1、第9讲函数与方程1函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个3.二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法做一做1若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是()A0，2B0，C0， D2，解析：选C.2a
2、b0，g(x)2ax2axax(2x1)零点为0和.2函数yf(x)在区间(2，4)上连续，验证f(2)f(4)0，取区间(2，4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0所在的区间为_答案：(2，3) 1辨明三个易误点(1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标(2)连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，但不是必要条件(3)精确度不是近似值2会用判断函数零点个数的三种方法(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数
3、在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，f(2)3120，f(4)log2420，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点答案C规律方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断1.(1)(2015广东揭阳联考)下列说法，正确的是()A对于函数f(x)，因为f(1)f(1)0，所以函数f(x)在区间(1，2)内没有零点C对于函数f(x)x33x23x1，因为f(0)f(2)0，所以函数f(x)在区间(0，2)内必有零点
4、D对于函数f(x)x33x22x，因为f(1)f(3)0，所以函数f(x)在区间(1，3)内有唯一零点(2)(2013高考重庆卷)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内解析：(1)选C.由函数f(x)的图象可知在区间(1，1)内无零点，故A错；令f(x)x2x0，可得x0或x1，故f(x)在区间(1，2)内有两个零点，B错；函数f(x)x33x23x1的图象在区间(0，2)内连续，且f(0)f(2)0，所以在区间(0，2)内必有零点，C正
5、确；由x33x22x0，解得x0，x1或x2，即函数f(x)在区间(1，3)内有三个零点，D错故选C.(2)选A.f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，ab0，f(b)0，f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内_函数零点个数的问题(高频考点)_函数零点个数问题是高考命题的一个高频考点，常与函数的图象与性质交汇，以选择题、填空题的形式出现，高考对函数零点的考查主要有以下两个命题角度：(1)判断函数零点个数；(2)由函数零点个数确定参数的值或取值范围(1)(2014高考湖北卷)已知f(
6、x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1，3 B3，1，1，3C2，1，3 D2，1，3(2)已知0a1，k0，函数f(x)若函数g(x)f(x)k有两个零点，则实数k的取值范围是_解析(1)令x0，则x0，所以f(x)(x)23xx23x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)所以当x0时，f(x)x23x.所以当x0时，g(x)x24x3.令g(x)0，即x24x30，解得x1或x3.当x0时，g(x)x24x3.令g(x)0，即x24x30，解得x20(舍去)或x2.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为2，1
7、，3(2) 函数g(x)f(x)k有两个零点，即f(x)k0有两个解，即yf(x)与yk的图象有两个交点分k0和k0作出函数f(x)的图象当0k1时，函数yf(x)与yk的图象有两个交点；当k1时，有一个交点；当k1或k0时，没有交点，故当0k1时满足题意 答案(1)D(2)0k1规律方法判断函数yf(x)零点个数的三种常用方法：(1)直接法令f(x)0，则方程实根的个数就是函数零点的个数(2)零点存在性定理法判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数(3)数形结合法转化为两个函数的图象的交点个数
8、问题(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数)注意若已知f(x)有几个零点，则用数形结合法，转化为两个熟悉的函数图象有几个交点问题，数形结合求解2.(1)已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A.，0 B2，0C. D0(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0，1时，f(x)x，则方程f(x)log3|x|的解的个数是()A0 B2C4 D6解析：(1)选D.当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上函数f(x)的零点只有0.(2)选C.画出周期函数f(x)和ylog3|x|的图
9、象，如图所示，方程f(x)log3|x|的解的个数为4._与二次函数有关的零点分布_已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围(1)解(1)由条件，抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，如图(1)所示，得故m的取值范围是. (2)抛物线与x轴交点均落在区间(0，1)内，如图(2)所示，列不等式组(2)即m1.故m的取值范围是.本例方程不变，问m为何实数时？(1)有一根大于2，另一根小于2?(2)在区间(1，3)内有且
10、只有一解？解：(1)令f(x)x22mx2m1为开口向上的二次函数，只需f(2)44m2m10，解得m，m的取值范围为(，)(2)f(x)为(1，3)内的连续函数，只需f(1)f(3)0或.即：(4m2)(8m10)0或，m0，即f(x)0有两个不相等的实数根，若实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a或a1.检验：(1)当f(1)0时，a1，所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1，3上有两个实数根，不合题意，故a1.(2)当f(3)0时，a，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0
11、，解得x或x3.方程在1，3上有两个实数根，不合题意，故a.综上所述，a的取值范围是(1，),学生用书P37)交汇创新方程的根与函数极值点的交汇(2013高考安徽卷)若函数f(x)x3ax2bxc有极值点x1，x2，且f(x1)x1，则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数是()A3B4C5 D6解析 因为f(x)3x22axb，函数f(x)的两个极值点为x1，x2，所以f(x1)0，f(x2)0，所以x1，x2是方程3x22axb0的两根所以解关于x的方程3(f(x)22af(x)b0得f(x)x1或f(x)x2.不妨设x1x2，由题意知函数f(x)在(，x1)，(x2，)
12、上单调递增，在(x1，x2)上单调递减又f(x1)x1x2，如图，数形结合可知f(x)x1有两个不同实根，f(x)x2有一个实根，所以不同实根的个数为3. 答案A名师点评(1)解答本题的关键是把f(x)看作为3z22azb0的根，从而转化为求解f(x)x1与f(x)x2的根的个数问题(2)本题把方程的根与函数的极值点交汇在一起考查，体现了新课标命题的指导思想(2015广州测试)已知e是自然对数的底数，函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)ln xx2的零点为b，则下列不等式中成立的是()Af(a)f(1)f(b) Bf(a)f(b)f(1)Cf(1)f(a)f(b) Df(b)f(1)0
13、恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，而f(0)e00210，所以函数f(x)的零点a(0，1)；由题意，知g(x)10，所以函数g(x)在(0，)上是单调递增的，又g(1)ln 11210，所以函数g(x)的零点b(1，2)综上，可得0a1b2.因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)f(1)f(b)故选A.1设f(x)x3bxc是1，1上的增函数，且ff0，则方程f(x)0在1，1内()A可能有3个实数根B可能有2个实数根C有唯一的实数根 D没有实数根解析：选C.由f(x)在1，1上是增函数，且ff0，f(1)f(2)0，f(2)f(3)0，故f(x)的零点所在区间是(2，3)，
14、故选C.3函数f(x)(x22 014x2 015)ln(x2 015)的零点有()A0个 B1个C2个 D3个解析：选B.由x2 0150，解得x2 015，故函数f(x)的定义域为(2 015，)由f(x)0，即(x22 014x2 015)ln(x2 015)0，得x22 014x2 0150或ln(x2 015)0，由x22 014x2 0150，即(x1)(x2 015)0，解得x1或x2 015，显然都不在函数f(x)的定义域内，故不合题意；解ln(x2 015)0，即x2 0151，解得x2 016.所以函数f(x)只有一个零点故选B.4(2015广东六校联考(一)在用二分法求方
15、程x32x10的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可以断定该根所在区间为()A. B.C.D.解析：选D.设f(x)x32x1，因为一根在区间(1，2)内，根据二分法的规则，取区间中点，因为f(1)20，f40，所以下一步可以断定该根所在区间是，故选择D.5若函数f(x)x22a|x|4a23的零点有且只有一个，则实数a()A.或 BC. D以上都不对解析：选C.函数f(x)x22a|x|4a23是偶函数，所以要使其零点只有一个，这个零点只能是0.由f(0)0得a.当a时，f(x)x2|x|，它只有一个零点0，符合题意；当a时，f(x)x2|x|，它有3个零点0，不符合题
16、意，综上，a.6函数f(x)的零点个数是_解析：函数的定义域是(3，)，且由f(x)0得x2或x1，但1(3，)，2(3，)，故f(x)没有零点答案：07若函数f(x)3ax12a在区间(1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是_解析：当a0时，f(x)1，与x轴无交点，不合题意，所以a0，函数f(x)3ax12a在区间(1，1)内是单调函数，f(1)f(1)0，解得a.即a的取值范围是(，1).答案：(，1)8函数ym有两个零点，则m的取值范围是_解析：在同一直角坐标系内，画出y1和y2m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0m1.答案：(0，1)9已知函数f(x)x3x2.证明：存在x
17、0，使f(x0)x0.证明：令g(x)f(x)x.g(0)，gf，g(0)g0.又函数g(x)在上连续，存在x0，使g(x0)0，即f(x0)x0.10已知a是正实数，函数f(x)2ax22x3a.如果函数yf(x)在区间1，1上有零点，求a的取值范围解：f(x)2ax22x3a的对称轴为x.当1，即0a时，须使即a的解集为.当1时，须使即解得a1，a的取值范围是1，)1(2015湖北武汉模拟)若函数f(x)在(1，2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分()A5次 B6次C7次 D8次解析：选C.设对区间(1，2)二等分n次，开始时区间长为1，第1
18、次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3次二等分后区间长为，第n次二等分后区间长为.依题意得0.01，nlog2100.由于6log21007，n7，即n7为所求2(2015皖西七校联考)已知函数f(x)e|x|x|，若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是()A(0，1) B(1，)C(1，0) D(，1)解析：选B.方程f(x)k化为方程e|x|k|x|，令ye|x|，yk|x|，如图，yk|x|表示斜率为1或1的平行折线系，折线与曲线ye|x|恰好有一个公共点时，有k1，若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，)故选B.3(201
19、5南宁模拟)已知函数f(x)ln x3x8的零点x0a，b，且ba1，a，bN*，则ab_ 解析：f(2)ln 268ln 220，且函数f(x)ln x3x8在(0，)上为增函数，x02，3，即a2，b3.ab5.答案：54(2015北京西城期末)设函数f(x)则ff(1)_；若函数g(x)f(x)k存在两个零点，则实数k的取值范围是_解析：ff(1)flog22；令g(x)0，得f(x)k，等价于yf(x)的图象和直线yk有两个不同的交点，在平面直角坐标系中画出yf(x)的图象，如图所示，要使得两个函数图象有2个不同交点，需0k1.则实数k的取值范围是(0，1答案：2(0，15设函数f(x
20、)(x0)(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0ab，且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围解：(1)如图所示(2)f(x)故f(x)在(0，1上是减函数，而在(1，)上是增函数，由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，且11，2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0m1时，方程f(x)m有两个不相等的正根6(选做题)(1)已知f(x)x22mx3m4.m为何值时，有两个零点且均比1大；(2)若函数f(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围解：(1)法一：设f(x)的两个零点分别为x1，x2，则x1x22m，x1x23m4.由题意，知5m1.故m的取值范围为(5，1)法二：由题意，知即5m1.m的取值范围为(5，1)(2)令f(x)0，得|4xx2|a0，即|4xx2|a.令g(x)|4xx2|，h(x)a.作出g(x)、h(x)的图象由图象可知，当0a4，即4a0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点故实数a的取值范围为(4，0)
