1、第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.知 识 梳 理1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，b是
2、异面直线a3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()(4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线
3、与a异面.()解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.(4)由于a不平行于平面，且a，则a与平面相交，故平面内有与a相交的直线，故错误.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A.30 B.45C.60 D.90解析连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角.又B1D1B1CD1C，D1B1C60.答案C3.在下列命题中，不是
4、公理的是()A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的.答案A4.(2016山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面 ，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位
5、置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件.答案A5.若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是_.答案b与相交或b或b6.如图所示，平面，两两相交，a，b，c为三条交线，且ab，则a与c的位置关系是_；b与c的位置关系是_.答案acbc考点一平面的基本性质及应用【例1】 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFA1B.又A1BCD1，EFCD1，E
6、，C，D1，F四点共面.(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE，D1F，DA三线共点.规律方法(1)证明线共面或点共面的常用方法直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面.纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合.(2)证明点共线问题的常用方法基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.纳入直
7、线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.【训练1】 如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綉AD，BE綉FA，G，H分别为FA，FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綉AD.又BC綉AD，GH綉BC，四边形BCHG为平行四边形.(2)解BE綉AF，G为FA的中点，BE綉FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綉CH，EFCH，EF与CH共面.又DFH，C，D，F，E四点共面.考点二判断空间两直线的位置关系【例2】 (1)(2015广东卷)若直线l1
8、和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交(2)(2017嘉兴七校联考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号).解析(1)法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若ll1，ll2，则l1l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.法二如图1，l1与l2是异面直
9、线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.(2)在图中，直线GHMN；在图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NGH，因此直线GH与MN异面；在图中，连接QM，GMHN，因此GH与MN共面；在图中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH与MN异面.所以在图中GH与MN异面.答案(1)D(2)规律方法(1)异面直线的判定方法反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是
10、异面直线.(2)点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.【训练2】 (1)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行(2)(2017武汉调研)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：若aM，bM，则ab或a，b相交或a，b异面；若bM，ab，则aM；若ac，bc，则ab；若aM，bM，则ab.其中正确的为()A. B. C. D.解析(1)如图，连接C1D，在C1DB中
11、，MNBD，故C正确；CC1平面ABCD，BD平面ABCD，CC1BD，MNCC1，故A正确；ACBD，MNBD，MNAC，故B正确；A1B1与BD异面，MNBD，MN与A1B1不可能平行，故选项D错误.(2)对于，当aM，bM时，则a与b平行、相交或异面，为真命题.中，bM，ab，则aM或aM，为假命题.命题中，a与b相交、平行或异面，为假命题.由线面垂直的性质，命题为真命题，所以，为真命题.答案(1)D(2)A考点三异面直线所成的角【例3】 (1)(2017浙江五校联考)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所成的角为_.(2)(20
12、16全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析(1)取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，在RtAB1E中，AB1E为异面直线AB1与BD所成的角.设AB1，则A1A，AB1，B1E，故AB1E60.(2)根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角.设平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1
13、D1，B1D1m1，B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可证CD1n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角.在正方体ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60，其正弦值为.答案(1)60(2)A规律方法(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.(2)求异面直线所成角的三个步骤作：通过作平行线，得到相交直线的夹角.证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角.求：解三角形，求出作出的角，如
14、果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.【训练3】 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1，由AB1，AA12，则A1C1，A1BBC1，在A1BC1中，由余弦定理得cosA1BC1.答案D思想方法1.主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).(2)要证明
15、“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上.2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想.易错防范1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
