1、数学试题第 1 页，共 6 页 （满分 150 分，考试用时 120 分钟）请将答案写在规定的位置，并及时上传。超出答题区域不予得分。祝考试顺利 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数 z 满足531+2izii，则 z 的虚部为（）A-3 B.2 C.4i D.-4 2.已知向量=(3,2),3+=(1,4)，则|=（）A102 B10 C45 D4 3.已知甲、乙两组按顺序排列的数据：甲组：27,28,37,m,40,50；乙组：24,n,34,43,48,52；若这两组数据的第 30 百分位数、第 50 百
2、分位数分别对应相等，则 mn等于（)A.127 B.107 C.43 D.74 4.袋内有大小相同的 3 个白球和 2 个黑球，从中不放回地摸球，用 A 表示“第一次摸到白球”，用 B 表示“第二次摸到白球”，用 C 表示“第一次摸到黑球”则下列说法正确的是()AA 与 B 为互斥事件 BB 与 C 为对立事件 CA 与 B 非相互独立事件 DA 与 C 为相互独立事件 5.如图，在正方体 1111中，,分别为1,1的中点，则异面直线与1的夹角为（）.A.30 B.60 C.45 D.90 6.在ABC 中，2 cos0acB则此三角形的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三
3、角形 D.等边三角形 7.如图所示，A，B，C 表示 3 个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为 0.9,0.8,0.8，则该系统的可靠性(3 个开关只要一个开关正常工作即可靠)为()A0.504 B0.994 C0.996 D0.964 8.如图，在中，是的中点，在边上，=3，与交于点，则BOOE ()A2 B3 C4 D5 ODEBCA山东省济南市历城第二中学2019-2020高一下学期学情检测数学试卷数学试题第 2 页，共 6 页 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分
4、，有选错的得 0 分 9.甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（）A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同.B.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大.C.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150 个为优秀）.D甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数.10.在 中，内角,所对的边分别为,.若,36Cc且该三角形有两解，则的值可以为（）.A4 B.5 C.6 D 7.11.已知两不重合的直线m,n与两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若/,/,则/B.若平面/，平面/，则/C.,则/D.，则/12.设点M
5、是 ABC 所在平面内一点，下列说法正确的是（）A.若 AB BCBC CACA AB，则 ABC 的形状为等边三角形B.若1122AMABAC，则点 M 是边 BC 的中点C.过M 任作一条直线，再分别过顶点,A B C 作 l 的垂线，垂足分别为,D E F，若0ADBECF恒成立，则点 M 是 ABC的垂心 D.若2AMABAC，则点 M 在边 BC 的延长线上三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.复数 z 满足 121ziz，则|=z 14.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为 200,400,300,100 件.为检验产品的质量,现用分层
6、抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验,则应从甲种型号的产品中抽取 件.15.已知点 P 为 ABC 内一点，2+3+5=0，则APB，APC，BPC 的面积之比为_.16已知在三棱锥 DABC中，=6，AB=36，=2=62,则三棱锥 DABC的外接球的表面积为 .（将填空题的答案写在后面的规定区域内）数学试题第 3 页，共 6 页 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）已知 m 为实数，设复数 225623zmmmmi.（1）当复数 z 为纯虚数时，求 m 的值；（2）设复数 z 在复平面内对应的点为,x y，若满足9
7、0 xy，求 m 的取值范围.17.（10 分）18（12 分）济南市某中学高三年级有 1000 名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为 50 的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示（1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于 120 分的人数和这 1000 名学生的数学平均分；（2）已知样本中，成绩在140,150 内的有 2 名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机选取 2 人做学习交流，求选取的两人中至少有一名女生的概率 18（12 分）数学试题第 4 页，共 6 页 19（12 分）中，角、及所对的边、满足3+(3 )=0.(1)求；(2)
8、若 =2,=7，求的面积.19（12 分）20（12 分）如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD 是正三角形，平面 PAD平面 ABCD,E 为 PD 的中点.求证:(1)PB平面 EAC.(2)平面 ABE平面 PCD;20（12 分）数学试题第 5 页，共 6 页 21.（12 分）为了配合新冠疫情防控，某市组织了以“停课不停学，成长不停歇”为主题的“空中课堂”，为了了解一周内学生的线上学习情况，从该市中抽取 1000 名学生进行调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图（1）为了估计从该市任意抽取的 3 名同学中恰有 2 人线上学习时间在200，3
9、00）的概率 P，特设计如下随机模拟的方法：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，依次用 0，1，2，3，9 的前若干个数字表示线上学习时间在200，300）的同学，剩余的数字表示线上学习时间不在200，300）的同学；再以每三个随机数为一组，代表线上学习的情况 假设用上述随机模拟方法已产生了表中的 30 组随机数，请根据这批随机数估计概率 P 的值；907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 393 027 556 438 873 730 113 669 206 232 433 474 537 679 138 598 602 2
10、31（2）为了进一步进行调查，用分层抽样的方法从这 1000 名学生中抽出 20 名同学，在抽取的 20 人中，再从线上学习时间在350，450）(350 分钟至 450 分钟之间)的同学中任意选择两名，求这两名同学来自同一组的概率.21.（12 分）数学试题第 6 页，共 6 页 22.（12 分）已知 =0，M 是的中点.（1）若|=2|，求向量 与向量+的夹角的余弦值；（2）若 O 是线段上任意一点，且|=2|=2，求 +的最小值；（3）若点 P 是内一点，且|=2，=2，=4，求|+2+|的最小值.22.（12 分）填空题答题区：13.14.15.16.数学试题第 1 页，共 5 页
11、参考答案（数学）1【答案】D 2.【答案】A【解析】设=(,)，所以3+=(9+,6+)因为3+=(1,4)，所以91,64.xy+=+=解得1010 xy=,所以=(10,10)，所以|=(10)2+102=102故选：A 3.【答案】B【解析】因为 30%61.8,50%63，所以第 30 百分位数为 n28，第 50 百分位数为 37+34+4322m=所以40m=，所以4010287mn=4.【答案】C 【解析】A 与 B 可以同时发生但是不放回的摸球第一次对第二次有影响，所以不为互斥事件，也非相互独立事件；B 与 C 可以同时发生所以不是对立事件；A 与 C，第一次摸到白球与第一次摸
12、到黑球一定不能同时发生，所以不是相互独立事件.所以选 C.5.【答案】D【解析】解析 为1中点，又为1中点，所以为11的中位线，所以 A11,所以异面直线与1的夹角即1与11的夹角，易知1 面11，所以111，所以异面直线的夹角为 90.所以选 D.6.【答案】A【解析】由正弦定理得sin2sincos0ACB=，又因为 ABC+=，所以sinsin()ABC=+。即sin()2sincosBCCB+=用两角和的正弦公式展开左边sincoscossin2sincosBCBCCB+=，整理得 sincossincos0BCCB=，所以 sin()0BC=，又因为B 和C 是三角形的内角，所以0B
13、C=，BC=，此三角形为等腰三角形.所以选 A.7.【答案】C【解析】由题意知，所求概率为 1(10.9)(10.8)(10.8)10.0040.996.8.【答案】C【解析】11()222222COCDCBCACBCACBCE=+=+=+，因为 O，B，E 三点共线，所以212+=，解得：2=5 所以1455COCBCE=+，即 14()()55COCBCECO=所以4BOOE=，所以4BOOE=,所以选 C.数学试题第 2 页，共 5 页 9【答案】ABC【解析】甲、乙两班学生成绩的平均数都是 135，故两班成绩的平均数相同，A 正确；22=191110SS=甲乙，甲班成绩不如乙班稳定，即
14、甲班的成绩波动较大，B 正确;甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为 149，乙班的中位数为 151 从而知乙班不少于 150 的人数要多于甲班，C 正确；由表看不出两个班学生成绩的众数，D 错误.10.【答案】AB【解析】【解法一】由正弦定理 sinsinacAC=得006sin,0150aAA=有两个解，所以63 a【解法二】有两个解，所以 sin 6aca 即32aa，所以36a，则()()22562390mmmm+-，解得2m，所以m 的取值范围为()2，.18.【解析】（1）由频率分布直方图，第四个矩形的高是0.028，成绩不低于 120 分的频率是0.7，可估计高三年级不低于 120
15、 分的人数为0.7 1000700=人 105 0.1 115 0.2 125 0.3 135 0.28 145 0.12126.2x=+=（2）由直方图知，成绩在140,150 的人数是6，记女生为 A，B，男生为 c，d，e，f，这 6 人中抽取 2人的情况有 AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共 15 种 其中至少有一名女生的有 9 种，故至少有一名女生的概率为 93155=19.【答案】（1）23B=（2）15 34【解析】（1）由正弦定理及3(sin3 cos)0cbAA+=可得 3sinsinsin3sincos0CBABA+
16、=数学试题第 4 页，共 5 页 又ABC+=，sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+3sincos3 cossinsinsin3sincos0ABABBABA+=3sincossinsin0ABBA+=，又(0,)A，sin0A，3 cossin0BB+=，23B=（2）由余弦定理2222cosbacacB=+得249()343caacac=+=+解得=15ac 11315 3sin152224ABCSacB=20.【解析】证明(1)连接 BD，交 AC 与点 O，,连接 EO,.四边形 ABCD 为正方形O 是 BD 的中点，又 E 为 PD 的中点 EOPB,又
17、PB平面 AEC,EO平面 AEC,BC平面 AEC,(2)底面 ABCD 为正方形,CDAD.平面 PAD平面 ABCD,且平面 PAD平面 ABCD=AD CD平面 PAD.AE平面 PAD,CDAE.又 PAD 是正三角形，E 为 PD 的中点，AEPD,PDCD=D,AE平面 PCD.AE平面 ABE平面 ABE平面 PCD.21【答案】（）0.4 （）0.4【解析】（）由频率分布直方图可知，线上学习时间在200，300）的频率为 0.002+0.00650=0.4（），所以可以用数字 0,1,2,3 表示线上学习时间在200，300）的同学，数字 4,5,6,7,8,9 表示线上学习
18、时间不在200，300）的同学；观察上述随机数可得，3 名同学中恰有 2 人线上学习时间在200，300）的有191,271,932,812,431,393,027,730,206,433,138,602,共有 12 个。而基本事件一共有 30 个，根据古典概型的定义可知该市 3 名同学中恰有 2 人线上学习时间在200，300）的概率为4.03012=P.（）抽取的 20 人中线上学习时间在350，450）的同学有550)002.0003.0(20=+人，其中线上学习时间在350，400）的同学有三名设为CBA,，线上学习时间在400，450）的同学有两名设为ba,，从 5 名同学中任取 2
19、 人的基本事件空间为,abCbCaBbBaBCAbAaACAB=，共有10 个样本点；用 A 表示“两名同学来自同一组”这一事件，则,abBCACABA=，共有 4 个样本点，所以4.0104)(=AP.22.【答案】（1）因为0AB AC=，所以 ABAC，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴建立平面直数学试题第 5 页，共 5 页 角坐标系.令 ACa=，则(0,),(2,0)Ca Ba，所以(2,)ABACaa=，(2,)ABACa a+=设向量 ABAC，与向量 ABAC+的夹角为()()2243cos555ABACABACaaaaABACABAC+=+，（2）因为0AB
20、 AC=，所以 ABAC，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴建立平面直角坐标系.因为22ABAC=，则1(0,1),(2,0),(1,)2CBM，设(,),0,12xO xx()122(,)(1,)222xxOA OBOC OAOAOBOCOA OMxx+=+=22225512()()4422285xxxxxxx=+=，当且仅当12x=时，+OA OBOC OA的最小值是58.（3）设2CAPBAP=，2AP AC=，4AP AB=，2AP=，12cos2cosACAC=，同理：22cos42sinABAB=，22ABACAP+2224442ABACAPAB ACAC APAB AP=+224488cossin4=+222222sincossincos4()20cossin+=+22222222sincossincos4()2882882836cossincossin=+=+=当且仅当2222sincostan1cossin=时，所以min26ABACAP+=.
