，x2)，x，KS5UKS5U则直线AP的方程为：ykxk，直线BQ的方程为：yx，联立直线AP与BQ的方程点Q的横坐标是xQ，因为|PA|(k1)，|PQ|(xQx)，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(
8、k1)3，因为f(k)(4k2)(k1)2，当k时，f(k)0；当k时，f(k)0，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减因此当k时，|PA|PQ|取得最大值.题目7在下面两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分1(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos 0.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；KS5UKS5U(2)已知直线l与曲线C交于A，B两点，设M(2，0)，求的值解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，消
9、去参数，得普通方程y(x2)曲线C的极坐标方程为sin24cos 0，直角坐标方程为y24x.(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入y24x，整理可得3t28t320，设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，t1t2.所以.2(本小题满分10分)设函数f(x)|2x3|2xa|，aR.(1)若不等式f(x)5的解集非空，求实数a的取值范围；(2)若函数yf(x)的图象关于点对称，求实数a的值解：(1)|2x3|2xa|2x32xa|3a|，因为不等式f(x)5的解集非空，所以|3a|5，所以a8或a2.(2)因为函数yf(x)的图象关于点对称，所以ff0，KS5UKS5U所以|2x2|2x1a|2x2|2x1a|0，由于对任意x为实数均成立，所以a1.