1、第12讲导数与函数的极值、最值, )1函数的极值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值2函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值(2)若函数f(
2、x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值1辨明两个易误点(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念2明确两个条件一是f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件二是对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件1. 函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C
3、有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点C 设f(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1、x2、x3、x4.当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0时，x3.f(x)0时，3x3，所以f(x)在(，3)，(3，)上是增函数，在(3，3)上是减函数所以f(x)极大值f(3)54.f(x)极小值f(3)54.故选B.3. 函数f(x)x34xm在上的最大值为4，则m的值为()A7BC3 D4D f(x)x24，x，f(x)0时，x2，f(x)0时，0x0时，20，x(0，1所以f(x)在(0，1上是增函数所以f(x)maxf(1)e. e函数的极值问题(高频考点)
4、函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度：(1)由图判断函数极值的情况；(2)已知函数解析式求极值；(3)已知函数极值求参数值或范围(1)设函数f(x)在定义域R上可导，其导函数为f(x)，若函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)(2)(2016高考山东卷)设f(x)xln xax2(2a1)x，aR.令g(x)f(x)，求g(
5、x)的单调区间；已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围【解】(1)选D.由题图可知，当x0；当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可得函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值故选D.(2)由f(x)ln x2ax2a，可得g(x)ln x2ax2a，x(0，)则g(x)2a.当a0时，x(0，)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；当a0时，x时，g(x)0，函数g(x)单调递增，x时，函数g(x)单调递减所以当a0时，g(x)的单调增区间为(0，)；当a0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.由知，f(1)0.1当a
6、0时，f(x)单调递增，所以当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意2当0a1，由知f(x)在内单调递增，可得当x(0，1)时，f(x)0.所以f(x)在(0，1)内单调递减，在内单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意3当a时，1，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意4当a时，00，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x). 角度一由图判断函数极值的情况1函数f(x)x3bx2cxd的大致图象如图所示，则xx等于()ABC DC 函数f(x)的图象过原点，所以
7、d0.又f(1)0且f(2)0，即1bc0且84b2c0，解得b1，c2，所以函数f(x)x3x22x，所以f(x)3x22x2，由题意知x1，x2是函数的极值点，所以x1，x2是f(x)0的两个根，所以x1x2，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x2. 角度二已知函数解析式求极值2f(x)(2xx2)ex的极大值为_ f(x)(22x)ex(2xx2)ex(2x2)ex，由f(x)0，得x或x.由f(x)0，得x.由f(x)0，得x0，解得x1；令f(x)0，解得x0时，f(x)0或f(x)0恒成立的充要条件是(4)243a10，即1612a0，解得a.综上，a的取值范围为.函数的最值问
8、题(2017昆明模拟)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间上的最小值【解】(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，f(x)在上单调递增，所以f(x)在区间上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在区间上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在上单调递减，所以f(x)在区间上的最小值为f(
9、1)(1k)e.综上，当k1时，f(x)在上的最小值为f(0)k；当1k0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值 (1)f(x)2bx，因为函数f(x)在x1处与直线y相切，所以解得(2)由(1)知，f(x)ln xx2，f(x)x，因为当xe时，令f(x)0，得x1；令f(x)0，得10)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间上的最小值 (1)因为f(x)ax3bxc，所以f(x)3ax2b.由于f(x)在点x2处取得极值c16，故有即解得(2)由(1)知f(x
10、)x312xc，f(x)3x212.令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数当x(2，2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x12处取得极大值f(2)16c，在x22处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，得c12，此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)c164，因此f(x)在上的最小值为f(2)4., )利用导数求函数的最值(本题满分12分)已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在上的最小值(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)
11、a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)(2分)当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(4分)(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.(5分)当2，即0a时，函数f(x)在区间上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.(6分)当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.(10分)综上可知，当0a2时，f(x)0，函数f(x)为增函数
12、，当0x2时，f(x)0，函数f(x)为减函数，所以x2为函数f(x)的极小值点2(2017长治调研)已知函数f(x)x3x2cxd有极值，则c的取值范围为()AcA 由题意得f(x)x2xc，若函数f(x)有极值，则14c0，解得c0；当x(1，e时，f(x)0 ，所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e，所以当x1时，f(x)取得最大值ln 111.4(2017黑龙江质检)已知x2是函数f(x)x33ax2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为()A15 B16C17 D18D x2是函数f(x)x33ax2的极小值点，即x2是f(x)3x23a0的根，将x2代入得a
13、4，所以函数解析式为f(x)x312x2，则由3x2120，得x2，故函数在(2，2)上是减函数，在(，2)，(2，)上是增函数，由此可知当x2时函数f(x)取得极大值f(2)18.5已知函数f(x)x33x29x1，若f(x)在区间上的最大值为28，则实数k的取值范围为()AD 由题意知f(x)3x26x9，令f(x)0，解得x1或x3，所以f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，3)3(3，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值又f(3)28，f(1)4，f(2)3，f(x)在区间上的最大值为28，所以k3.6(2017江西省八所重点中学联考)已知函数f(x)x(ln xax
14、)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0) BC(0，1) D(0，)B 因为f(x)x(ln xax)，所以f(x)ln x2ax1，由题可知f(x)在(0，)上有两个不同的零点，令f(x)0，则2a，令g(x)，则g(x)，所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又因为当x从右边趋近于0时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，所以只需02a10a)，当x(2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为_ 因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(0，2)上的最大值为1，当x(0，2)时，f(x)a，令f(x)0，得x，又a，所以00，得x，所以f(
15、x)在(0，)上单调递增；令f(x)，所以f(x)在(，2)上单调递减所以当x(0，2)时，f(x)maxf()ln a1，所以ln 0，所以a1. 111(2017昆明模拟)已知常数a0，f(x)aln x2x.(1)当a4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围 (1)由已知得f(x)的定义域为(0，)，f(x)2.当a4时，f(x).所以当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)单调递增所以f(x)只有极小值，且在x2时，f(x)取得极小值f(2)44ln 2.所以当a4时，f(x)只有极小值44ln 2.(2)因为f(x)，所以当a0，x(0，
16、)时，f(x)0，即f(x)在x(0，)上单调递增，没有最小值；当a0得，x，所以f(x)在(，)上单调递增；由f(x)0得，x，所以f(x)在(0，)上单调递减所以当a0时，f(x)的最小值为f()aln()2()根据题意得f()aln()2()a，即a0.因为a0，所以由ln(a)ln 20，解得a2，所以实数a的取值范围是(e为自然常数)时，函数f(x)的最小值为3，则a的值为_ 易知a0，由f(x)a0，得x，当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)在x时取得最小值f1ln .当0e时，由1ln 3，得ae2，符合题意，当e时，由aeln
17、 e3，得a，舍去 e213(2015高考全国卷)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围 (1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值；当a0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0
18、a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0，1)14(2017郑州检测)已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在(e为自然对数的底数)上的最大值 (1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)(，1)f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取得极小值为f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x1时，由(1)知，函数f(x)在和，1)上单调递减，在上单调递增因为f(1)2，f()，f(0)0，所以f(x)在上单调递增，则f(x)在上的最大值为f(e)a.综上所述，当a2时，f(x)在上的最大值为a；当a2时，f(x)在上的最大值为2.
