1、4.4.3 不同函数增长的差异 1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了.兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番.兔子每年能生产4到6次，一窝6-10只 1950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失.绝望之中，人们从巴西引入了多发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子.整个20世纪中期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过.这种现象能否用我们所学的数学知识来解释呢？请进入本节的学习！1.掌握常见增函数的定义、图象、性质并体会其增长快慢.(重点）2.结合实例体会直线上升、指数爆炸
2、、对数增长等不同增长的函数模型的意义.3.学会分析具体的实际问题,能够建立数学模型解决实际问题.(难点）4.了解数学在实际问题中的应用价值.培养学生的数学建模能力，通过实例比较指数函数、幂函数、对数函数能增长的差异。体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂例1 假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前 一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回 报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？方案三可以用函数 进行描述.设第x天所得回报是y元，则 方案一可以用函数
3、 进行描述；思路分析：2.如何建立日回报效益与天数的函数模型？1.依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？y40(xN)x 1y0.4 2(xN)方案二可以用函数 进行描述；y10 x(xN)注意x与y的意义3.三个函数模型的增减性如何？4.要对三种方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？根据函数性质判断x/天 方案 一 方案 二 方案 三 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 1 40 10 0.4 2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0
4、50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 10 40 0 100 10 204.8 102.4 30 40 0 300 10 214 748 364.8 107 374 182.4 三种方案所得回报的增长情况如表和图：2 y40 20 40 60 80 100 120 O 4 6 8 10 12 y x y10 x y0.42x1 函数图象是分析问题的好帮手读图和用图 可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的
5、100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多.这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但二者增长情况很不相同.从每天所得回报看，在第13天，方案一最多，在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少，在第58天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得 多；到第30天，所得回报已超过2亿元.下面再看累计的回报数：结论：投资16天,应选择方案一;投资7天，应选择方案一或方案二；投资8 10天，应选择方案二；投资11天(含
6、11天)以上，应选择方案三.天数回报/元方案一二三401 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1180 120 160 200 240 280 320 360 400 44010 30 60 100 150 210 280 360 450 550 6600.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x 2 3 4 5 6 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A.ylog2x By2x Cy12
7、(x21)Dy2.61cos x A【变式练习】【解析】对于 A，函数 ylog2x，是对数函数，增长速度缓慢，且在 x2 时 y1，x4 时 y2，基本符合要求；对于 B，函数 y2x 是指数函数，增长速度很快，且在 x2 时 y4，x4 时 y16，代入值偏差较大，不符合要求；对于 C，函数 y12(x21)是二次函数，且当 x2 时 y1.5，x4 时 y7.5，代入值偏差较大，不符合要求；对于 D，函数 y2.61cosx 是周期函数，且在2,3内是减函数，x3时 y0，x4 时 y0，不符合要求故选 A.例2：某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案
8、：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行 奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利 润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以 人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间10,1 000上，检验三个模型是否符合公司要求即可.两个要求【解题关键】1确定x的取值范围，即函数的定义域 2通过图象说明选用哪个函数模
9、型？为什么？的图象.解:借助计算器或计算机作出函数 y5,y0.25xx7ylog x+1,y=1.002思考：8 1 2 3 4 5 6 7 200 400 600 800 1000 y0.25x ylog7x1 y1.002x O y5 y x 观察图象发现，在区间10,1 000上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模 型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模 型y=log7x+1 进行奖励时才符合公司的要求，下面通过 计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.对于模型y=0.25x，它在区间10,1 000上
10、递增，而 且当x=20时，y=5,因此，当x20时，y5,所以该模型不符 合要求；对于模型 y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可 知在区间（805，806）内有一个点x0满足 由于 它在区间10,1 000 上递增，因此当xx0时，y5,所以该 模型也不符合要求；对于模型 y=log7x+1,它在区间10,1 000上递增，而 且当x=1 000时，y=log71 000+14.555,所以它符合奖金总 数不超过5万元的要求.0 x1.0025，计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x10,1 000时，是否有 成立 7log x1y0.25xx如何判断
11、该式是否成立令 综上所述，模型 确实能符合公司要求.时，所以,当 说明按模型 奖励,奖金不会超过利润的25%，利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象 由图象可知它是递减的，因此 即 7f(x)log x+1-0.25x,x10,1 000f(x)f(10)0.31670,7log x10.25x x10,1 0007log x10.25,x 7ylog x17ylog x1构造函数某种细菌在培养过程中，每 15 分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，则这种细菌由 1 个繁殖成 4 096个需经过()A12 小时 B4 小时 C3 小时 D2 小时 【解析】设共分裂了 x 次，则有 2x4 096
12、.所以 2x212，即 x12.又因为每次 15 分钟，所以共 1512180 分钟，即 3 小时 C【变式练习】微课：指数函数、幂函数、对数函数增长的差异比较 1.列表并在同一坐标系中画出下面这三个函数的图象（a=2).x0.20.61.01.4y=2x1.1491.51622.639y=x20.040.3611.96y=log2 x-2.322-0.73700.485x1.82.22.63.03.4y=2x3.4824.5956.063810.556y=x23.244.846.76911.56y=log2 x0.8481.1381.3791.5851.766xyo1122345y=2xy=
13、x2y=log2 x2.结合函数的图象找出其交点坐标.从图象看出 y=log2 x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数图象的下方，y=x2的图象与 y=2x 的图象有两个交点(2，4)和（4，16）.x0 1 2 3 4 5 6 7 8 y=2x1 2 4 8 16 32 64 128 256 y=x20 1 4 9 16 25 36 49 64 ABy=2xxyo 112162343 4y=x2y=log2x 差异明显 3.根据图象,分别写出使不等式log2 x2xx2和 log2 xx22x成立的自变量x的取值范围.使不等式 log2 x2xx2 的x的取值范围是(2，4);
14、使不等式 log2 x x21)和幂函数 y=xn(n0),在区间（0，+）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0,当xx0时，就会有axxn.指数函数与幂函数的比较对于对数函数 y=logax（a1)和幂函数y=xn(n0),在区间（0，+）上,随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0,当xx0时，就会有logax1)，y=logax(a1)和 y=xn（n0）都是增函数.因此总
15、会存在一个x0，当xx0 时，就有logaxxn1)的增长速度越来越快，会 远远大于y=xn（n0）的增长速度.3）随着x的增大，y=logax(a1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn（n0）的增长速度.【提升总结】不同函数 增长的差异 注意函数模型的选择 数学建模的一般步骤：1、实际问题。2、理解问题。3、数学建模。4、求解模型。5、检验模型。数学建模：选择合适的数学模型，解决实际问题。指数函数模型 幂函数模型 对数函数模型 1下列函数中，随着 x 的增大，增长速度最快的是()Ay50(xZ)By1 000 xCy0.42x1Dy1100 000ex 指数函数增长速度最快，且 e2，因
16、而 ex 增长速度最快【解题关键】D 2.某公司营销人员的月收入与其每月的销售量成一次函数关系，已知销售 1 万件时，收入为 800 元，销售 3 万件时，收入为 1 600 元，那么没有销售时其收入为()A200 元 B400 元 C600 元 D800 元 B【解析】设月收入 y 元与销售量 x 万件之间的函数关系式为ykxb(k0)，将已知条件代入得 800k1b1 600k3b 解得 k400b400 所以 y400 x400，当 x0 时，y400.因此，营销人员在没有销售时的收入是 400 元 ,3一个水池每小时注入水量是全池的 110，水池还没注水部分的总量 y 随注水时间 x
17、变化的关系式是 【解析】依题意列出函数式即可 y1x(0 x10)4.银行的定期存款中，存期为1年、2年、3年、5年的年利率分别为2.25%,2.43%,2.70%,2.88%，现将1 000元人民币存入银行，求:应怎样存取以使5年后得到的本金和利息总和最大？解：存5年共有6种存款方式：（1）一次性存入5年，本金和利息的总和为1 000+5 1 0002.88%=1 144（元）.（2）存一个三年，再存一个两年(1 000+3 1 0002.70%)(1+22.43%)=1 133.54(元).（3）存一个三年，再存两个一年1 000(1+32.70%)(1+2.25%)2=1 130.19(元).（4）存两个两年，再存一个一年 1 000(1+22.43%)2(1+2.25%)=1 124.30（元）.（5）存一个两年，再存三个一年 1 000(1+22.43%)(1+2.25%)3=1 120.99（元）.（6）存五个一年1 000(1+2.25%)5=1 117.68（元）.答：一次性存入5年本金和利息的总和最大.修凿可以使道路平直，但只有崎岖的未经修凿的道路才是天才的道路.