1、1钦州市大寺中学2 0 2 0 届高三毕业班数学模拟练习理 7 一选择题1.已知集合|1Ax x，|21xBx，则（）A|0ABx xB|1ABx xC|1ABx xD ABR2.已知复数 z 满足262zzi（i 是虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.已知向量1,2a，1,bx，若/ab，则 b （）A.52B.52C.5D.54.已知一个圆锥的母线长为 4，且其侧面积是其轴截面面积的 4 倍，则该圆锥的高为（）A.B.32C.23D.25.已知等差数列 na的前 n 项和为nS，若888Sa，则公差 d 等于()A.14B
2、.12C.1D.26.已知函数 sincos0,02f xxx的最小正周期为，且 fxf x，则（）A f x 在3,44内单调递减B f x 在 0,2内单调递减C f x 在3,44内单调递增D f x 在 0,2内单调递增7.921 2xxx的展开式中3x 的系数为（）A.162 B.126 C.8 D.08.若点(m，n)在函数 f(x)13x3x(x0)的图象上，则 nm2 2的最小值是()A.13B23C.2 23D2 29.若函数()sin2xxf xeex，则满足2(21)()0fxf x的 x 的取值范围为（）A1(1,)2B1(,1)(,)2 C1(,1)2D1(,)(1,
3、)2 10.函数 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)xex，则曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为()A2exye0 B2exye0C2exy3e0 D2exy3e0211.已知1F、2F 是双曲线222210,0 xyabab的两焦点，以线段12F F 为一直角边作等腰直角三角形12MF F，若另一直角边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.21 B.31 C.312 D.51212 设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为9 3，则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为（）A12 3B18 3C24 3D54 3二填空题13.某厂
4、在生产甲产品的过程中，产量 x(吨)与生产能耗 y(吨)的对应数据如下表：x30405060y25354045根据最小二乘法求得回归直线方程为y0.65xa.当产量为 80 吨时，预计需要生产能耗为_吨14.若直线 l：ykx1 被圆 C：x2y22x30 截得的弦最短，则直线 l 的方程是_15.已知抛物线 y212x 的焦点为 F，过点 P（2，1）的直线 l 与该抛物线交于 A，B 两点，且点 P 恰好为线段 AB 的中点，则|AF|+|BF|_.16.设函数 f(x)x1，x0，2x，x0，则满足 f(x)f(x12)1 的 x 的取值范围是_三解答题17.下图是某市 3 月 1 日至
5、 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天（1）求此人到达当日空气重度污染的概率（2）设 X 是此人停留期间空气质量优良的 天数，求 X 的分布列与数学期望.318.ABC 的内角,A B C 对边分别为,a b c，2coscos0acBbC.（1）求 B；（2）若2,cB的角平分线1BD ，求 ABC 的面积ABCS.19.如图，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上异于 A，B 的一个动点，DC 垂直于圆 O 所在的平面，DCE
6、B，DCEB1，AB4.(1)求证：DE平面 ACD；(2)若 ACBC，求平面 AED 与平面 ABE 所成的锐二面角的余弦值20.已知椭圆 C：22221xyab（ab0）若 A(0，3)，B(3，32)，P(3，32)，Q(3，1)四点中有且仅有三点在椭面 C 上（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 O 为坐标原点，F 为椭圆 C 的右焦点，过点 F 的直线 l 分别与椭圆 C 交于 M，N两点，D(4，0)，求证：直线 DM，DN 关于 x 轴对称421.已知函数()ln(0)axf xebxb a，若曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为22(21)20exye.（I）求
7、实数 a、b 的值；（II）证明：()3 ln2f x .22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为1,1xttytt （t 为参数）.以坐标原 点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2 2.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标.23.已知 a，b，c 为正数，且满足1abc.证明：（1）13abbcac；（2）11110abcabc 5钦州市大寺中学2 0 2 0 届高三毕业班数学模拟练习理 7参考答案 一选择题1234567891011121.【详解】1Bx，|0 x x，|1A
8、Bx x，|0ABx x故选 B2.【详解】设(,)zabi a bR，则2()2()362zzabiabiabii，362ab ，22ab，即22zi，对应点为(2,2)，在第一象限.故选：A 3.【详解】/ab，12(1)0 x ，2x ，22(1)(2)5b 故选：C 4.【详解】不妨设圆锥的底面半径为 r，母线长为l，高为h，根据题意，则1422rhrl，所以4hl，解得 h.故选：A.5.【详解】888Sa，1288aaaa，17747207aaaS，40a.又由844aad，得8480244aad.故选:D.6.【解析】1sincos=sin 222f xxxx因为 f x 最小正
9、周期为，22T，得1 因为 fxf x，所以 f x 为偶函数，所以2,2kkZ，而02，所以4 即 11sin 2cos2222f xxx根据四个选项，可知 B 项正确.7.【详解】999221 21 21 2xxxxxxx，所以921 2xxx的展开式中3x 的系数为27899C2C2162故选：A.8.解析：点(m，n)在函数 f(x)13x3x(x0)的图象上，n13m3m，则 nm2 213m32m2 2.令 g(m)13m32m2 2(m0)，则 g(m)m22，可得 g(m)在(0，2)递减，在(2，)递增，g(m)的最小值是 g(2)2 23.故选：C 69.【解析】函数 si
10、n2xxf xeex，定义域为 R，且满足sin2xxfxeex sin2xxeexf x ，f x 为 R 上的奇函数；又 2cos222 cos20 xxfxeexxx恒成立，f x 为 R 上的单调增函数；又 2210fxf x，得 221fxf xfx，221xx ，即2210 xx，解得1x 或12x，所以 x 的取值范围是1,1,2 故选 B。10.解析：函数 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)xex，可得 f(x)f(x)，即有 x0 时，f(x)xex，导数为 f(x)(exxex)，可得 f(x)在 x1 处切线的斜率为2e，切点为(1，e)，即有曲线 yf(x)在 x
11、1 处的切线方程为 ye2e(x1)，即为 2exye0.11.【详解】根据题意，作图如下：因为12F F M 为等腰直角三角形，不妨设12,0,0FcF c，则容易得,2M cc，则2MF 中点坐标为,c c.将其代入双曲线方程可得：22221ccab，整理得22caac，则210ee ，解得152e，或152e(舍).故双曲线离心率为152.故选：D.12 详解：如图所示，点 M 为三角形 ABC 的中心，E 为 AC 中点，当 DM 平面 ABC 时，三棱锥 DABC体积最 大此时，4ODOBR，239 34ABCSAB，6AB，点 M 为三角形 ABC 的心22 33BMBE，7Rt
12、OMB中，有222OMOBBM，426DMODOMmax1 9 3 618 33D ABCV 二填空题：13解析：由题意知，x 45，y 36.25，代入到直线方程y0.65xa中，解得a7，所以回归直线方程为y0.65x7，把 x80 代入上式，得y0.6580759.14【解析】依题意，直线 l：ykx1 过定点 P(0,1)圆 C：x2y22x30 化为标准方程为(x1)2y24.故圆心为 C(1,0)，半径为 r2.则易知定点 P(0,1)在圆内由圆的性质可知当 PCl 时，直线 l：ykx1 被圆 C：x2y22x30 截得的弦最短 因为 kPC10011，所以直线 l 的斜率 k1
13、，即直线 l 的方程是 xy10.15【详解】设 A（x1，y1），B（x2，y2），P（2，1）是 AB 中点，122xx 2，即 x1+x24.F（3，0）是抛物线 y212x 的焦点，|AF|x1+3，|BF|x2+3，则|AF|+|BF|x1+x2+3+310，16解析 由题意 g(x)f(x)fx12 2x32，x0，2xx12，012，函数 g(x)在三段区间(，0，0，12，12，内均单调递增又 g(x)在(，)上连续，且 g14 1，可知 x 的取值范围是14，.三解答题17解：（1）记事件 Ai第 i 天到达(i=1,2,3，,13),设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染
14、”，则 B=A5A8，2 分 所以 5858213P BP AAP AP A.3 分（2）由题意知，X 的所有可能取的值为 0,1,2，且 8367111P XP AAAA36711413P AP AP AP A5 分 1212131212134213P XP AAAAP AP AP AP A;7 分 5011213P XP XP X,9 分 所以 X 的分布列为 10 分 X 的期望为5441201213131313EX .12 分 18【详解】（1）由题意，在 ABC 中，因为2coscos0acBbC，由正弦定理，可得2sinsincossincos0ACBBC，所以2sincossin
15、cossincos0ABCBBC，即2sincossin0ABBC.因为 ABC，可得sinsinBCA，所以2sincossin0ABA.因为 A 为三角形内角，可得sin0A，所以1cos2B ，又因为(0,)B，所以23B.（2）在 ABC 中，BD 为角 B 的角平分线，23B，3ABD，在ABD中，,2,13 AABDBBD，由余弦定理可2222212cos212 2 132ADABBDABBDABD ，所以3AD，可得222ABBDAD，所以ABD为直角三角形.即 BDAC，故 ABC 为等腰三角形，22 3ACAD，所以11 1 2 3322ABCASBDC.19解：(1)DC平
16、面 ABC，BC平面 ABC，DCBC，又 AB 是O 的直径，C 是O 上异于 A，B 的点，ACBC，又 ACDCC，AC，DC平面 ACD，BC平面 ACD，又 DCEB，DCEB，四边形 BCDE 是平行四边形，X 0 1 2 P 413 413 513 9DEBC，DE平面 ACD(2)在 RtACB 中，AB4，ACBC，ACBC2 2，如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系，则 A(2 2，0,0)，D(0,0,1)，B(0,2 2，0)，E(0,2 2，1)，AD(2 2，0,1)，DE(0,2 2，0)，AB(2 2，2 2，0)，BE(0,0,1).设平面 ADE 的一个法
17、向量为 n1(x1，y1，z1)，cosn1n2 n1n2|n1|n2|13 2 26.平面 AED 与平面 ABE 所成的锐二面角的余弦值为 26.12 分1021（1）ln(0)axf xeb xb x，axbfxaex，又由题意得 211fe，2 121fe，所以 221121 2aaebeaebe，所以 12可得，213aaee，构造函数 213(0)xg xxee x，则 2xgxxe在区间0,内恒大于 0，所以 g x 在区间0,内单调递增，又 20g，所以关于 a 的方程213aaee的根为2a，把2a 代入21aebe，解得1b ，所以2a，1b .（2）证明：由（1）知 2l
18、n1xf xex，则 212xfxex，因为 212xfxex在区间0,单调递增，0.10f，10f，所以 0fx 有唯一实根，记为0 x，即020112xex，所以010,2x，由02012xex得0201lnln 2xex，整理得00ln2ln2xx，因为00,xx时，0fx，函数 f x 单调递减，0,xx 时，0fx，函数 f x 单调递增，所以 02000min01ln12ln2 13ln22xf xf xexxx ，当且仅当00122xx，即012x 时取等号，因为010,2x，所以 min3 ln2f x，即 3 ln2f x .22（1）由题意，将1xtt 与1ytt 两式平方
19、相减可得224xy .因为cos,sin,xy所以2222cossin4 ，11即曲线1C 的极坐标方程为2 cos24 .3 分将曲线2C 的极坐标方程2 2 化为直角坐标方程为228xy.5 分（2）由题意得2 cos24,2 2,，故1cos22 ，.6 分 所以223 或 43 或 83 或 3，即3 或 23 或 43 或 53所以两曲线交点的极坐标为 2 2,3，22 2,3，2 2,3，2 2,3.10 分23.【详解】（1）1abc，2222()2221abcabcabbcac，又由均值不等式，得222abab，222bcbc，222acac，则222222222222abbcacabcabbcac，3()1abbcac，即13abbcac得证；（2）a，b，0c，1abc，1a，1b，10c，则1111abcabcabcabcabcabc 4bacabcabaccb，又由均值不等式得22babaabab，同理可得2caac，2bccb，则1114610abcabc，当且仅当13abc时等号成立，得证.
