1、第3讲变量间的相关关系、统计案例, )1变量间的相关关系常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系2两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关(3)回归方程为x，其中，(4)相关系数当r0时，表明两个变量正相关；当r0，则zy0.1x，故x与z负相关(2)由题图可知，各点整体呈递减趋
2、势，x与y负相关；由题图可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关【答案】(1)C(2)C判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关(2)相关系数：r0时，正相关：r0时，正相关；0时，负相关 1下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是()D 观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系2对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()Ar2r40r3r1Br4r20r1r3Cr4r20r3r1 Dr2r40r1r3A 由相关系数的定义，
3、以及散点图所表达的含义可知r2r40r310.828.所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成22列联表；(2)根据公式K2计算K2的值；(3)查表比较K2与临界值的大小关系，作出统计判断 (2017九江第一次统考)某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表分数段40，50)50，60)60，70)70，80)80，
4、90)男39181569女64510132(1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；(2)规定80分以上为优分(含80分)，请你根据已知条件作出22列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.优分非优分合计男生女生合计100附表及公式P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828K2，nabcd (1)男450.05550.15650.3750.25850.1950.1571.5，女450.15550.1650.125750.25850.325950.057
5、1.5，从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关(2)由频数分布表可知：在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得22列联表如下：优分非优分合计男生154560女生152540合计3070100可得K21.79，因为1.792.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”, )回归直线方程的求解与运用(本题满分12分)(2015高考全国卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1，2，8)数据
6、作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值表中(1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为(1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(
7、2分)(2)令w，先建立y关于w的线性回归方程由于68，(4分)563686.8100.6，(5分)所以y关于w的线性回归方程为100.668w，因此y关于x的回归方程为100.668.(6分)(3)由(2)知，当x49时，年销售量y的预报值100.668576.6，年利润z的预报值576.60.24966.32.(9分)根据(2)的结果知，年利润z的预报值0.2(100.668)xx13.620.12.所以当6.8，即x46.24时，取得最大值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大(12分)(1)求解本题的思路根据散点图中的点的分布规律作出判断若x，y为线性相关，可直接求其线性回归
8、方程，若x，y为非线性相关，可通过换元先建立线性回归方程，然后再转化为非线性回归方程利用中求出的回归方程求最大预报值(2)求解本题渗透的思想通过散点图判断回归类型，体现了数形结合思想通过换元法将问题转化为线性回归分析，体现了化归转化思想, )1已知变量x，y呈线性相关关系，线性回归方程为0.52x，则变量x，y是()A线性正相关关系B由回归方程无法判断其正负相关C线性负相关关系D不存在线性相关关系A 随着变量x增大，变量y有增大的趋势，则x，y称为正相关2某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系根据一组样本数据(xi，yi)(i1，2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为5x
9、150，则下列结论正确的是()Ay与x具有正的线性相关关系B若r表示y与x之间的线性相关系数，则r5C当销售价格为10元时，销售量为100件D当销售价格为10元时，销售量为100件左右D 由回归直线方程知，y与x具有负的线性相关关系，A错，若r表示y与x之间的线性相关系数，则|r|1，B错当销售价格为10元时，510150100，即销售量为100件左右，C错，故选D.3某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的四组数据如下表：售价x44.55.56销售量y1211109为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性
10、回归方程为1.4x，那么方程中的值为()A17B17.5C18 D18.5B 5，10.5，因为回归直线过样本点的中心，所以10.51.4517.5.故选B.4甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差的平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性()A甲 B乙C丙 D丁D 相关系数r越接近于1和残差平方和m越小，两变量A，B的线性相关性越强故选D.5某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具
11、有线性相关关系，且回归方程为0.6x1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为()A66% B67%C79% D84%D 因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程0.6x1.2，该城市居民人均工资为x5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平0.651.24.2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为84%.6春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：做不到“光盘”能做到“光盘”男4510女3015则下面的正确结论是()A有90%以上的把握认为“该市居民能否做
12、到光盘与性别有关”B在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到光盘与性别无关”C在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到光盘与性别有关”D有90%以上的把握认为“该市居民能否做到光盘与性别无关”A 由22列联表得到a45，b10，c30，d15，则ab55，cd45，ac75，bd25，ad675，bc300，n100，计算得K2的观测值k3.030.因为2.7063.0306.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关10(2017唐山第一次模拟)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：天数t(天)34567繁殖个数y(千
13、个)2.5344.56(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，预测t8时，细菌繁殖个数 (1)由表中数据计算得，5，4，(ti)(yi)8.5，(ti)210，0.85，0.25.所以回归方程为0.85t0.25.(2)将t8代入(1)的回归方程中得0.8580.256.55.故预测t8时，细菌繁殖个数为6.55千个11(2017梅州一模)在2016年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.5m10.511销售量y11n865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较
14、强的线性相关关系，其线性回归方程是3.2x40，且mn20，则其中的n_ 8，6，回归直线一定经过样本中心(，)，即63.240，即3.2mn42.又因为mn20，即解得故n10. 1012第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日至8月21日在巴西里约热内卢举行下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据(单位：枚).第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国3851322816俄罗斯2423273226(1)根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图；(2)下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y(从第26届算起
15、，不包括之前已获得的金牌数)随时间x变化的数据：时间x(届)2627282930金牌数之和y(枚)164476127165作出散点图如下：由图可以看出，金牌数之和y与时间x之间存在线性相关关系，请求出y关于x的线性回归方程；并预测到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少？参考数据：28，85.6，(xi)(yi)381，(xi)210. (1)近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下：(2)38.1，85.638.128981.2，所以金牌数之和y关于时间x的线性回归方程为38.1x981.2.当x32时，中国代表团获得的金牌数之和的预报值38.132981.2238，故预测到
16、第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为238枚13已知某班n名同学的数学测试成绩(单位：分，满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成绩在内的有6人(1)求n的值；(2)规定60分以下为不及格，若不及格的人中女生有4人，而及格的人中，男生比女生少4人，借助独立性检验分析是否有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”？附：P(K2k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879K2，nabcd (1)依题意得解得b0.01，因为成绩在内的有6人，所以n60.(2)由于2bac，而b0.01，可得ac0.02，则不及格的人数为0.02106012，及格的人数为601248，于是本次测试的及格情况与性别的22列联表如下：及格不及格合计男22830女26430合计481260结合列联表计算可得K21.666 72.706，故没有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”
