1、2.2函数的单调性与最值考纲展示1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.考点1函数单调性的判断(证明)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是_自左向右看图象是_答案：f(x1)f(x2)上升的下降的(1)教材习题改编函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则()AkBkDk答案：D(2)教材习题改编当k1，即a0，
2、故0a1.(2)2017广东佛山联考试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解解法一(定义法)：设1x1x20时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0得x2，又ux2x2在(，1)上为减函数，在(2，)上为增函数，ylogu为减函数，故f(x)的单调递增区间为(，1)，故选C.(2)求函数yx22|x|1的单调区间解由于y即y画出函数图象如图所示单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)题点发散1若将本例(2)中函数变为“f(x)|x22x1|”，如何求解？解：函数y|x22
3、x1|的图象如图所示由图象可知，函数y|x22x1|的单调递增区间为(1，1)和(1，)；单调递减区间为(，1)和(1,1)题点发散2若将本例(2)中函数变为“f(x)”，如何求解？解：由x22|x|10，得1|x|1，又|x|0，0|x|1，即1x1.根据函数图象可知，f(x)的单调递增区间为1，1和0,1，单调递减区间为1,0和1,1 点石成金1.确定有解析式的函数单调区间的三种方法提醒单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结2求复合函数yf(g(x)的单调区间的步骤(1)确定函数的定义域(2)将复合函数分解成基本
4、初等函数yf(u)，ug(x)(3)分别确定这两个函数的单调区间(4)若这两个函数同增同减，则yf(g(x)为增函数；若一增一减，则yf(g(x)为减函数，即“同增异减”.2017天津模拟函数yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调递减区间是()A.B，1C(，0)D， 答案：B解析：由图象知f(x)在(，0和上单调递减，而在上单调递增又0a1时，ylogax为(0，)上的减函数，所以要使g(x)f(logax)单调递减，需要logax，即0logax，解得x，1，故选B.考点3函数单调性的应用函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满
5、足条件(1)对于任意的xI，都有_；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意的xI，都有_；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值答案：(1)f(x)M(3)f(x)M考情聚焦高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题的某一问中主要有以下几个命题角度：角度一利用函数的单调性求最值典题3(1)函数f(x)的最大值为_答案2解析当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当xx11时，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacbDbac答案D解析因为f(x)的图象关于直线x1对称由此可得ff .由x2
6、x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减12ff(e)，bac.角度三利用函数的单调性求解不等式典题5f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A(8，)B(8,9C8,9D(0,8)答案B解析211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得f(x(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得8x9.角度四利用单调性求参数的取值范围或值典题6(1)2017湖南师大附中月考已知函数f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是()A3,0)B
7、(，2C3，2D(，0)答案C解析由题设可得解得3a2，故选C.(2)已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有0成立，则实数a的取值范围为()A(，2)BC(，2D答案B解析由题意可知，函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a，即实数a的取值范围是.点石成金函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，
8、确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集区间上也是单调的(4)利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值方法技巧1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)变形；(4)定号；(5)下结论2判断函数单调性的常用方法(1)定义法；(2)复合法：同增异减；(3)导数法；(4)图象法3设任意x1，x2a，b且x10f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数易错防范1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单
9、调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集2若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集 真题演练集训 12014北京卷下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ay By(x1)2Cy2x Dylog0.5(x1)答案：A解析：A项，函数y在1，)上为增函数，所以函数在(0，)上为增函数，故正确；B项，函数y(x1)2在(，1)上为减函数，在1，)上为增函数，故错误；C项，函数y2xx在R上为减函数，故错误；D项，函数ylog0.5(x1)在(1，)上为减函数，故错误22014陕西卷下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调
10、递增函数是()Af(x)xBf(x)x3Cf(x)xDf(x)3x答案：D解析：根据各选项知，选项C，D中的指数函数满足f(xy)f(x)f(y)又f(x)3x是增函数，故选D.32015天津卷已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()AabcBacbCcabDcba答案：C解析：由f(x)2|x m|1是偶函数可知m0，所以f(x)2|x|1.所以af(log0.53)2|log0.53|12|log23|12，bf(log25)2|log25|12|log25|14，cf(0)2|0
11、|10，所以ca0，则x的取值范围是_答案：(1,3)解析：由题可知，当2x0.f(x1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，若f(x1)0，则1x0时，2x0，得x1，f(x)0，得12，解得a0时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4.审题视角(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义借助于赋值法比较出f(x2)与f(x1)的大小(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点要构造出f(M)f(N)的形式解(1)令xy0，得f(0)1.在R上任取x1x
12、2，则x1x20，f(x1x2)1.又f(x1)f(x1x2)x2)f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x22x)f(1x)4，得f(x2x1)f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2x13，解得x1，故原不等式的解集为x|x1方法点睛(1)在利用定义法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对x1或x2进行适当变形，进而将f(x1)与f(x2)比较出大小(2)求解含“f”的不等式问题，应先利用已知条件将不等式转化为f(x1)f(x2)的形式，然后再根据其单调性脱掉“f”，转化为关于x1与x2的不等式问题求解提醒 完成课时跟踪检测(五)
