1、2019届高三数学精品复习之空间中的角和距离1解立几题要有化平几思想：所有求空间角与距离的问题最终都要转化到平面上求解，有时还可以将要求的角（或线段）所在的平面分离出来，这样清楚醒目，便于求解，不易出错。QBCPADON图1-12研究异面直线所成的角通常有两种方法。通过平移使之成为一个平面角，然后解三角形求得；在空间直角坐标系中利用向量的夹角公式。注意 异面直线所成角的范围是：（00，900， 如： cos =-,则异面直线 a, b所成的角为 arccos。举例 如图, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2, ，() 证明: ; () 求异面直线AQ与PB所成的角;解析：()记AC、BD交于O，
2、连PO、QO，则PO面ABCD，QO面ABCD，P、Q、O共线，PQ面ABCD；来源:Zxxk.Com()方法一：“平移”：注意到AC、PQ交于O，取OC的中点N，连结PN，BN，QBCPADON图1-2xyz，故AQP. BP是异面直线AQ与PB所成的角（或其补角）. 故异面直线AQ与PB所成的角是方法二：“建系”：由题设知，ABCD是正方形，由（I），平面，故可以分别以直线CA、DB、QP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图1-2），由题设，相关各点的坐标分别是，,于是注：在“平移”时常用到一些平面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理的逆定理甚至三
3、角形相似等。巩固1异面直线 a, b所成的角为600，则过空间中一点P与a, b都成300的直线有几条？与a, b都成500的直线有几条？与a, b都成600的直线有几条？与a, b都成700的直线有几条？变形过大小为600的二面角外一点P作与它的两个面都成600的直线有几条？巩固2 设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_图3-13直线与平面所成的角要“抓住”直线在平面内的射影，然后在直角三角形内求得；直线与平面所成的角是直线与平面内任意直线所成角的最
4、小值。线面角的范围：00，900。举例1 在如图3-1所示的几何体中，平面，平面，且，是的中点求与平面所成的角（07高考浙江理16）解析：方法一：“找射影”。过M作MFED于F，连CF，由CMAB，CMAE得CM面ABDE，故CMED，ED面CMF，于是有面CED面CMF于CF，过M作MHCFF于H，则MH面CED，MCH为与平面所成的角；来源:Zxxk.Com设，在直角梯形中，是的中点，来源:Zxxk.Com所以，得是直角三角形，其中，MF=在中，CM=MF， ，故与平面所成的角是注：“作垂面”是求作点M在面内的射影的最重要、最常用的方法，其过程是：过M点作平面于，则M在面内的射影M/。方法
5、二：“建系”。如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，设向量与平面垂直，则，即n=0 , n=0,，得：，即，由向量夹角公式得：cos=,直线与平面所成的角是与夹角的余角，所以，故直线与平面所成的角是注：线与面的法向量所成的角与线面角互余；注意到线面角不为钝角，故：AB与面所成的角为：arcsin（为面的法向量）。用法向量求线面角，以计算代替说理（找射影），最大限度地实现了“去逻辑化”，为疏于逻辑思维的同学求线面角提供了一条相对方便的路径；但是，并非所有的空间形体都可以建立适当的坐标系。BCADPNM图3-3EBCADPNM图3-2QBCAD
6、PNM图3-1举例2如图3-1，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD，且PAAD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点. 求CD与平面ADMN所成的角。来源:1ZXXK来源:1解析：确定C点在面ADMN上的射影Q的位置很困难。方法一：“射影悬空”。先不管Q点的位置，CDQ为CD与平面ADMN所成的角，入图3-2；记BC=a,在RtCQD中，CD=a,只需求出CQ（C到面ADMN的距离）即可，记为h；注意到，不难知道来源:1ZXXKAMD中AD边上的高为AN，AN=a,=a2；=2a2，M到面ACD的距离为a，h=a,故在RtCQD中，CDQ=
7、arcsin。注：射影“悬空”求线面角的“革命”性意义在于绕开了求线面角中最困难的一步确定射影的位置，把问题化归为求点到面的距离；而求点到面的距离可以通过“等积转换”实现，并不需要知道射影的确切位置。方法二：“平移”线段。取AD中点E，连BE，如图3-3，易见：BECD，CD与平面ADMN所成的角即BE 与平面ADMN所成的角；不难证明：BNAN，BNAC，BN面ADMN，即点B在面ADMN上的射影为N，BEN为BE 与平面ADMN所成的角；记BC=a，BN=a，BE=a，在RtBNE中，BEN=arcsin。本题也可以“建系”求，略。巩固1太阳光线斜照地面，地面上与太阳光线成600角的直线有
8、_条？若太阳光线与地面成60角时，要使一根长2米的竹竿影子最长，则竹竿与地面所成的角为 。巩固2 在三棱锥PABC中，ABBC，ABBC，PA=2BC，点O是AC的中点，OP底面ABC求直线PA与平面PBC所成角的大小4求二面角的方法很多，概括起来有两类，一类是作平面角，一类是不作平面角。作平面角又有直接作和间接作两种，形形色色的方法都是在做一件事：作二面角的棱的垂面；而不作平面角，要么建系用法向量求，要么用公式cos=（其中S表示平面内的封闭图形C的面积，S/表示C在平面内的射影C/的面积，表示与所成的锐二面角的大小）。二面角的范围（00，1800)。如cos=-，则= arccos（-）=
9、- arccos。ABEDCPFO举例如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADC=，ABCD，PC面ABCD，来源:Z。xx。k.ComPC=AD=DC=AB，E为线段AB的中点。（1）求证：平面PAC平面PDE；（2）求二面角A-PE-D的大小。解析：（1）在直角梯形ABCD中，容易知道四边形AECF是正方形，DEAC，又DEPCDE面PAC，面PDE面PAC；（2）记PC=a，ABEDCPF方法一：用三垂线定理作二面角的平面角。记AC、DE交于O，连PO，PO是相互垂直的平面PDE和PAC的交线，过A作PO的垂线交PO（的延长线）于F，则AF面PDE，即F是A在面PDE内的
10、射影，又容易证明AE面PEC，则AEPE，于是FEPE，AEF是二面角A-PE-D的平面角；在PAO中有面积相等不难算出AF=a，而AE=a，在RtAFE中，AEF=arcsin。注：用三垂线定理作二面角的平面角，是作二面角的平面角的最常用、最重要的方法。其过程概括为：找一垂找（作）一个面内一点P在另一个面内的射影P/，作二垂过P（或P/）作二面角棱l的垂线，垂足为Q，连三垂连P/Q，则lP/Q，于是PQ P/为二面角的平面角；计算该角在直角三角形内进行；在上述过程中，“找一垂”是关键。方法二：射影“悬空”作二面角的平面角注意到AEPE，记点A在面PDE内的射影为F来源:1ZXXK（无须知道点
11、F的确切位置），连EF，则PEFE，于是AEF是二面角A-PE-D的平面角；以下问题化归到求AF的长度（即A点到面PDE的距离）上。以下用“等积转换”求AF，计算略。ABEDCPMN方法三：利用平面图形的有关性质作二面角的平面角注意到DP=DE=a，取PE的中点M，则PEDM，又容易知道AEPE，取PA的中点N，连NM，则NMAE，PEMN，于是NMD为二面角A-PE-D的平面角；以下在DMN中，用余弦定理求NMD，计算略。ABEDCPM方法四：用割补法求。视二面角A-PE-D为二面角A-PE-C与二面角D-PE-C的差。对二面角A-PE-C， AE面PEC，面AEP面PEC，即二面角A-PE
12、-C为；对二面角D-PE-C，点C是点D在面PEC内的射影，取BE的中点M，CP=CE=a，PEMC，于是有：PEMD，则DMC为二面角D-PE-C的平面角，ABEDPxyCz在RtDCM中，DMC=arctan,二面角A-PE-D的大小为- arctan。注：在求钝二面角时“割补法”往往很有效。方法五：用平面的“法向量”求CPCE, CPCD, CECD,故可以C为原点，来源:学|科|网Z|X|X|K、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。A（a,a,0）、D(a,0,0)、E(0,a,0)、P(0,0,a)，则=(a,0,0),=(a,-a,0),=(0,-a,a)来源:学.科.网由此不难
13、求出平面PAE的法向量=（0，1，1）， 平面PAE的法向量=（1，1，1）CABDE则有：cos=,二面角A-PE-D的大小为arccos。注：用“法向量”求二面角有一处严重的不足：二面角两个面的法向量的夹角未必等于二面角，也可能与二面角互补，这取决于法向量的方向，而确定法向量的方向却是中学生力不能及的。巩固 如图，在多面体ABCDE中，AE面ABC，BDAE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，求面CDE与面CAB所成的锐二面角 5求点到面的距离一般有三种办法：直接法过“点”作“面”的垂线（尽可能找到过这一点的一个与“面”垂直的平面，然后过“点”作它们交线的垂线）；等积转换；法向量:
14、若平面的法向量为，直线AB与平面交于点A，则点B到平面的距离=。举例1 已知线段AD平面，且与平面的距离为4，点B是平面内的动点，且满足AB=5，AD=10，则B、D两点之间的距离 （ ）A有最大值，无最小值； B有最小值，无最大值；C有最大值，最小值； D有最大值，最小值；解析：记A、D在面内的射影分别为A1、D1，AB=5，AA1=4，A1B=3，即B在面内以A1为圆心、3为半径的圆周上，又A1D1=10，故D1B最大为13，最小为7，而DD1=4，于是：由勾股定理得BD最大，最小，选D。z举例2 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱C
15、C1上，且CC1=4CP.求点P到平面ABD1的距离；B1PACDA1C1D1BOH图5-2B1PACDA1C1D1BOH图5-1E图5-3B1PACDA1C1D1BOHxyQ来源:学.科.网Z.X.X.K解析：方法一：“等积转换”。如果直接研究三棱锥P-ABD1的体积，无论怎样“转换”都不易求；在DD1上取一点Q，使DD1=4DQ，则PQ面ABD1，如图5-1；故=，记P到面ABD1的距离为h，则Q到面ABD1的距离为h， 由=得：h=；方法二：以D为原点建系，如图5-2，A（4，0，0），B（4，4，0），D1（0，0，4），P（0，4，1），不难求出面ABD1的法向量=(1,0,1),=
16、(4,0,-1), h=；方法3：“补齐”截面ABD1即正方体的对角面ABC1D1，过P作PEBC1于E，如图5-3，PEAB，PE面ABD1，PE的长度即为点P到平面ABD1的距离，易求PE=。巩固1已知平面平面，直线，点，平面、之间的距离为8，则在内到P点的距离为9的点的轨迹是： （ ）A一个圆 B两条直线 C四个点 D两个点巩固2（1） 正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为_（07高考江苏卷14）。（2）正三棱柱的所有棱长都为，为中点，则点到平面的距离为 （07高考福建理18）答案来源:1ZXXK2、巩固1 1、2、3、4，巩固2900，3、巩固10或无数、300，巩固2方法一：“悬空射影”，方法二：“建系”，方法三：取PC中点D，PAOD，去求直线OD与平面PBC所成的角，过O作面PBC的垂面，找射影；arcsin；4、巩固方法一：延长DE、BA交于P，CP是二面角的棱，DCB是二面角的平面角，DCB=450；方法二：“平移“平面。取CD中点F，BD中点G，二面角D-EF-G为所求；方法三：以AB中点为原点“建系“；方法四：用公式：cos=。5、巩固1C，巩固2 ，第 - 6 - 页
