1、专题5 数列、推理与证明第22练 常考的递推公式问题的破解方略利用递推关系式求数列的通项公式及前n项和公式是高考中常考题型，掌握常见的一些变形技巧是解决此类问题的关键.一般这类题目难度较大，但只要将已知条件转化为几类“模型”，然后采用相应的计算方法即可解决.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 12341.(2015湖南)设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an_.解析 由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S23S1S3，可得a33a2，公比q3，故等比数列通项ana1qn13n1.3n1 1234解
2、析答案 2.(2015课标全国)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.因为 Sn0，所以Sn1SnSnSn1 1，解析 由题意，得S1a11，又由an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1，即 1Sn1 1Sn1，故数列1Sn 是以 1S11 为首项，1 为公差的等差数列，得 1Sn1(n1)n，所以 Sn1n.1n1234解析答案 解析 a11，an1ann1，a2a12，a3a23，anan1n，3.(2015江苏)设数列an满足 a11，且 an1ann1(nN*)，则数列1an前 10 项的和为_.将以上 n1 个式子相加得 ana123n2nn12，即 an
3、nn12.令 bn 1an，故 bn2nn121n 1n1，故 S10b1b2b1021121213 110 111 2011.20111234解析答案 4.(2016课标全国丙)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；1234解析答案(2)若 S53132，求.解 由(1)得 Sn11n.由 S53132，得 1153132，即15 132.解得1.返回 高考必会题型 题型一 利用累加法解决递推问题 例 1(1)在数列an中，a11，anan11nn1，则 an 等于_.解析 答案 21n解析答案(2)在数列an中，已知a12，an1ancn(nN
4、*，常数c0)，且a1，a2，a3成等比数列.求c的值；解 由题意知，a12，a22c，a323c，a1，a2，a3成等比数列，(2c)22(23c)，解得c0或c2，又c0，故c2.解析答案 点评 求数列an的通项公式.以上各式相加，得 ana112(n1)cnn12c.解 当n2时，由an1ancn，得a2a1c，a3a22c，anan1(n1)c，又a12，c2，故ann2n2(n2)，当n1时，上式也成立，数列an的通项公式为ann2n2(nN*).解析答案 an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 变式训练 1 在数列an中，a11，an1anln(11n)，则 an 等于
5、_.解析 a11，an1anln(11n)，ln(1 1n1)ln(1 1n2)ln(11)1ln(nn1n1n22)11ln n.1ln n 题型二 利用累乘法解决递推问题 例 2(1)已知正项数列an满足 a11，(n2)a2n1(n1)a2nanan10，则它的通项公式为_.解析答案 解析 由(n2)a2n1(n1)a2nanan10，得(n2)an1(n1)an(an1an)0，又an0，所以(n2)an1(n1)an，即an1an n1n2，an1n1n2an，所以 an nn1n1n 23a1 2n1a1(n2)，所以 an 2n1(n1 适合)，于是所求通项公式为 an 2n1.
6、an 2n1(2)已知数列an中，a11，anan1ann(nN*)，则 a2 016_.解析答案 解析 由anan1ann(nN*)，得an1an n1n，a2a121，a3a232，a4a343，anan1 nn1，各式相乘得ana1n，ann(n1适合)，a2 0162 016.2 016 点评(3)已知 a11，an1an n2n，则 an_.解析答案 解析 an1an n2n，a2a1a3a2a4a3 anan13142536475 nn2n1n1nn12.即ana1nn12，又a11，annn12，而a11也适合上式，an的通项公式为 annn12.nn12变式训练 2 数列an的
7、前 n 项和 Snn2an(n2)，且 a11，a22，则an的通项公式 an_.解析 答案 1，n1，2n1，n2题型三 构造法求通项公式 例 3(1)已知数列an，a12，anan11an1(n2)，则 an_.解析答案 解析 由 anan11an1两边取倒数得1an 1an11，数列1an 是首项为1a112，公差为 1 的等差数列，1an12(n1)n122n12.an22n1.22n1点评(2)已知 a11，an1 anan1，则 an_.解析答案 解析 由 an1 anan1，得 1an1 1an1(常数)，又 1a11，1an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，1ann，从而
8、 an1n，即所求通项公式为 an1n.1n返回 变式训练 3 已知数列an中，a12，当 n2 时，an7an133an11，求数列an的通项公式.解析答案 高考题型精练 12345678910 11 12解析答案 1.数列an满足 a11，a223，且 1an1 1an1 2an(n2)，则 an 等于_.解析 由题意知 1an是等差数列，又 1a11，1a232，公差为 d 1a2 1a112，1an 1a1(n1)12n12，an 2n1.2n112345678910 11 12解析答案 2.已知数列an中，a11，且 1an1 1an3(nN*)，则 a10 等于_.解析 由已知 1
9、an1 1an3(nN*)，所以数列 1an是以 1 为首项，3 为公差的等差数列，即 1an1(n1)33n2，解得 an13n2，a10 128.12812345678910 11 123.已知数列an中，a112，an1an1n23n2(nN*)，则数列an的通项为_.解析 答案 an nn112345678910 11 12解析答案 4.已知 f(x)log2x1x1，anf(1n)f(2n)f(n1n)，n 为正整数，则a2 016 等于_.解析 因为 f(x)log2x1x1，所以 f(x)f(1x)log2x1x1log21xx 12.所以 f(1n)f(n1n)2，f(2n)f
10、(n2n)2，f(n1n)f(1n)2，由倒序相加，得2an2(n1)，ann1，所以a2 0162 01612 015.2 01512345678910 11 12解析答案 5.已 知 数 列 an 满 足 a1 1，an 1 an n 2n(nN*)，则 an 为_.1n1n2212n112解析 an1ann2n，an1ann2n.ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1(12)(222)(n1)2n1 1123(n1)(2222n1)nn122n1.nn122n112345678910 11 12解析答案 6.已知数列an满足a11，anan12n(n2)，则a7等于_.a714
11、146255.解析 anan12n(n2)，a2a14，a3a26，a4a38，a7a614，以上各式两边分别相加得 a7a14614，5512345678910 11 12解析答案 7.数列an中，a11，an23n1an1(n2)，则an_.所以 ana12313n11313n3解析 因为an23n1an1(n2)，所以anan123n1(n2)，由叠加原理知ana12(332333n1)(n2)，3n2 3n2(n2)，因为a11也符合上式，故an3n2.12345678910 11 12解析答案 8.若数列an满足an3an12(n2，nN*)，a11，则数列an的通项公式an_.解析
12、 设an3(an1)，化简得an3an12，an3an12，1，an13(an11).a11，a112，数列an1是以2为首项，3为公比的等比数列，an123n1，an23n11.23n11 12345678910 11 129.若 数 列 an 满 足 a1 1，且 an 1 4an 2n，则 通 项 an _.解析 答案 22n12n1 12345678910 11 1210.数列an满足 an111an，a82，则 a1_.解析答案 解析 an111an，an111an1111an11an11an111an1an1 1 1an1121111an21(1an2)an2，周期T(n1)(n2
13、)3.a8a322a22.而 a211a1，a112.12345678910 11 12解析答案 11.数列an满足a11，a22，an22an1an2.(1)设bnan1an，证明bn是等差数列；证明 由an22an1an2，得bn1bnan22an1an 2an1an22an1an2，又b1a2a11，bn是首项为1，公差为2的等差数列.12345678910 11 12解析答案(2)求an的通项公式.解 由(1)得bn2n1，于是an1an2n1，an(a2a1)(a3a2)(anan1)a1 13(2n3)1(n1)21，而a11也符合，an的通项公式an(n1)21.12345678
14、910 11 12解析答案 12.已知数列an的首项a11，前n项和为Sn，且Sn12Snn1(nN*).(1)证明数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式；解 由已知，Sn12Snn1(nN*),当n2时，Sn2Sn1n，两式相减得，an12an1，于是an112(an1)(n2).当n1时，S22S111，即a1a22a111，所以a23，此时a212(a11)，且a1120，所以数列an1是首项为a112，公比为2的等比数列.所以an122n1，即an2n1(nN*).解析答案 返回 12345678910 11 12(2)求数列nann的前n项和Tn.212n12 n2n1解 令cnnann，则cnn2n，于是Tn121222n2n，2Tn122(n1)2nn2n1，两式相减得，Tn2222nn2n1(1n)2n12，所以Tn(n1)2n12.
