1、 1 考点规范练 44 立体几何中的向量方法 基础巩固 1.直线 l 的方向向量 s=(-1,1,1),平面 的法向量为 n=(2,x2+x,-x).若直线 l平面,则 x 的值为()A.-2 B.-2 C.2 D.2 答案:D 解析:当线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故-12+1(x2+x)+1(-x)=0,解得x=2.2.已知平面 的一个法向量为 n=(1,-3,0),则 y 轴与平面 所成的角的大小为()A.6 B.3 C.4 D.56 答案:B 解析:可知 y 轴的方向向量为 m=(0,1,0),设 y 轴与平面 所成的角为,则 sin=|cos|.cos=|=-321=
2、-32,sin=32,=3.3.如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,以 CD,CB,CE 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系,AB=2,AF=1,M 在 EF 上,且 AM平面 BDE,则点 M 的坐标为()A.(1,1,1)B.(23,23,1)C.(22,22,1)D.(24,24,1)答案:C 解析:设 M(x,x,1).由已知得 A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),则=(x-2,x-2,1),=(2,-2,0),=(0,-2,1).设平面 BDE 的一个法向量为 n=(a,b,c),2 则 ,即 2-2=0
3、,-2+=0.解得=,=2.令 b=1,则 n=(1,1,2).又 AM平面 BDE,所以 n =0,即 2(x-2)+2=0,得 x=22.所以 M(22,22,1).4.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 是棱 AB 的中点,则点 E 到平面 ACD1的距离为()A.12 B.22 C.13 D.16 答案:C 解析:如图,以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0).从而1=(1,1,-1),=(-1,2,0),1=(-1,0
4、,1),设平面 ACD1的法向量为 n=(a,b,c),则=0,1=0,即-+2=0,-+=0,得 =2,=.令 a=2,则 n=(2,1,2).所以点 E 到平面 ACD1的距离为 h=|1|=2+1-23=13.5.如图,过正方形 ABCD 的顶点 A,作 PA平面 ABCD.若 PA=BA,则平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角的大小是()3 A.30 B.45 C.60 D.90 答案:B 解析:(方法一)建立如图所示的空间直角坐标系,不难求出平面 APB 与平面 PCD 的法向量分别为n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面 ABP 与平面 CDP 所成二面角的余弦值
5、为12|1|2|=22,故所求的二面角的大小是 45.图 图(方法二)将其补成正方体.如图,不难发现平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角就是平面 ABQP 和平面 CDPQ 所成的二面角,其大小为 45.6.在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则 AC1与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为()A.22 B.155 C.64 D.63 答案:C 解析:取 B1C1的中点 D1,以 A1为原点,A1D1,A1A 所在直线为 x 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,4 设 AB=2,则 C1(3,1,0),A(0,0,2),1=(3,1,-2),平面 BB1C1C 的一个法
6、向量为 n=(1,0,0).所以 AC1与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为|1|1|=38=64.7.如图,在正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC与平面 PAC 所成的角为 .答案:30 解析:如图所示,以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz.设 OD=SO=OA=OB=OC=a,则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0,-2,2).则=(2a,0,0),=(-,-2,2),=(a,a,0).设平面 PAC 的法向量为 n,可求得 n=(0,1,1),则 cos=|=222=12.=60,
7、直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 90-60=30.5 8.在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中,ABC=90,ADBC,SA平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,则平面 SCD 与平面 SAB 所成锐二面角的余弦值是 .答案:63 解析:如图所示,建立空间直角坐标系,则依题意可知,D(12,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),可知=(12,0,0)是平面 SAB 的一个法向量.设平面 SCD 的法向量 n=(x,y,z),因为=(12,0,-1),=(12,1,0),所以 n =0,n =0,即2-z=0,2+y=0.令 x=2,则 y=-1,z=1,所以
8、n=(2,-1,1).设平面 SCD 与平面 SAB 所成的锐二面角为,则 cos=|=122+0(-1)+01(12)222+(-1)2+12=63.9.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形,点 E 在棱 AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面 EB1C1;(2)若 AE=A1E,求二面角 B-EC-C1的正弦值.答案:(1)证明由已知得,B1C1平面 ABB1A1,BE平面 ABB1A1,6 故 B1C1BE.又 BEEC1,所以 BE平面 EB1C1.(2)解由(1)知BEB1=90.由题设知 RtABERtA1B1E,所以AEB=45,故 AE=AB,
9、AA1=2AB.以 D 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则 C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),=(1,0,0),=(1,-1,1),1=(0,0,2).设平面 EBC 的法向量为 n=(x,y,z),则 =0,=0,即 =0,-+=0,所以可取 n=(0,-1,-1).设平面 ECC1的法向量为 m=(x,y,z),则1 =0,=0,即 2=0,-+=0,所以可取 m=(1,1,0).于是 cos=|=-12.所以,二面角 B-EC-C1的正弦值为32.10.如图,在以 A,B,C,D,E,F 为
10、顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60.7(1)证明:平面 ABEF平面 EFDC;(2)求二面角 E-BC-A 的余弦值.答案:(1)证明由已知可得 AFDF,AFFE,所以 AF平面 EFDC.又 AF平面 ABEF,故平面 ABEF平面 EFDC.(2)解过 D 作 DGEF,垂足为 G,由(1)知 DG平面 ABEF.以 G 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 G-xyz.由(1)知DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角,故DFE=60,则 DF=2,DG
11、=3,可得 A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,3).由已知,ABEF,所以 AB平面 EFDC.又平面 ABCD平面 EFDC=CD,故 ABCD,CDEF.由 BEAF,可得 BE平面 EFDC,所以CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角,CEF=60.从而可得 C(-2,0,3).所以=(1,0,3),=(0,4,0),=(-3,-4,3),=(-4,0,0),设 n=(x,y,z)是平面 BCE 的法向量,则=0,=0,即 +3=0,4=0.所以可取 n=(3,0,-3).8 设 m 是平面 ABCD 的法向量,则=0,=0,同理可取 m=(0,3,
12、4),则 cos=|=-21919.故二面角 E-BC-A 的余弦值为-21919.11.如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N 分别是 BC,BB1,A1D 的中点.(1)证明:MN平面 C1DE;(2)求二面角 A-MA1-N 的正弦值.答案:(1)证明连接 B1C,ME.因为 M,E 分别为 BB1,BC 的中点,所以 MEB1C,且 ME=12B1C.又因为 N 为 A1D 的中点,所以 ND=12A1D.由题设知 A1B1DC,可得 B1CA1D,故 MEND,因此四边形 MNDE 为平行四边形,MNED.又 MN平面
13、EDC1,所以 MN平面 C1DE.9 (2)解由已知可得 DEDA.以 D 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则 A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,3,2),N(1,0,2),1=(0,0,-4),1=(-1,3,-2),1=(-1,0,-2),=(0,-3,0).设 m=(x,y,z)为平面 A1MA 的法向量,则1=0,1=0.所以-+3-2=0,-4=0.可取 m=(3,1,0).设 n=(p,q,r)为平面 A1MN 的法向量,则=0,1=0.所以-3=0,-2=0.可取 n=(2,0,-1).于是 cos=|=2325=155
14、,所以二面角 A-MA1-N 的正弦值为105.能力提升 12.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别在 A1D,AC 上,且 A1E=23A1D,AF=13AC,则()A.EF 至多与 A1D,AC 之一垂直 B.EFA1D,EFAC C.EF 与 BD1相交 10 D.EF 与 BD1异面 答案:B 解析:以 D 点为坐标原点,以 DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为 1,则 A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E(13,0,13),F(23,13,0),B(1,1,
15、0),D1(0,0,1),1=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=(13,13,-13),1=(-1,-1,1),=-13 1,1 =0,从而 EFBD1,EFA1D,EFAC.故选 B.13.三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,ABAC,N 是 BC 的中点,点 P 在 A1B1上,且满足1=11,直线 PN 与平面 ABC 所成角 的正弦值取最大值时,的值为()A.12 B.22 C.32 D.255 答案:A 解析:分别以 AB,AC,AA1为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz,如图所示.由题意知 P(,0,1),N(12,12
16、,0),则=(12-,12,-1).易得平面 ABC 的一个法向量为 n=(0,0,1).则直线 PN 与平面 ABC 所成的角 满足 sin=|cos|=1(-12)2+54,于是问题转化为二次函数求最值问题.11 又因为 0,2,当 最大时,sin 最大,所以当=12时,sin 最大为255,同时直线 PN 与平面ABC 所成的角 取得最大值.故选 A.14.如图,等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB,二面角 C-AB-D 的余弦值为33,M,N 分别是AC,BC 的中点,则 EM,AN 所成角的余弦值等于 .答案:16 解析:过 C 点作 CO平面 ABDE,垂足为
17、O,取 AB 中点 F,连接 CF,OF,则CFO 为二面角 C-AB-D 的平面角,设 AB=1,则 CF=32,OF=CFcosCFO=12,OC=22,则 O 为正方形 ABDE 的中心,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,则 E(0,-22,0),M(24,0,24),A(22,0,0),N(0,24,24),=(24,22,24),=(-22,24,24),cos=|=16.15.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA底面 ABC,BAC=90,点 D,E,N 分别为棱 PA,PC,BC 的中点,M 是线段 AD 的中点,PA=AC=4,AB=2.12 (1)求证:MN平面 BD
18、E;(2)求二面角 C-EM-N 的正弦值;(3)已知点 H 在棱 PA 上,且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为721,求线段 AH 的长.解:如图,以 A 为原点,分别以,方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)证明:=(0,2,0),=(2,0,-2),设 n=(x,y,z)为平面 BDE 的法向量,则=0,=0,即 2=0,2-2=0.不妨设 z=1,可得 n=(1,0,1).又=(1,2,-1),可得
19、 n=0.因为 MN平面 BDE,所以 MN平面 BDE.(2)易知 n1=(1,0,0)为平面 CEM 的一个法向量.设 n2=(x,y,z)为平面 EMN 的法向量,则2=0,2=0.因为=(0,-2,-1),=(1,2,-1),所以-2-=0,+2-=0.13 不妨设 y=1,可得 n2=(-4,1,-2).因此有 cos=12|1|2|=-421,于是 sin=10521.所以,二面角 C-EM-N 的正弦值为10521.(3)依题意,设 AH=h(0h4),则 H(0,0,h),进而可得=(-1,-2,h),=(-2,2,2).由已知,得|cos|=|=|2-2|2+523=721,
20、整理得 10h2-21h+8=0,解得 h=85或 h=12.所以,线段 AH 的长为85 或12.高考预测 16.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,ABC 为正三角形,点 D 在棱 BC 上,且 CD=3BD,点 E,F 分别为棱 AB,BB1的中点.(1)证明:A1C平面 DEF;(2)若 A1CEF,求直线 A1C1与平面 DEF 所成的角的正弦值.答案:(1)证明如图,连接 AB1,A1B,交于点 H,A1B 交 EF 于点 K,连接 DK,因为四边形 ABB1A1为矩形,所以 H 为线段 A1B 的中点.因为点 E,F 分别为棱 AB,BB1的中点,所以点 K 为线段 BH 的中点
21、,所以 A1K=3BK.又因为 CD=3BD,所以 A1CDK.又 A1C平面 DEF,DK平面 DEF,所以 A1C平面 DEF.14(2)解由(1)知,EHAA1.因为 AA1平面 ABC,所以 EH平面 ABC.因为ABC 为正三角形,且点 E 为棱 AB 的中点,所以 CEAB.故以点 E 为坐标原点,分别以,的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 E-xyz,设 AB=4,AA1=t(t0),则 A1(2,t,0),C(0,0,23),E(0,0,0),F(-2,2,0),D(-32,0,32),所以1=(-2,-t,23),=(-2,2,0).因为 A1CEF,所以1 =0,所以(-2)(-2)-t2+23 0=0,解得 t=22.所以=(-2,2,0),=(-32,0,32).设平面 DEF 的法向量为 n=(x,y,z),则 =0,=0,所以-2+2=0,-32 +32 =0,取 x=1,则 n=(1,2,3),又因为11=(-2,0,23),设直线 A1C1与平面 DEF 所成的角为,则 sin=|cos|=|11|11|=464=66,所以直线 A1C1与平面 DEF 所成的角的正弦值为66.
